2024年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练39空间向量的运算及应用含解析

PAGEPAGE1课下层级训练(三十九)空间向量的运算及应用[A级基础强化训练]1．如图，三棱锥O­ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(NM,\s\up6(→))，则eq\o(NM,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)(－a＋b＋c) B．eq\f(1,2)(a＋b－c)C．eq\f(1,2)(a－b＋c) D．eq\f(1,2)(－a－b＋c)【答案】B[eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c)．]2．已知四边形ABCD满意：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＞0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＞0，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，则该四边形为()A．平行四边形 B．梯形C．长方形 D．空间四边形【答案】D[由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＞0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＞0，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，知该四边形肯定不是平面图形．]3．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－1 B．0C．1 D．不确定【答案】B[如图，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.]4．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．1 D．eq\r(3－\r(2))【答案】D[∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2)，故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).]5．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范围是()A．(0,1) B．[0,1)C．[0,1] D．[－1,1]【答案】C[如图所示，由题意，设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝1＋eq\r(3)λ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝1－λ∈[0,1]．因此eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范围是[0,1]．]6．在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝________.【答案】eq\o(AG,\s\up6(→))[依题意有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×2eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).]7．如图，在四面体O­ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)【答案】eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.]8．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.【答案】eq\r(2)[|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\o(EF,\s\up6(→))2＝(eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝eq\o(EC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＋2(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→)))＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴EF的长为eq\r(2).]9．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)已知eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．【答案】(1)证明∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).又AC1、AE、AF有公共点A，∴A、E、C1、F四点共面．(2)解∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)).∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．(1)试用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)求证：MN∥平面ABB1A1.【答案】(1)解∵eq\o(A1D,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c－a，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)．同理，eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(A1N,\s\up6(→))－eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(1,2)(c－a)＝eq\f(1,2)(b＋a)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.(2)证明∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB1,\s\up6(→))，即MN∥AB1，∵AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，∴MN∥平面ABB1A1.[B级实力提升训练]11．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为()A．a2 B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(1,4)a2 D．eq\f(\r(3),4)a2【答案】C[eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.]12．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的大小不能比较【答案】C[取BD的中点F，连接EF，则EF∥CD且EF＝eq\f(1,2)CD.因为AE⊥BC，〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉>90°，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))<0，因此eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).]13．A，B，C，D是空间不共面四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD的形态是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个)【答案】锐角[因为eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2>0，所以∠CBD为锐角．同理∠BCD，∠BDC均为锐角．]14．已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°；④正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.其中正确的序号是________.【答案】①②[①中，(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝eq\o(A1A,\s\up6(→))2＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))2＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2，故①正确；②中，eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故③不正确；④中，|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝0，故④也不正确．]15．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．【答案】解设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b－c，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a)·(－a)＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)·(b－c)＝eq\f(1,2)(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－eq\f(1,4).(3)eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b－a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，|eq\o(EG,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)b2＋eq\f(1,4)c2－eq\f(1,2)a·b＋eq\f(1,2)b·c－eq\f(1,2)c·a＝eq\f(1,2)，则|eq\o(EG,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2).(4)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－