4.4.1 三角形中的爪型模型 课件-2025届高三数学三轮专项复习

4.4.1三角形中的“爪型”模型高考解读

“爪型”三角形是指给定的一个三角形中,连接一个顶点和对边上的任意

一点构成的图形.主要考查正弦定理、余弦定理、平面向量、坐标运算等知识.“爪

型”三角形是高考常考的题目,学生应从“爪型”三角形的代数特征和几何特征出发,

总结解题规律,从整体上认识把握,做到高考备考有的放矢.高考溯源角平分线问题(2023全国甲理,16,5分)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=

,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=

.2解析

在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即(

)2=22+AC2-2×2×AC×cos60°,即AC2-2AC-2=0,解得AC=1+

或AC=1-

(舍),由于AD平分∠BAC,且∠BAC=60°,所以∠BAD=∠CAD=30°.S△ABC=S△ABD+S△ACD,即

×2×(

+1)×

=

×2×AD×

+

×(

+1)×AD×

,即

×(

+1)=AD+

AD,解得AD=2.技巧

角平分线的两个重要结论1.角平分线长度公式在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,∠BAC、∠B、∠C所对的边分别为a,b,c,则AD=

.证明如下:S△ABD=

c×AD×sin∠BAD,S△ADC=

b×AD×sin∠CAD,S△ABC=

cbsin∠BAC,因为S△ABC=S△ABD+S△ADC,所以

cbsin∠BAC=

c×AD×sin∠BAD+

b×AD×sin∠CAD,因为∠CAD=∠BAD=

∠BAC,所以整理得AD=

.2.角平分线定理在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,则

=

(由正弦定理证明).高考仿真1

(2024江苏苏州三模,6)已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠BAC=

,∠BAC的平分线交边BC于点D,若AD=

,则b+2c的最小值为

(

)A.2+2

B.4

C.3+2

D.3+2

C解析

S△ABC=

bcsin∠BAC=

bc,因为∠BAC的平分线交边BC于点D,且AD=

,所以∠BAD=∠CAD=

,S△ABD=

×AD×c×sin∠BAD=

c,S△CAD=

×AD×b×sin∠CAD=

b,又S△ABC=S△ABD+S△CAD,所以

bc=

c+

b,化简得bc=c+b,即

+

=1,则b+2c=(b+2c)

=3+

+

≥3+2

=3+2

,当且仅当b=

c=

+1时取等号,即b+2c的最小值为3+2

.故选C.高考仿真2

(2024浙江嘉兴一模,15)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3

,asinB=bsin

.(1)求角A;(2)作角A的平分线与BC交于点D,且AD=

,求b+c.解析

(1)由正弦定理可得asinB=bsinA,因为asinB=bsin

,所以sinA=sin

,因为A∈(0,π),所以A+A+

=π,所以A=

.(2)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD=

.因为S△DAB+S△DAC=S△ABC,所以

c·ADsin∠DAB+

b·ADsin∠DAC=

c·bsin∠BAC,即

c+

b=

cb,即c+b=cb,又由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos

=(b+c)2-3bc,把a=3

,b+c=cb代入化简得(b+c)2-3(b+c)-18=0,解得b+c=6或b+c=-3(舍去),所以b+c=6.高考变式1.“爪型”三角形中线问题典例1记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若点D为BC边的中点,∠BAC=120°,

△ABC面积的最大值为4

,则中线AD的长为

.

2解析

解法一:向量基底法设AD=x,因为D为BC的中点,所以

=

(

+

),所以

=

(

+

+2

·

).即x2=

(c2+b2+2bccos120°),整理得b2+c2=bc+4x2.而b2+c2≥2bc,所以bc+4x2≥2bc,即bc≤4x2,当且仅当b=c=2x时,等号成立,所以S△ABC=

bcsin∠BAC≤

×4x2×

=4

,解得x=2,即AD=2.解法二:中线长定理设BD=CD=m,AD=n,利用中线长定理可得n2+m2=

(b2+c2),①在△ABC中,由余弦定理得,4m2=b2+c2-2bccos120°,化简得m2=

(b2+c2+bc),②把②代入①化简得,4n2+bc=b2+c2,而b2+c2≥2bc,所以4n2+bc≥2bc,即bc≤4n2,当且仅当b=c=2n时,等号成立,所以S△ABC=

bcsin∠BAC≤

×4n2×

=4

,解得n=2,即AD=2.技巧

在△ABC中,AD是边BC上的中线.1.中线长定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2).

推导过程:在△ABD中,cosB=

,在△ABC中,cosB=

,联立两个方程可得:AB2+AC2=2(BD2+AD2).2.向量法:

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).推导过程:易知

=

(

+

),则

=

(

+

)2=

+

+

|

|·|

|·cos∠BAC,所以

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).3.向量法结论推广:在△ABC中,若D点为BC边上异于B,C两端点的任意一点,且满足|BD|

=m,|DC|=n,因为

=

=

-

,所以

=

+

=

+

-

=

+

.即

=

+

,则

=

+

+

·

.2.“爪型”三角形高线问题典例2记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AD⊥BC交BC边于D点,∠BAC=120°,AD=2,则

·

的最大值是

.-8解析

解法一:等面积法因为S△ABC=

bcsin∠BAC=

a·AD,AD=2,所以a=

bc①.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos120°②,①代入②得

b2c2=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,所以bc≥16.当且仅当b=c时,等号成立.所以

·

=bc·cos120°=-

bc≤-8.故

·

的最大值为-8.解法二:坐标法建立如图所示的直角坐标系,设AC=n,AB=m.

因为∠BAC=120°,所以∠OAC=60°,则A

,C

,B

.则BC=

=

.S△ABC=

AC×ABsin∠BAC=

AD×BC,整理得,

m2n2=m2+n2+mn,而m2+n2≥2mn,所以

m2n2=m2+n2+mn≥3mn,解得mn≥16.所以

·

=|