第10讲对应计数（教师版）

第10讲对应计数第10讲对应计数知识点知识点对应计数（五下）

课堂例题课堂例题插板法1、把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？【答案】

171种；231种【解析】

用“插板法”即可解决．20个苹果，共有19个空隙，分给个小朋友需要块隔板，将2块隔板插入19个空隙中的某两个中，就是从19个空隙中挑出两个用来插板子，方法有；第二问同样用插板法，仍然是20个苹果和2块隔板．但此时隔板不一定要放在19个空隙中，也可以放在所有苹果的最左端或者最右端，而且它们也不一定插入两个不同的空隙，插入同一个空隙也是可以的．因此，我们只要把20个苹果和2块隔板随意排成一行即可．这个对象排成一行会占22个位置，从这22个位置中挑出2个来放隔板，剩余的20个位置自然就是放苹果，因此共有种不同的方法．2、要把20个相同的苹果分给小高、墨莫和卡莉娅，要求小高至少分到2个，墨莫至少分到3个，卡莉娅至少分到4个，一共有多少种不同的分法？【答案】

78【解析】

先满足小高分到2个，墨莫分到3个，卡莉娅分到4个，则还剩个．剩下的11个苹果可以任意分，所以为可为空的插板法．分给3个人需要2个隔板，再加上11个苹果，共13个位置，选2个放插板，所以共种不同的方法．3、某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有__________种不同的可能．【答案】

861种【解析】

本题相当于把40个苹果放入3个盘子里，每个盘子都允许为空．因此共有40个苹果和2块隔板．方法数等于．对应法解计数4、在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？【答案】

336个【解析】

采用对应计数法，一个的长方形格子中包含4个“L”形，在的方格表中，包含个的长方形格子，共可数出个“L”形．5、下图中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有________条？AAB【答案】

56条【解析】

根据题目条件，要选择最短的路线，只能往上走或往右走．采用标数法，顶点上标的数字表示从A点到该顶点的走法，如下图所示：111AR2131QBPNM首先，到M点和N点，当然都只有1种走法，其中到Q点也只有1种走法．因为到P点的前一步，要么是从M点过来，要么是从N点过来，这两种情况之间是分类关系，所以到P点的走法共有种．同理，到R点的走法共有种．按这样的方法，依次把每个点都标上数，如下图所示：1111111AR2345613610152114102035561QBPNM最后，B顶点标记为56，即有56种不同的走法．6、（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？【答案】

（1）6种（2）36种【解析】

（1）青蛙要能够回到起点，必须向左跳两次，向右跳两次．例如（左，左，右，右），（左，右，右，左）等．不难看出，只要从4步中挑出2步来向左，另外两步自然向右，所以只要确定哪两步是向左跳，就确定了哪两步是向右跳．因此跳跃的方法数为种；11234（2）现在青蛙需要朝四个方向跳，我们记四个方向为1、2、3、4（如图所示）．如果想要跳回原地，必须保证四步之内1和2一样多，3和4一样多．于是可以分为两类情形：第一类，1、2、3、4各一个，共有种方法；第二类，只有1、2或者只有3、4，共有种方法．两者相加共36种．7、常昊与古力两人进行七番棋冠军争霸赛，谁先胜4局即获得比赛的胜利．请问：比赛过程一共有__________种不同的方式．【答案】

70种【解析】

由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种，再乘以2即可．比赛最多进行7场，其中常昊一定胜4场，而且比赛一定是在常昊获得第4场胜利时结束的，因此常昊获胜的那4场比赛的编号就决定了整个比赛流程．若两人只比赛4局，则只有1种方式；若两人比赛了5局，由于最后一局是常昊胜，则常昊在前面4局中胜了3局，有种方法；若两人比赛了6局，由于最后一局是常昊胜，则常昊在前面5局中胜了3局，有种方法；同理，若两人比赛了7局，则共有种方法．因此常昊胜的情况共有种方法．所以比赛过程共有70种不同方法．8、海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？【答案】

792种【解析】

本题从题面上看，是要从18盏灯中选出7盏来熄灭．但实际解决的时候，需要换一个角度：如何把灭掉的7盏灯，插入另外11盏亮着的灯之间．如下图所示，在11盏亮灯之间插入熄灭的灯时，每个空隙最多插1盏，否则灭灯就相邻了，因此必须挑7个空隙，每个空隙插一盏，而可供插入的空隙有12个（两端也可），因此答案为．9、含有两个1和三个2的五位数有多少个？【答案】

10【解析】

五个数字占五个位置，从中选2个位置放1，剩余位置放2即可．所以共个．10、一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图所示）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个．若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？【答案】

210种【解析】

由题目条件可知，每一列的靶子顺序是确定的，或者说在排列的时候是不计顺序的．一共射击7次，我们选其中的3次，射第一列的靶子，有种方法．剩下4次，选其中的2次，射第二列的靶子，有种方法．剩下的2次，射第三列的靶子，有种方法．击碎全部7个靶子共有种不同的方法．

随堂练习随堂练习1、龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟．如果每只小乌龟至少分一个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方法？【答案】

20，120【解析】

不可为空插板法，7个乌龟壳有6个空隙，分给4只小乌龟，需要3个隔板．所以共种分法．可为空的插板法，分给4只小乌龟需要3个隔板，再加上7个乌龟壳，共需要10个位置．10个位置中选3个放插板，所以共种方法．2、8名同学做同一道单选题，它有A、B、C、D四个选项，每个同学都选了其中一个选项．老师为了调查同学们的做题情况，把选择各个选项的人数都做了统计，则有多少种可能的统计结果？【答案】

165【解析】

可为空的插板法，分给4个选项需要3个隔板，再加上8名同学，共需要11个位置．11个位置中选3个放插板，所以共种方法．3、在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形？【答案】

100【解析】

每个的长方形中可以数出4个如右图所示的图形．而的方格棋盘中，可以数出25个的正方形．所以在的方格棋盘中，一共可以数出个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形．4、一只青蛙沿着一条直线跳跃6次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？【答案】

20【解析】

青蛙要想跳跃6次后回到原点，则必须左右跳的次数相等，各为3次，所以有种可能的跳法．课后作业课后作业1、计算：_________．【答案】

22【解析】

．2、下图中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有________条？AABA．56B．54C．50D．40【答案】

A

【解析】

根据题目条件，要选择最短的路线，只能往上走或往右走．采用标数法，顶点上标的数字表示从A点到该顶点的走法，如下图所示：111AR2131QBPNM首先，到M点和N点，当然都只有1种走法，其中到Q点也只有1种走法．因为到P点的前一步，要么是从M点过来，要么是从N点过来，这两种情况之间是分类关系，所以到P点的走法共有种．同理，到R点的走法共有种．按这样的方法，依次把每个点都标上数，如下图所示：1111111AR2345613610152114102035561QBPNM最后，B顶点标记为56，即有56种不同的走法．选A．3、阿呆玩PSP格斗游戏，游戏采用的是五局三胜制（阿呆VS电脑），谁先胜三场谁就获得胜利．如果最后阿呆获胜，那么一共有_______种可能的比赛过程．（只考虑每场比赛的胜负）【答案】

10【解析】

最后阿呆获胜，则说明阿呆胜了三场，所以五场中选三场作为阿呆胜利场次即可，则有种可能的比赛过程．4、在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形？【答案】

36【解析】

每个的正方形中可以数出4个如右图所示的图形．而的方格棋盘中，可以数出9个的正方形．所以在的方格棋盘中，一共可以数出个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形．5、5枚相同样式的高思奖章颁发给3名学生，每个学生至少一枚，则有__________种颁奖方式．【答案】

6种【解析】

采用插板法，5个奖章，共有4个空隙，分给3个学生需要块隔板，将2块隔板插入4个空隙中的某两个中，就是从4个空隙中挑出两个用来插板子，方法有种，共有6种颁奖方式．6、一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有__________种安排播出的方法．【答案】

165种【解析】

采用插板法，共有种不同的播出方法．7、现在有12道竞赛题，卡莉娅要在今天、明天、后天这三天内按顺序做完，但每一天可以做很多道题也可以一道不做．共有_______种安排做题的方案．【答案】

91【解析】

可为空的插板法．要想三天做完，则需要2个插板．加上12道题，共14个位置，选2个放隔板，共种安排做题的方案．8、在的方格棋盘中，一共可以数出_______个如图所示的由5个单位小正方形组成的“凹”字形．【答案】

80【解析】

每个的方格内都有2个“凹”字型，而的方格内有40个的方