专题01 角平分线的五种题型（原卷版）

专题01角平分线的五种压轴题型全攻略【知识点梳理】1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段：2. 在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：3. 构造等腰三角形：类型一、作垂线分两边例1．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，平分，，点是上的动点，若，则的长的最小值为．

例2．（2022上·四川成都·八年级成都七中校考期中）如图，在中，，，边AB的中垂线与的外角的平分线交于点E，过点E作于点F，，则【变式训练1】．如图，在中，是的平分线，分别为上的点，且，求证：．【变式训练2】．（2023下·四川成都·八年级校考期末）如图，在中，平分，交于D，点E、G分别在边、上，连接，．过D作于F．已知，，，则的面积为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【变式训练3】．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，中，，，为的角平分线，过点作的垂线，垂足为点，则的长为．

类型二、截线段，构全等例．（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程；（2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明；（3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________．【变式训练1】．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．

(1)求的度数；(2)求证：．【变式训练2】．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

【变式训练3】．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．类型三、构造等腰三角形例．（2022下·四川成都·七年级统考期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为．【变式训练1】．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．【变式训练2】．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE=AD．类型四、作平行构造等腰例.如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【变式训练1】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．【变式训练2】如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.类型五、与一次函数综合例．（2022上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在平面有角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．(1)如图1．若a、b满足，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是；(2)如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；(3)如图3，设的平分线过点，请问的值是否为定值，请说明理由．【变式训练1】．（2022下·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C(1)若A点坐标为（2，2），求BC的长度；(2)如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：AC平分∠BAE．【变式训练2】．（2022下·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足．(1)m=，S△ABO=；(2)如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．(3)如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）【课后训练】1．（2023下·四川成都·八年级成都实外校考期中）如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且，设直线、直线交于点，两条直线表达式分别为，，下列结论中正确的个数有（）

①；②平分；③．A． B． C． D．2．（2022下·四川成都·八年级校考期中）直角三角形中，，两条角平分线与交于点O，若，则的度数是．

3．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则，②若，，则.4．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．5．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．6．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．7．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．

8．（2022下·四川成都·七年级四川省成都市盐道街中学校考期末）如图，和都是等边三角形，连接，，与交于点，连接，与交于点．(1)求证：；(2)求的大小；(3)若，，求的长度．9．（2023下·四川成都·八年级校联考期中）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边