专题02：整式的乘除（二）（解析版）-2021-2022学年七年级数学下册基础考点专题培优训练+重要题型小专题（北师大版）

专题02：整式的乘除（二）考点1：整式的乘法题型一：单项式乘以单项式例1.计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】见详解【分析】（1）直接利用积的乘方与幂的乘方运算法则化简，再合并同类项得出答案；（2）直接利用积的乘方与幂的乘方运算法则化简，再合并同类项得出答案；（3）直接利用积的乘方与幂的乘方运算法则化简，再合并同类项得出答案；（4）直接利用积的乘方与幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，再合并同类项得出答案；【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【点睛】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，正确运用相关运算法则是解题关键．【练习1】（1）计算：．【答案】【分析】根据单项式乘单项式法则：系数与系数相乘的积作为积的系数，相同字母底数不变，指数相加，单独的字母不变，仍作为积的一个因式．根据法则运算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．（2）计算：．【答案】【分析】先利用幂的乘方和积的乘方运算法则计算乘方，然后再根据单项式乘单项式的运算法则计算乘法．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．【练习2】计算（1）（2）（3）（4）【答案】见详解【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．题型二：单项式乘以多项式例2.计算：（1）（2）【答案】见详解【分析】根据单项式乘多项式法则去括号，然后根据单项式乘以单项式法则进行计算即可．【详解】解：（1）原式（2）原式【点睛】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式法则的熟练运用，解题时注意符号的确定．例3.化简：（1）；（2）．【答案】见详解【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算；（2）根据单项式乘多项式、积的乘方法则计算．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查的是单项式乘多项式、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．【练习3】（1）计算：A． B． C． D．【答案】D【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而得出答案．【详解】解：．故选：．【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．（2）计算：．【答案】【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．（3）若三角形的底边为，高为，则此三角形的面积为．【答案】【分析】直接利用三角形面积公式计算得出答案．【详解】解：三角形的底边为，高为，此三角形的面积为：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确把握运算公式是解题关键．【练习4】（1）计算：【答案】见详解【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【详解】解：．【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．（2）计算：．【答案】见详解【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．【详解】解：原式．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（3）计算：．【答案】见详解【分析】根据单项式乘多项式和幂的乘方与积的乘方法则分别进行计算即可得出答案．【详解】解：．【点睛】此题考查了单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型三：多项式乘以多项式例4.（1）计算：．【答案】【分析】根据多项式乘多项式法则进行解答即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．（2）计算：．【答案】【分析】利用多项式乘多项式的法则对所求的式子进行运算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是在运算中注意符号的变化．（3）计算：．【答案】见详解【分析】根据整式的乘法运算以及加减运算法则即可求出答案．【详解】解：原式．【点睛】本题考查多项式乘多项式与单项式乘多项式，解题的关键熟练运用多项式乘多项式，单项式乘多项式运算法则，本题属于基础题型．（4）计算：．【答案】见详解【分析】先去括号，然后再合并同类项．【详解】解：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，准确熟练的计算是解题的关键．【练习5】（1）乘积的计算结果是．【答案】【分析】利用多项式乘多项式的法则是进行运算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是在运算时注意符号的变化．（2）计算的结果为．【答案】【分析】利用多项式乘多项式的法则及去括号的法则对所求的式子进行运算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，去括号，解答的关键是去括号时注意符号的变化．（3）计算：．【答案】见详解【分析】利用多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则进行运算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解答的关键是去括号运算时注意符号的变化．（4）．【答案】见详解【分析】根据多项式乘多项式和单项式乘多项式的法则进行计算，然后合并同类项即可得出答案．【详解】解：．【点睛】此题考查了多项式乘多项式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型四：含参问题中的求值运算例5.（1）已知与的积与是同类项，求A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则得出：，再利用同类项的定义得出，的值，即可得出答案．【详解】解：，与的积与是同类项，，，解得：，，．故选：．【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式，正确得出，的值是解题关键．（2）已知，则代数式的值为．【答案】6【分析】利用单项式乘多项式计算出结果为，再利用代入原式中求值即可．【详解】解：原式故答案为6【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式以及因式分解，难度较低，熟练掌握单项式乘多项式和因式分解的方法是解题的关键．（3）若的运算结果中，的系数为，那么的值是A．4 B． C．8 D．【答案】C【分析】先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中的系数是，列出关于的等式求解即可．【详解】解：；运算结果中的系数是，，解得，故选：．【点睛】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是运用运算结果中的系数是，列方程求解．【练习6】（1）若与的积是，则．【答案】8【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则即可得到结论．【详解】解：，，，，，，故答案为：8．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟记法则是解题的关键．（2）若，则代数式．【答案】4【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则把原式化简，代入计算即可．【详解】解：，当时，原式，故答案为：4．【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（3）若，则、的值分别为A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出与的值即可．【详解】解：，，．故选：．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型五：“不含”、“无关”类问题例6．（1）若要使恒成立，则，的值分别是A．， B．2，2 C．2， D．，2【答案】C【分析】将已知等式左边展开，再比较等式左右两边对应项系数即可．【详解】解：恒成立，，，解得．故选：．【点睛】本题考查了整式混合运算的运用，等式恒成立，等式左右两边对应项系数相等是解题的关键．（2）若多项式和的乘积中不含和的项，求的值．【答案】见详解【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令项和项的系数为0，结论可得．【详解】解：由题意：．乘积中不含和的项，，．，．．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确使用法则进行运算是解题的关键．【练习7】（1）如果多项式与多项式的乘积中不含的一次项，则的值为A． B． C．5 D．【答案】B【分析】先去括号，合并同类项，再根据多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，列方程，解得．【详解】解：，多项式的乘积中不含的一次项，，；故选：．【点睛】本题主要考查了合并同类项、多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．（2）若恒成立，求的值．【答案】见详解【分析】根据单项式乘多项式的法则，可去括号，根据合并同类项，可化简整式，根据整式相等，可得次数相等的项的系数相等，可得、、的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】解：化简，得．若恒成立，得，解得．当，，时，．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，多项式相等恒成立得出次数相等的项的系数相等是解题关键．考点2：平方差公式题型一：直接运用平方差公式例7．（1）下列运算正确的是A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式逐一计算即可判断．【详解】解：、，错误；、，错误；、，正确；、，错误；故选：．【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式，并加以灵活运用．（2）．【答案】【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式，找到原式中的相同项和相反项是求解本题的关键．（3）．【答案】【分析】利用平方差公式计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的运用，熟记平方差公式是解题的关键．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．（4）计算的结果是．【答案】4【分析】利用平方差公式计算即可．【详解】解：．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答本题的关键．（5）若，且，则．【答案】5【分析】将变形为，再代入计算即可．【详解】解：，而，，故答案为：5．【点睛】本题考查平方差公式，掌握是正确应用的前提．【练习8】（1）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是A． B． C． D．【答案】B【分析】运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【详解】解：、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意；、是相同的项，互为相反项是与，符合平方差公式的要求，故此选项符合题意；、不存在相同的项，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意；、不存在相同的项和相反数的项，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意．故选：．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．（2）已知，，则．【答案】72【分析】利用平方差公式计算即可．【详解】解：，，，故答案为：72．【点睛】本题考查了平方差，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．（3）计算：．【答案】1【分析】根据平方差公式解决此题．【详解】解：．【点睛】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．（4）若，，则的值为A．5 B．2 C．10 D．无法计算【答案】A【分析】，即，把代入即可求得答案．【详解】解：，，，．故选：．【点睛】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．题型二：灵活运用平方差公式例8．（1）．【答案】见详解【分析】把当成一个整体，利用两数的和与这两数的差的积，等于它们的平方差计算．【详解】解：，．【点睛】本题主要考查平方差公式，把看成一个整体当作相反项是利用公式求解的关键．（2）【答案】见详解【分析】原式前两项利用平方差公式化简，再利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：原式．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．例9．观察下列各式：；；；；（1）用你发现的规律填空：，；（2）用你发现的规律进行计算：．【答案】见详解【分析】（1）先根据平方差公式进行变形，再求出答案即可；（2）先根据得出的规律展开，再根据有理数的乘法法则求出答案即可．【详解】解：（1），，故答案为：，，，；（2）原式．【点睛】本题考查了平方差公式和数字的变化类，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．【练习9】（1）已知，，求的值．【答案】见详解【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：，，．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．（2）．【答案】5050【分析】先分组，再利用平方差公式分解因式，最计算可得答案．【详解】解：原式．故答案为：5050．【点睛】此题考查的是平方差公式及数字的变化规律，能够对原式利用平方差公式进行变形是解决此题关键．【练习10】回答下列问题：（1）填空：；；．（2）猜想：．（其中为正整数，且；（3）利用（2）猜想的结论计算：①；②．【答案】见详解【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值．【详解】解：（1）①；②；③；（2）猜想：；（3）①原式；②，故答案为：（1）；；；（2）．【点睛】此题考查了数字的规律和多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．题型三：平方差公式的几何意义例10．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分裁剪拼成一个长方形（如图2所示）．（1）如图1，阴影部分的面积为；（2）如图2，阴影部分（长方形）的宽为，长为，面积为；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式：；（4）请应用这个公式完成下列各题：①已知，，求的值；②计算：．【答案】见详解【分析】（1）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；（2）长方形的面积等于长乘以宽；（3）根据阴影部分的面积相等得到公式；（4）①根据平方差公式展开，将整体代入求值即可；②将5写成，然后连续使用平方差公式，化简即可．【详解】解：（1）大正方形的面积为，小正方形的面积为，阴影部分的面积为．故答案为：；（2）阴影部分的宽为，长为，面积为，故答案为：；；；（3）根据阴影部分面积相等得，故答案为：；（4）①，，；②原式．【点睛】本题考查了平方差公式，将5写成，变成平方差公式的形式是解题的关键．【练习11】（1）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为．【答案】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：拼成的长方形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．（2）如图甲，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形如图乙，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求得两幅图形中阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积相等可得到答案．【详解】解：图甲的面积大正方形的面积空白处正方形的面积；图乙中矩形的长，宽，图乙的面积．所以．故选：．【点睛】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，依据两个图形中阴影部分面积相等求解是解题的关键．1．计算的结果是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用单项式乘单项式的法则对所求的式子进行运算即可．【详解】解：．故选：．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的法则的掌握与应用．2．若，则常数的值为A．8 B． C．4 D．【答案】C【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则，得出关于，的等式，进而求出答案．【详解】解：，，，，解得：，故．故选：．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．计算的结果是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用单项式乘多项式的运算法则进行求解即可．【详解】解：．故选：．【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是熟记单项式乘多项式的法则．4．已知，，，则代数式的值是A．5 B． C．6 D．【答案】C【分析】先利用整式的混合计算化简，再代入数值解答即可．【详解】解：，把，代入，故选：．【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．如与的乘积中不含的一次项，则的值为A． B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把看作常数合并关于的同类项，令的系数为0，得出关于的方程，求出的值．【详解】解：，又与的乘积中不含的一次项，，解得．故选：．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．6．已知，，则的值是A．8 B．3 C． D．10【答案】C【分析】根据平方差公式解答即可．【详解】解：，，．故选：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．7．（1）计算：．【答案】【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．（2）已知单项式与的积为，那么．【答案】【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出与的值．【详解】解：，，，故答案为：【点睛】本题考查单项式乘以单项式，解题的关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型．8.（1）计算：．【答案】【分析】用单项式去乘多项式的每一项，然后把所得的结果相加，即可得出答案．【详解】解：=．故答案为：．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．（2）已知，那么的值是．【答案】【分析】直接利用已知变形，进而代入原式求出答案．【详解】解：，，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确将原式变形是解题关键．9．若中，不含的三次项，则．【答案】1【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，整理后根据结果不含的三次项，求出的值即可．【详解】解：原式，由结果不含的三次项，得到，．故答案为：1．【点睛】此题考查了单项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．若，则．【答案】4【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出与的值，即可确定出所求式子的值．【详解】解：已知等式整理得：，可得，，解得：，，则原式．故答案为：4．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（1）若，，则．【答案】3【分析】根据平方差公式得出，代入求出即可．【详解】解：，，，，．故答案为：3．【点睛】本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式，能够正确运用整体代入思想．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．（2）化简：．【答案】【分析】根据平方差公式计算即可，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握平方差公式是解答本题的关键．12．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】见详解【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算，然后合并同类项即可；（2）根据积的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算，然后合并同类项即可；（3）根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则进行计算，然后合并同类项即可；（4）根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则