湖北省云学名校联盟2024−2025学年高二下学期4月期中联考 数学试题（含解析）

湖北省云学名校联盟2024−2025学年高二下学期4月期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．记等差数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．2．下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（

）A． B．C． D．3．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（

）A． B． C． D．4．若的展开式中的系数为，则（

）A． B． C． D．5．“灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（

）A． B． C． D．6．已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．8．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．数列的通项公式为二、多选题（本大题共3小题）9．近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2025年到2029年间，有93%的概率平均气温会超过2020年，达到历史上最高气温纪录.某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中6名男生4名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则下列说法正确的是（

）A．选取的4名学生都是男生的不同选法共有15种B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有360种C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有195种D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种10．设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．没有最大值11．已知函数，对于不相等的实数设，，现有如下四个结论，其中正确的选项是（

）A．对于任意不相等的实数都有B．当时，函数恰有3个零点C．对于任意的实数，存在不相等的实数，使得D．对于任意不相等的正实数，都有三、填空题（本大题共3小题）12．函数f(x)＝x＋xlnx在(1，1)处的切线方程为.13．化简.14．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上第一象限内的动点，设，当时，；当时，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)当时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值；(2)当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值.16．已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在上的最小值为，求实数的值.17．已知数列满足，数列满足.(1)求数列的前项和；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.18．已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.

(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，当时，①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；②求的最小值.19．已知函数.(1)若恒成立，求实数的值；(2)当时，方程有两个不同的根，分别为.①求实数的取值范围；②求证：.

参考答案1．【答案】A【详解】由题知．故选A．2．【答案】D【详解】对于A，∵，∴A不正确；对于B，，，故B不正确；对于C，由组合数性质可得，故C不正确；对于D，由组合数性质可知，故D正确．故选D．3．【答案】C【详解】根据全概率公式可得:.故选C．4．【答案】B【详解】因为展开式的通项公式为，令，得；令，得．所以的展开式中的系数为，解得．故选B．5．【答案】B【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在8:00~9:00去金顶、太子坡、南岩宫游玩，且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则5人一共有种情况，若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫，每人有2种选择方法，则5人一共有种情况，故金顶一定要有人去有种情况．故选B．6．【答案】D【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知．如图，设于点，则，由图可知，当三点共线，且在中间时，取得最小值．由抛物线，得，所以的最小值即点到直线的距离，为．故选D．

7．【答案】B【详解】根据题意可令，所以在上单调递增，则原不等式等价于，由，解之得．故选B．8．【答案】C【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确；对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则，数列是以首项为1，公比为2的等比数列，数列的前项和即为，，B选项正确；对C选项，，C选项错误；对D选项，由B选项分析可得，又，，又，是以首项为，公比为3的等比数列，，D选项正确．故选C．9．【答案】AC【详解】选取的4名学生都是男生的不同选法共有种，故A正确；恰有2名女生的不同选法共有种，故B错误；至少有1名女生的不同选法共有种，故C正确；选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D错误.故选AC．10．【答案】ABD【详解】因为，所以或，即或若，又，，又,，所以，符合题意，若，又，则，又，则，与矛盾，不符合题意，所以没有最大值，所以A、D正确，因为前项均小于1，从项起均大于1，所以无最大值，故C错误；又由，所以B正确．故选ABD．11．【答案】BCD【详解】对于A，因为在上是先减后增的函数，在对称轴左边的两点连线斜率为负数，所以对于不相等的实数不恒成立，故A错误；对于B，当时，令，则，令，又为增函数，所以当时，，当时，，所以即在上单调递减，在上单调递增，又，所以存在；两个零点，所以当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，又，所以当时，函数恰好有3个零点，故B正确；对于C，由，得，即，令，则，在上单调递增，当时，，当时，，即必唯一有零点，即存在满足使得当时，；当时，；所以先减后增，即存在不相等的实数使即，故C正确．对于D，又：，当且仅当时等号成立，所以对于任意不相等的正实数都有，故D正确．故选BCD．12．【答案】【详解】，则，则函数在点处的切线方程为：.13．【答案】【详解】.14．【答案】/【详解】（1）当时，双曲线方程为：由于点在双曲线上，设点，，．．（2）在中，由正弦定理：，，，，由（1）可得：，.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，令．故：，当时，；当时，．故：当时，数列前项和取得最小值．（2）解法一：当时，，．因为数列是公差为等差数列，所以：不为常数，故：的值为．解法二：由解法一知：，，可得：，．因为数列是公差为等差数列解得：或．检验：当时，，故：满足条件；当时，，，此时：，故：为常数数列，不满足条件．综上：的值为．16．【答案】(1)极大值，极小值(2)【详解】（1）当时，，．令，同理：或所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增．当时，取得极大值；当时，取得极小值．（2）解法一：由题：，．①当时，，在单调递增，．②当时，，在单调递减，．③当时，在单调递增，在单调递减．此时：不合题意．④当时，，在单调递增，．综上：的值为．解法二：由题：，．①当时，，在单调递增，．②当时，由于，在上的最小值小于，与题目矛盾，故不成立；综上：的值为．解法三：由题：，．由题：的最小值为，则必有：．当时，，在单调递增，．故：的值为．17．【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，，则，令，于是，两式相减得：，则，所以.（2）由（1）得，整理得，令，显然，，当时，，当时，，于是，因此，，则，所以的取值范围是.18．【答案】(1)(2)①证明见解析，；②1【详解】（1）由题意可得，所以椭圆的标准方程为：．（2）解法一：①由条件，可知直线的斜率存在，设直线，，，联立方程组：，其中（▲），所以，，由条件，即，由于直线不过点，故，化简可得，所以，代入（▲）式，，此时直线恒过定点．②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，

所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件．故的最小值为．解法二：①设，，由条件，即（★），由点在椭圆上，则有，即①，同理可得②，①②可得：代入（★）式可得：，即，变形可得．所以直线恒过定点．②解法同一.19．【答案】(1)(2)①；②证明见解析【详解】（1），．由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续，故：不仅是函数的最小值，同时也是