高考数学学霸经验与试题及答案

高考数学学霸经验与试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共10题）

1.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$\Delta=b^2-4ac=0$，则函数图像的形状是：

A.两个交点

B.一个交点

C.无交点

D.两条直线

2.在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}$的值为：

A.23

B.20

C.18

D.15

3.若向量$\vec{a}=(1,2)$，向量$\vec{b}=(2,3)$，则向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的数量积是：

A.5

B.-5

C.7

D.-7

4.若直线$y=mx+n$经过点$(2,3)$和$(4,6)$，则直线方程中的参数$m$和$n$分别为：

A.$m=1,n=1$

B.$m=1,n=2$

C.$m=2,n=1$

D.$m=2,n=2$

5.在平面直角坐标系中，若点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标是：

A.$(3,2)$

B.$(2,3)$

C.$(3,3)$

D.$(2,2)$

6.若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公比$q=2$，则第5项$a_5$的值为：

A.32

B.16

C.8

D.4

7.若函数$y=\sqrt{x^2+1}$的定义域为$[1,+\infty)$，则函数的值域为：

A.$[1,+\infty)$

B.$[1,2)$

C.$[2,+\infty)$

D.$(2,+\infty)$

8.在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC=4$，底边$BC$的中点为$D$，若$\angleADB=45^\circ$，则三角形$ABC$的周长为：

A.12

B.16

C.18

D.20

9.若不等式$x^2-5x+6<0$的解集为$A$，则$A$的表示方法是：

A.$(2,3)$

B.$(3,6)$

C.$(1,4)$

D.$(2,4)$

10.在复数$a+bi$中，若$a=3$，$b=-4$，则该复数的模为：

A.5

B.7

C.9

D.11

二、判断题（每题2分，共10题）

1.若两个函数在某一区间内单调递增，则它们的和函数也在该区间内单调递增。（）

2.在直角坐标系中，若点$(x,y)$在第一象限，则$x>0$，$y>0$。（）

3.任意一个三角形的三边长均能构成一个三角形。（）

4.若等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公差$d=2$，则第5项$a_5=10$。（）

5.向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的数量积等于向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。（）

6.函数$y=\sqrt{x}$在定义域内是增函数。（）

7.若函数$y=ax^2+bx+c$的图像是开口向上的抛物线，则$a>0$。（）

8.在等边三角形中，每个内角都是$90^\circ$。（）

9.若不等式$x^2-3x+2>0$的解集为空集，则该不等式无解。（）

10.若复数$a+bi$的模为1，则$a^2+b^2=1$。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述函数$f(x)=x^3-3x$在区间$(-\infty,+\infty)$上的单调性，并说明理由。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$a_1=2$，$a_2=5$，$a_3=8$，求该数列的通项公式。

3.设向量$\vec{a}=(3,-4)$，$\vec{b}=(2,1)$，求向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的夹角。

4.若函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在定义域内的值域为$[2,+\infty)$，求实数$a$的取值范围。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述数列极限的概念，并举例说明如何求一个数列的极限。

2.论述函数的连续性及其在几何直观上的意义，并说明如何判断一个函数在某一点处是否连续。

五、单项选择题（每题2分，共10题）

1.若函数$f(x)=x^2-4x+3$的图像与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，则下列说法正确的是：

A.函数在$x=2$处取得极小值

B.函数在$x=2$处取得极大值

C.函数在$x=2$处无极值

D.函数在$x=2$处取得局部极小值

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，则该数列的首项$a_1$为：

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,6)$，则向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的夹角余弦值为：

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$\frac{2}{3}$

D.$\frac{3}{2}$

4.在平面直角坐标系中，若点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则点$B$到原点的距离为：

A.$\sqrt{13}$

B.$\sqrt{10}$

C.$\sqrt{5}$

D.$\sqrt{2}$

5.若函数$y=\sqrt{x^2+1}$在$x=0$处的导数为1，则下列说法正确的是：

A.函数在$x=0$处取得极小值

B.函数在$x=0$处取得极大值

C.函数在$x=0$处无极值

D.函数在$x=0$处取得局部极小值

6.若不等式$x^2-5x+6<0$的解集为$A$，则$A$的表示方法是：

A.$(2,3)$

B.$(3,6)$

C.$(1,4)$

D.$(2,4)$

7.在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC=4$，底边$BC$的中点为$D$，若$\angleADB=45^\circ$，则三角形$ABC$的周长为：

A.12

B.16

C.18

D.20

8.若复数$a+bi$的模为1，则$a^2+b^2$的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像是开口向上的抛物线，且$f(0)=1$，则下列说法正确的是：

A.$a>0$

B.$b>0$

C.$c>0$

D.$a+b+c>0$

10.在直角坐标系中，若直线$y=mx+n$与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$，则直线方程中的参数$m$和$n$分别为：

A.$m=1,n=1$

B.$m=1,n=2$

C.$m=2,n=1$

D.$m=2,n=2$

试卷答案如下：

一、多项选择题

1.B

解析思路：$\Delta=b^2-4ac=0$时，二次方程有唯一解，即函数图像与$x$轴相切，故选B。

2.A

解析思路：等差数列通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$计算得$a_{10}=23$。

3.A

解析思路：向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,3)$，数量积$\vec{a}\cdot\vec{b}=1*2+2*3=5$。

4.B

解析思路：代入点$(2,3)$和$(4,6)$到直线方程$y=mx+n$中，解得$m=1$，$n=2$。

5.A

解析思路：点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点$B$坐标为$(3,2)$。

6.A

解析思路：等比数列通项公式为$a_n=a_1*q^{(n-1)}$，代入$a_1=1$，$q=2$，$n=5$计算得$a_5=32$。

7.A

解析思路：函数$y=\sqrt{x^2+1}$的定义域为$[1,+\infty)$，值域为$[1,+\infty)$。

8.A

解析思路：等腰三角形底边中点到顶点的距离等于腰的一半，即$AD=2$，$BD=2$，故$AB=2+2=4$，周长为$4+4+4=12$。

9.C

解析思路：不等式$x^2-3x+2<0$的解集为$(1,2)$，故选C。

10.A

解析思路：复数$a+bi$的模为$\sqrt{a^2+b^2}$，代入$a=3$，$b=-4$计算得模为5。

二、判断题

1.×

解析思路：两个函数单调递增，其和函数不一定单调递增。

2.√

解析思路：点$(x,y)$在第一象限，则$x>0$，$y>0$。

3.√

解析思路：任意三角形的三边长均大于0，能构成三角形。

4.√

解析思路：等差数列通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$d=2$，$n=5$计算得$a_5=10$。

5.√

解析思路：向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角。

6.√

解析思路：函数$y=\sqrt{x}$的定义域为$[0,+\infty)$，值域为$[0,+\infty)$。

7.√

解析思路：函数$y=ax^2+bx+c$的图像是开口向上的抛物线，则$a>0$。

8.×

解析思路：等边三角形每个内角为$60^\circ$。

9.×

解析思路：不等式$x^2-3x+2>0$的解集为$(\infty,1)\cup(2,+\infty)$。

10.√

解析思路：复数$a+bi$的模为$\sqrt{a^2+b^2}$，代入$a=3$，$b=-4$计算得模为5。

三、简答题

1.解析思路：函数$f(x)=x^3-3x$的导数$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=-1$和$x=1$。当$x<-1$或$x>1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$-1<x<1$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。

2.解析思路：等差数列前三项为$a_1=2$，$a_2=5$，$a_3=8$，公差$d=a_2-a_1=3$，通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*3=3n-1$。

3.解析思路：向量$\vec{a}=(3,-4)$，$\vec{b}=(2,1)$，$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值为$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3*2+(-4)*1}{\sqrt{3^2+(-4)^2}\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{2}{5}$。

4.解析思路：函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域为$\mathbb{R}-\{2\}$，化简得$f(x)=x+2$。值域为$[2,+\infty)$，故实数$a$的取值范围为$a