2023-2025北京高一（上）期末数学汇编：基本不等式

第1页/共1页2023-2025北京高一（上）期末数学汇编基本不等式一、单选题1．（2025北京密云高一上期末）设，且，则（

）A． B．C． D．2．（2025北京四中高一上期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（2025北京朝阳高一上期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．4．（2025北京八中高一上期末）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024北京密云高一上期末）已知，则有（

）A．最大值0 B．最小值0C．最大值 D．最小值6．（2024北京西城高一上期末）已知，则的最小值为（

）A．－2 B．0 C．1 D．7．（2024北京西城高一上期末）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2023北京丰台高一上期末）已知，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．29．（2023北京十一学校高一上期末）已知实数，满足，，且，则的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．1410．（2023北京西城高一上期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为（

）A．20 B． C．40 D．40011．（2023北京东城高一上期末）已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．512．（2023北京八中高一上期末）已知，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．413．（2023北京密云高一上期末）已知函数，则此函数的最小值等于（

）A． B． C． D．14．（2023北京高一上期末）已知实数，且，则的最小值是（

）A．21 B．25 C．29 D．33二、填空题15．（2025北京顺义高一上期末）已知函数，那么当时，函数取得最小值且最小值为.16．（2025北京丰台高一上期末）已知正数满足，则的最大值是，的最小值是．17．（2025北京延庆高一上期末）已知，则的最大值为，当且仅当时，等号成立.18．（2025北京密云高一上期末）已知函数，则的最小值等于．19．（2024北京朝阳高一上期末）若，则的最小值是．20．（2024北京顺义高一上期末）已知函数，则当时，函数取到最大值且最大值为.21．（2024北京石景山高一上期末）已知，则当时，取得最小值为.22．（2024北京东城高一上期末）设，则的最小值为.23．（2023北京平谷高一上期末）已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），那么f（Q）的最小值是．24．（2023北京通州高一上期末）已知，则的最大值为，最小值为．25．（2023北京大兴高一上期末）若直角三角形斜边长等于12，则该直角三角形面积的最大值为；周长的最大值为．26．（2023北京怀柔高一上期末）已知，则的最小值为.三、解答题27．（2023北京石景山高一上期末）有这样一道利用基本不等式求最值的题：已知且求的最小值.小明和小华两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.小明的解法：由于所以而那么则最小值为小华的解法：由于所以而则最小值为（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（2）请说明你判断的理由.

参考答案1．C【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到.【详解】对于A，由，因，故得，即A错误；对于B，由两边同除以，可得，故B错误；对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确；对于D，由，因，故得，故D错误.故选：C.2．B【分析】AD通过分析符号可完成判断；B由基本不等式可判断选项正误；C由做差法可判断选项正误.【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负，当为负数时，，则A错误；对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确对于C，，故C错误；对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误；故选：B3．A【分析】根据题意，由不等式恒成立可得，且是方程的一个正根，从而可得的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】令，其对称轴为，当时，，若，当时，要使不等式对任意恒成立，则对任意恒成立，当时，不满足题意，所以，且是方程的一个正根，将代入可得，即，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A4．B【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可.【详解】由题意，，当且仅当，即时取等号.故选：B5．B【分析】利用基本不等式求最值即可得到结果.【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.故选：B.6．B【分析】由基本不等式求得最小值．【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：B．7．D【分析】由sinB=cosA•sinC化简可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得,由，为单位向量，可得，，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值．【详解】中设，，，，即，，，，，，，，，根据直角三角形可得，，，，，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，则存在实数使得,设，，则，，,,，则,,故所求的最小值为,故选：D.【点睛】本题为平面向量的综合题，考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的应用，属于综合题，解题关键在于将三角形中数量关系利用向量坐标运算进行转换，属于较难题.8．B【分析】变形为，再根据基本不等式即可求解最值.【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4.故选：B9．C【分析】利用1的妙用，结合基本不等式求解最值即可．【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为12．故选：C．10．A【分析】根据均值不等式求解即可.【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，所以当C最小时，s的值为20.故选：A11．D【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为，所以.当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故选：D12．C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：C13．D【分析】将函数配凑为，利用基本不等式可求得结果.【详解】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：D.14．A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵，等式恒成立，∴，由于，所以∵，当且仅当时，即时取等号．∴，∴，故的最小值为21．故选：A15．25【分析】应用基本不等式计算最小值及根据取等条件求x的值.【详解】因为，所以函数，当且仅当，即时取最小值5.故答案为：2；5.16．/0.5【分析】由基本不等式直接进行求解，得到，再变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】正数满足，由基本不等式得，即，解得，当且仅当，即时，等号成立，，故，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：，17．【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值.【详解】，当且仅当即时等号成立，故的最大值为，此时，故答案为：，.18．5【分析】凑项利用基本不等式即可求得的最小值.【详解】由，因，故，因，当且仅当时，即时等号成立，即当时，取得最小值为5.故答案为：5.19．3【分析】，利用基本不等式可得最值．【详解】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.故答案为：3．20．/【分析】利用均值不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：；21．【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时取等，所以当时，取得最小值为.故答案为：；.22．5【详解】，当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.23．1600【分析】由题意得到年产量为Q时的平均成本为，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．所以年产量为Q时的平均成本为，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为1600，故答案为：160024．【分析】由可推出，即得，即可得到最值.【详解】因为成立，当且仅当时，等号成立.所以，即，解得.所以，当且仅当时，有最大值；当且仅当时，有最小值.故答案为：；.25．36；【分析】由条件，利用基本不等式可求面积的最大值和周长的最大值.【详解】设两条直角边的边长分别为，则，，，由基本不等式可得，故即，当且仅当时等号成立，故直角三角形面积的最大值为，又，，所以，即，当且仅当时等号成立，所以直角三角形周长的最大值为，故答案为：36，.26．【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立