安徽省五校联考2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页安徽省五校联考2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合U=0,1,A．0 B．0,3 C．2 2．若复数z=1−i，实数a,b满足A．−1 B．−4 C．13．lne2sinA．6−22 B．5−124．研究变量x，y得到一组成对数据xi,yi,i=1,A．变量x与变量y的相关性变强 B．相关系数r的绝对值变小C．线性回归方程y=ax+b5．已知fx=−x2+aA．0,2 B．0,2 C．6．已知双曲线C:x2−y2a2=A．52 B．153 C．727．在△ABC中，内角A,B,CA．C=π6C．C=5π8．已知正三棱锥A−BCD的三个侧面均为等腰直角三角形，过点A作一平面α，使得B,C,D三点在平面α的同一侧，且A．5 B．2.5 C．6 D．2.6二、多选题9．某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（

）A． B． C． D．10．已知点A0,−5,A．直线y=2xB．曲线C上不存在点P，使得PC．若过点−2,0的直线l与曲线C有三个不同的交点，则直线D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向直线y=2x与直线y=11．在同一平面直角坐标系xOy中，函数fx及其导函数f′xA．fx不可能是函数B．函数fxC．函数y=eD．函数y=e三、填空题12．抛物线C:y2=13x的焦点为F，准线为l，点Ma,a，圆13．已知正四面体ABCD的棱长为2，动点P满足PA214．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，159=2×82四、解答题15．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为78，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为12.已知输入的问题表达不清晰的概率为(1)求智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差.16．已知x29+y2(1)求t的取值范围；(2)求四边形ABCD17．已知函数fx(1)求fx(2)将y=fx的图象绕原点O逆时针旋转π18．已知an为等比数列，bn为正整数n的最大奇因数，Qn(1)求an(2)写出n≥2时，Qn(3)求证：i=19．已知函数fx=λsinωx+φλ>0,ω>0,0<φ<π图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和最低点，过A，B作x轴的垂线，分别交x轴于A′，B′(1)求函数fx(2)在图2中，fx的图像上存在点Q，使得DQ//平面A(3)如图3，在折叠过程中，若二面角α−OC−β答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《安徽省五校联考2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题》参考答案题号12345678910答案BDCCADBCABCABD题号11答案BC1．B【分析】由补集、交集的概念即可得解.【详解】因为集合U=0,P∩故选：B.2．D【分析】法一：利用复数运算法则得到z+bz法二：变形得到z2−az+b=0，【详解】法一：因为z=所以z+所以1−a+b2法二：z+bz因为z=1−i是由韦达定理得1−i+故a=2,故选：D3．C【分析】利用对数的运算和二倍角公式以及差角的余弦公式求解即可.【详解】因为cos15所以lne故选：C4．C【分析】设变量x，y的平均数分别为x，y，分析可知x=xn【详解】设变量x，y的平均数分别为x，y，则x=1ni=1n可知新数据的样本中心点不变，仍为x,对于AB：可得i=同理可得i=则相关系数r=可知相关系数r的值不变，变量x与变量y的相关性不变，故AB错误；对于C：因为b=i=即b,a均不变，所以线性回归方程因为xn+1可知残差平方和i=所以拟合误差Q不变，故D错误；故选：C.5．A【分析】根据分段函数思想，结合函数的性质分析，可得函数在对称轴和分界点两处取得极值，列出不等式组，解之即得.【详解】因x≤1时，fx当a2<1又因x>1时，fx由函数的性质，可知要使fx还有一个极值，那就是f所以必须使a>则由a>0a故选：A.6．D【分析】过不在直线y=±ax上的点【详解】直线y=±a由于点2,则有4−4a2=1，所以则c2=1故选：D.7．B【分析】利用正弦定理化边为角，根据诱导公式和二倍角公式化简求出角C，最后通过余弦定理确定选项.【详解】由3asinA因0<A<π，则sinA因0<C2<π2，则cosC由余弦定理可得c2故选：B.8．C【分析】设三棱锥A−BCD的侧棱长为a，依题建系，设单位向量n是平面α的一个法向量，可得n=xAB+yAC+【详解】设三棱锥A−BC以A为原点，AB,A设单位向量n是平面α的一个法向量，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组x,y,依题意，AB在n上的投影向量的长度为2，则|即xAB+yA同理得|y|=又因B,C,D三点在平面α的同一侧，于是由n=22故选：C.9．ABC【分析】根据所给空间几何体的形状，逐项判断即可.【详解】根据所给空间几何体的形状，可得空间几何体利用现在放置方式能通过C，现在放置方式由在向物体后方旋转90度可通过B，由现在位置向右旋转90度再向后方旋转180度可通过A，以任何方式均不能通过D.故选：ABC.10．ABD【分析】应用分类讨论写出对应的方程，进而画出曲线的大致图象，结合椭圆、双曲线的性质，应用直线与曲线位置关系、韦达定理、点线距离公式等判断各项的正误.【详解】当x≥0,y>当x≥0,y<当x<0,y≥当x<0,y≤

A：一三象限曲线的渐近线方程为y=2x，则直线yB：满足PB−PA=所以不存在曲线C上的点P，使得PBC：设过点−2,0的直线l联立x=联立x=直线l与曲线C有三个不同的交点，则直线l斜率的取值范围是25D：设Qx0,所以QM因为点Q是曲线C上在第三象限内的一点，则有x0所以QM故选：ABD11．BC【分析】首先根据图象分辨fx和f【详解】由图知，函数fx与导函数f′x的图象均在x轴上方，故f∴fx为增函数，故实线是函数fx对y=exx2∵f0=x<0时，fxx>0时，fx∴函数fx可以是y对于C，y=e1当x<0时，y′>0∴函数y=e1对于D，y=ex所以y=ex−1fx在R故选：BC.12．0,【分析】根据条件可知点M到点F的距离与到准线l的距离相等，结合抛物线定义可得点M在抛物线上，列方程计算可得结果.【详解】方法一：∵圆M过点F且与l相切，∴点M到点F的距离与到准线l的距离相等，故点M在抛物线上，∴a2=13a，即a∴点M的坐标为0,0或方法二：由题意得，F112,∴MF=a−1122∵圆M过点F且与l相切，∴a+整理得a2−13a∴点M的坐标为0,0或故答案为：0,13．1【分析】设出正四面体的四个顶点，根据两点距离公式，结合PA2+【详解】把正四面体ABCD设正四面体的四个顶点为A2每条棱长均为2，设动点P(PAPBPCP故PAPC因为PA所以z=0，即所有满足条件的点P构成的平面为z=

而A,B,C,由于正四面体中AB⊥C故答案为：1.14．7【分析】由719【详解】719而C19故答案为：715．(1)45(2)分布列见解析，期望为125，方差为12【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解.（2）求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差.【详解】（1）设A=“智能客服的回答被采纳”，B依题意，P(B)因此P(所以智能客服的回答被采纳的概率为45（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X∼P(P(所以X的分布列为：X0123P1124864数学期望E(X)16．(1)t(2)6【分析】（1）联立方程，化简，方法一，分类讨论进行求解，方法二，利用不等式进行求解；（2）若t=0，显然S=6，若t≠0，根据对称性可设四个交点分别为Ax1,tx1,【详解】（1）联立x把②代入①中，得x29方法一：根的分布当t=当t≠0时，令u=要使原方程有四个不等实根，只要u2设u1,u则Δ=所以−32<t<方法二：放缩当t=当t≠0时，x29+（2）若t=0若t≠0，根据对称性可设四个交点分别为Ax由（1）x4−则OA的直线方程为y故点B到直线OA的距离为d，d=S=∵t<317．(1)答案见解析(2)a【分析】（1）首先对函数求导，然后分情况讨论a的不同取值范围下，函数的单调性从而得到函数的单调区间.（2）利用函数图像旋转后仍是函数图像的条件，转化为斜率的问题进行求解.可先取曲线上一点，利用该点旋转前后的坐标，列出关系式，构造函数，对函数的单调性进行讨论，进而求出a的取值范围.【详解】（1）由fx=当a=0时，当a<0时，fx在−当a>0时，fx在−（2）法一：旋转+函数定义设Px,y绕原点O逆时针旋转π4后点P对应点为Q设OP=r,O可得：x=r令t=x，则y令gt要使函数图象绕原点O逆时针旋转π4则gt为单调函数，即g′t因为g′t=1+所以g′t≥0恒成立，当t=0时，g′令ht=−易得当0<t<1时，h′∴h(当t<0时，g令mt=−∴mt在0,+综上：a法二：旋转+导函数值域当a=0时，f'x=得到y=当a>0时，由f′x>0，得∴fx在−∞其图象如图1所示绕原点O逆时针旋转π4当a<0时，由f′x>0，得∴fx在−∞,0单调递减，在0,+即−a≤2exx∵g′x=2x−∴g(综上：a∈18．(1)a(2)Q(3)证明见解析【分析】（1）根据给定条件，求出bi（2）由已知可得bn=n（3）由（2）的结论，利用累加法求出Qn，再利用等比数列前n【详解】（1）由bn为正整数n的最大奇因数，得b则a1=b所以等比数列an的通项公式为a（2）由bn为正整数n的最大奇因数，得当n为正奇数时，bn=n；当Qn==(所以当n≥2时，（3）当n=1时，Q1=bQn而Q1=2所以i=19．(1)f(2)可确定存在两个点Q满足条件，理由见解析(3)1【分析】（1）由题意：A′B′=T2，AA′=BB′=λ，利用绘有图像的纸片折叠前，存在关系AA′+（2）①在平面α内，过点D作fx图象的切线，斜率为−π2，AC连线的斜率kAC=−2，DC连线的斜率kDC=−332，过点D作DM//AC交x轴于M，则直线DM斜率为-2，由−332<−2<−π（3）以过A′且平行于B′B的直线为x轴，A′B′所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设二面角α−OC−β=θ，【详解】（1）由题意：A′B′当绘有图像的纸片折叠前，有AA于是2λ又当二面角α−OC−βAB=2联立①②，解得：λ=2，所以ω=又fx与y轴的交点为D0,3，可得sinφ所以fx（2）①在平面α内，过点D作fx图象的切线，斜率为f又点A−13故AC连线的斜率kAC=−于是，过点D作DM//AC交x轴于因为−332<−2<②在平面β上，过M