2024-2025学年四川省眉山市眉山中学校高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省眉山市眉山中学校高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(−1,2),b=(x,4)，且a⊥bA.8 B.2 C.4 D.12.已知α为锐角，且tanα=3sinα，则cosA.−79 B.−13 C.3.已知点A(1,3),B(4,−1),则与AB同方向的单位向量为A.35,−45 B.454.已知函数f(x)=sin2x向左平移π6个单位后，得到函数y=g(x)，下列关于y=g(x)A.图象关于点(−π3,0)中心对称 B.图象关于x=−π6轴对称

C.在5.在▵ABC中，三个内角A,B,C所对的边为a,b,c，若S▵ABC=2A.27 B.23 C.6.如图，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，则四边形OPDC面积的最大值为(

)

A.2 B.534−2 C.7.如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象与坐标轴的三个交点分别为P(−1,0)，Q，R，且线段RQ的中点M的坐标为3A.1 B.−1 C.62 8.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，过点G的直线分别与射线BA，BC交于点M，N，BM=λBA，BNA.1 B.87 C.97 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.▵ABC是边长为3的等边三角形，CD=2DB，则下列说法正确的是A.AD=13AB+23AC B.AD⃗=10.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列结论正确的是(

)A.若a2+c2−b2>0，则▵ABC为锐角三角形

B.若▵ABC为锐角三角形，则sinA>cosB11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有(

)A.AG⋅BC=4 B.AO⋅BC=−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,1)，b=(1,−1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数13.在边长为2的菱形ABCD中，M为BC的中点，AB⋅BC=2，点P在线段AB上运动，则PM⋅PC14.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=2，A=3π4，若λb+c有最大值，则实数λ四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分在▵ABC中，tanA=1(1)求角C的大小；(2)若▵ABC的最长边的边长为34，求▵16.(本小题15分在锐角▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2a(1)求角A的大小；(2)若a=2，求▵ABC周长的取值范围．17.(本小题15分某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点P在地面上的投影H位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30 m的A，B两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据．方案一：从A，B两点分别测得点P的仰角θ1和θ2，再从B点测得∠PBA.其中sinθ1方案二：从点A处测得∠PAB，从点B处测得∠PBA和点P的仰角θ2.其中cos∠PAB方案三：从点P处分别测得点A和B的俯角θ1和θ2，以及∠APB.其中sinθ1从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度PH的方案，并根据该方案中的数据计算出PH的长.(注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分.)18.(本小题17分)如图，已知▵ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，点I是▵ABC的内切圆圆心(即▵ABC三条内角平分线的交点)，直线AI与BC

(1)设AD=mAB+nAC，求(2)求线段AI的长．19.(本小题17分)已知向量a=(sinωx,cosωx)，b=(cosωx,(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)在[0,(3)若对∀x∈[0,π2]，关于x的不等式参考答案1.A

2.A

3.A

4.D

5.B

6.D

7.A

8.C

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.(−5,0)∪13.[2,9]

14.(15.(1)因为tanA=14所以tan(A+B)=因为0<A+B<π，所以A+B=(2)因为tanB>tanA>0，且A又由于C是钝角，所以最长边为AB，最短边为BC，由tanA=sinAcosA=1又sinC=22，由正弦定理16.(1)由2acosA−bcos所以2sin因为A∈0,π所以cosA=12(2)由正弦定理可得bsin所以b=43所以a+b+c=2+=4因为▵ABC为锐角三角形，则0<B所以，π3<B+故a+b+c=4因此，▵ABC周长的取值范围是217.选择方案二，则sin∠PAB=sin∠PBA=由于∠PAB所以sin∠=sin∠在▵PAB中，由正弦定理可得AB因此PB=AB从而PH=PBsin选择方案三：设PH=xm，则PA=PHsin在▵PAB中，由余弦定理可得A即169x2+9所以PH=90m如果选择方案一，因为cos∠PBA=712设PH=xm，则PA=PHsin由正弦定理计算可得sin∠PAB=则∠PAB所以cos∠PAB故不能唯一确定PH的值．

18.(1)由于AD是∠BAC的平分线，所以BD因此BD=25由平面向量基本定理可得m=35，(2)由(1)可知AD2由题意，AB2=16，由BC=AC−即25=16−2AB⋅AC因此AD2=9又BDDC=23，连结BI，则BI是∠ABD的平分线，因此AIID=

19.(1)依