2025届北京市海淀区高三下学期4月联考数学模拟试题（二模）含解析

2025届北京市海淀区高三下学期4月联考数学模拟试题（二模）一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数z在复平面内对应点是，则（

）A． B． C． D．2．设集合，则=（

）A． B． C． D．3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（

）A． B． C． D．4．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（

）A．72 B．56 C．48 D．365．已知数列满足.则的前60项的和为（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．27606．已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（

）A． B． C．或 D．或7．已知为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为A． B． C． D．8．设，则（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．下列结论正确的是（

）A．若随机变量服从两点分布，，则B．若随机变量的方差，则C．若随机变量服从二项分布，则D．若随机变量服正态分布，，则10．关于函数，下列说法正确的是（

）A．的最小值为2 B．是奇函数C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（

）A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件C． D．12．已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（

）A． B．周期C．在单调递减 D．满足三、填空题（本大题共4小题）13．某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是．14．在等比数列中，若，，则当取得最大值时，．15．若，则，．16．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若M点的坐标为，则的最小值为．四、解答题（本大题共6小题）17．已知数列满足，（）.（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）数列满足：（），求数列的前项和.18．已知在中，，点在边上且满足.(1)若的面积为，求的值；(2)若，求的大小.19．如图，已知四棱锥中，，，，平面，平面平面(1)证明：；(2)若，且，为的重心．求直线与平面所成角的正弦值．20．近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品请3位专家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若1件手工艺品3位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位专家认为质量不过关，再由另外2位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关的2位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关的2位专家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位专家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中1件手工艺品被1位专家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.(1)求1件手工艺品质量为B级的概率；(2)若1件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元、600元、300元，质量为D级不能外销，利润为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件.②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与均值.21．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1．(1)求的方程；(2)过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数，，.(1)求函数的极值；(2)若恒成立，求实数的最小值.

答案1．【正确答案】C【详解】因为复数z在复平面内对应点是，所以，则；故选C.2．【正确答案】A【详解】由题意可得，，，所以.故选A.3．【正确答案】C【详解】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则圆锥底面圆的半径为，底面圆的面积为，圆锥的表面积为.故选C.4．【正确答案】C【详解】将四个区域标记为，如下图所示：第一步涂：种涂法，第二步涂：种涂法，第三步涂：种涂法，第四步涂：种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，故选.5．【正确答案】D【详解】由，故，，，，….故，，，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；，，，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.故.故选D.6．【正确答案】C【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为直线过点，则，化简得切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或故选C.7．【正确答案】B【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos，化简得：（）a12+（）a22=4c2，即，又∵，∴，即≥，当时等号成立即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．故选B．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．【正确答案】A【详解】解：令，，则在上恒成立，所以，函数在上单调递减，所以，当时，，即，；令，，则，所以，函数在上单调递减，所以，当时，，即，，所以，当时，所以，，因为，所以所以，，即，即所以，故选A.9．【正确答案】CD【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，，则，故A错误；对于B，若随机变量的方差，则，故B错误；对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C正确；对于D，若随机变量服正态分布，，则，故D正确.故选CD.10．【正确答案】BCD【详解】A选项，由于，所以的值可以为负数，A选项错误.B选项，，所以为奇函数，B选项正确.C选项，，所以的图象关于直线对称，C选项正确.D选项，，所以在区间上递增，令，，令，，其中，所以，所以在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知在上单调递减，D选项正确.故选BCD.11．【正确答案】ACD【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；，C正确；事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．故选ACD．12．【正确答案】AC【详解】由，可得的对称轴为，所以又由知：，因为函数图像关于对称，即，故，所以，即，所以，所以的周期为,所以，所以，故A正确，B错误；因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，又图像关于对称，所以在上单调递增，因为关于对称，所以在上单调递减，又因为关于对称，可得函数在单调递减，故C正确；根据的周期为，可得，因为关于对称，所以且，即，由函数在上单调递减，且关于对称，可得在上单调递增，确定的单调区间内均不包含，若，所以不正确.故选AC.13．【正确答案】22【详解】由题意可得这组数据的平均数是.14．【正确答案】6【详解】在等比数列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得单调递减，且，因为，，所以当时，，当时，，所以当取得最大值时，．15．【正确答案】【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则.故；.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵，∴，即，又，将代入得，解得，则.16．【正确答案】34【详解】设直线AB的方程为，代入抛物线方程得．设，，则，，∴，，，当且仅当时取等号．17．【正确答案】(1)证明见解析，；(2).【详解】(1)因数列满足，，则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即，所以数列是等比数列，，；(2)由(1)知，则于是得，，所以数列的前项和.18．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）因为，所以，由余弦定理，得，所以；（2）设，则，由是等腰三角形及可得，解得，在内，由正弦定理，得，在内，由正弦定理，得，又，所以所以，所以，，因为，即或，所以或.的大小为或.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）过作于，∵平面平面，平面平面，因为平面，∴平面，又平面，∴，又∵平面，平面，∴平面，，∴平面，又∵平面，∴（2）以为坐标原点，，为，轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，∴，，，又设，∵，∴①∵，∴②由①②得，，∴又，故，设平面的法向量为则，令，∴设直线与平面所成角为．则．20．【正确答案】(1)(2)①2件；②分布列见解析，【详解】（1）由题意知，1件手工艺品质量为B级的概率为.（2）①由题意可知，1件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品是件，则，则，其中..由得，所以当时，，即，由得，所以当时，，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.②由题意可知，1件手工艺品质量为A级的概率为，1件手工艺品质量为B级的概率为，1件手工艺品质量为C级的概率为，1件手工艺品质量为D级的概率为，所以X的分布列为X900600300100P则.21．【正确答案】(1)(2)存在，或【详解】（1）解：由题意知，设点的坐标为，则直线的斜率为．因为直线的斜率为，所以，即，所以的面积，解得或（舍去），故抛物线的方程为．（2）解：假设存在点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方．由（1）得，抛物线的准线的方程为．设直线的方程为，，，，联立得，所以，，．因为，，所以，解得或．故存在定点，使得直线与的