2025届海南省海口市高三下学期4月联考数学模拟试题（二模）含解析

2025届海南省海口市高三下学期4月联考数学模拟试题（二模）一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（

）A． B．C． D．3．数列，则（

）A．44 B．143 C．165 D．5024．我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，一年后“进步”的约是“落后”的几倍？（

）A．10 B．100 C．1000 D．100005．已知，，则A． B． C． D．6．函数在时的瞬时变化率是（

）A． B． C．0 D．17．在边长为2的正方形中，点分别是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥外接球的表面积（

）A． B． C． D．8．已知点和以点为圆心的圆，以为直径的圆与圆相交于两点，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知一关于坐标轴对称的双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则该双曲线的离心率的取值可能是（

）A． B． C． D．10．已知函数，，，则（

）A． B．是偶函数C． D．11．已知，以下几种说法正确的是（

）A．（精确到小数点后一位） B．C． D．有最大值三、填空题（本大题共3小题）12．知，，，则在上的投影向量是．（用坐标表示）13．上的点到直线的最大距离是．14．甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手中的概率．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数，，(1)判断函数的单调性；(2)若，求的取值范围．16．已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．17．如图，和所在平面垂直，且，，点分别在直线和上移动，(1)证明：；(2)当的长最小时，求点到直线的距离．18．现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.(1)当时，①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；(2)记第三次取到白球的概率为，证明.19．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点．(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知，试判断以为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；(3)过第一象限的点作的垂线，交轴于点，过点作的垂线交直线于点，过点作的切线，切点为，试判断直线是否过定点．若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

答案1．【正确答案】B【详解】联立，解得，故.故选B.2．【正确答案】D【详解】这一事实表示为一个不等式为．证明：，又，，，即，即.故选.3．【正确答案】C【详解】易知.故选C.4．【正确答案】C【详解】，则，所以.故选C.5．【正确答案】A【详解】,,两式相加得：，则，选A.6．【正确答案】A【详解】，令，可得，解得，故选A7．【正确答案】D【详解】显然，两两垂直，其中，故三棱锥的外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，故外接球半径为，故三棱锥外接球表面积为.故选D.8．【正确答案】B【详解】已知圆的方程为，所以，且，则的中点为，圆的半径为，故圆的方程为，即，又圆的方程为，所以公共弦的方程为，设与交于点，则，则，又圆的半径，所以.故选B.9．【正确答案】BCD【详解】因为该双曲线关于坐标轴对称，所以我们对其焦点位置进行讨论，当焦点在轴上时，渐近线的斜率的绝对值为，因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以，且，故解得，则，得到，解得，当焦点在轴上时，渐近线的斜率的绝对值为，因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以，且，解得，则，得到，解得，综上可得，下面我们开始检验选项，对于A，，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C正确，对于D，，故D正确.故选BCD.10．【正确答案】CD【详解】当，，则，，所以是以4为周期的函数，又时，，作出的图象如图所示，对于A，，故A错误；对于B，由图象可得是奇函数，故B错误；对于C，由图象可得关于直线对称，所以，故C正确；对于D，由C选项可得，又，则，故D正确.故选CD.11．【正确答案】AC【详解】首先，我们用二项式定理对进行展开，得到，同样的，我们用二项式定理对进行展开，，因为，所以，易得的前两项相同，则从第三项以后开始比较大小即可，因为，，，所以从第三项以后的每一项都比要大，而比多了一个恒正的项，故，则是单调递增数列，下面，我们开始逐个判断各个选项，对于A，当时，，则，而后面的项相对较小，我们忽略，只取前四项故，故A正确，对于B，因为是单调递增数列，所以，故B错误，对于C，因为是单调递增数列，且，所以，故C正确，对于D，因为，且是单调递增数列，所以没有最大值，故D错误.故选AC.12．【正确答案】【详解】因为，，所以在上的投影向量.13．【正确答案】【详解】不妨设，显然该点满足椭圆方程，则该点到直线的距离为，其中，显然.14．【正确答案】【详解】解：记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，设次传球后球再甲手中的概率为，则有，所以，即，所以，且，所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.即n次传球后球在甲手中的概率是．15．【正确答案】(1)答案见解析(2)．【详解】（1），，①若，则，是上的增函数；②若，则在上，，单调递减；在上，，单调递增；③若，则在上，，单调递增；在上，，单调递减；综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）若，则当时，，不符合题意；若，则由（1）知，，又由，则，即．综上，若，则的取值范围为．16．【正确答案】(1)；(2)不存在，理由见解析．【分析】(1)直接赋值，然后建立等式求解即可；(2)先假设存在，然后计算不同项的值，最后利用等比中项来判断假设是否正确即可.【详解】(1)设等比数列的公比为，由题意知：当时，，①当时，，②联立①②，解得（舍去），所以数列的通项公式．(2)由(1)知．所以，所以．设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列．则，所以，即，又因为成等差数列，所以，所以，化简得，所以，又，所以，与已知矛盾，所以在数列中不存在不同的3项成等比数列．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）依题意，由平面平面，得以点为坐标原点，以所在直线为轴，分别在平面、平面内过点作垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，，，，则，所以，故．（2）设，，则，则，，，当，即时，的长最小值为，此时，，，即，故，又点在直线上，因此当的长最小时，点到直线的距离为．18．【正确答案】(1)①；②；(2)证明见解析.【分析】（1）①时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率；②先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，再结合条件概率即可得解；（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，进而得证．【详解】（1）①时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回），第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，所以第三次取出为白球的概率为；②设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），若则，取法数为，若或或，取法数为，也满足关系，故取（白，白，白）的取法可表示为，同理（白，红，白），取法数为，（红，白，白），取法数为，（红，红，白），取法数为，从而第三次取出的是白球的种数为：，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：，所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为；（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），取法数为，（白，红，白），取法数为，（红，白，白），取法数为，（红，红，白），取法数为，从而第三次取出的是白球的种数为：，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，而选到第个袋子的概率为，所以．【思路导引】根据题意首先分类讨论不同值情况下的抽取总数(可直接用值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中与的关系可简化累加步骤.19．【正确答案】(1)(2)以为直径的圆内