2025届河北省张家口市高三全市第二次模拟考试数学试题（二模）含解析

2025届河北省张家口市高三全市第二次模拟考试数学试题（二模）一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（）A． B． C． D．3．已知，则（）A． B． C． D．4．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．的展开式中项的系数为（）A． B． C． D．6．商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x（单位：元）与销量y（单位：万件）的调研数据：商品价格x/（元）1015202530销量y/（万件）5446403632则下面四个回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是（）（参考数据，，）A． B． C． D．7．已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（）A．3 B． C． D．8．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（

）A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，则（

）A．是的充要条件B．是与的夹角为锐角的必要不充分条件C．是的充要条件D．是的充要条件10．已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（）A． B．为偶函数C．当时， D．当时，11．在直角中，，D为线段上一点，则（）A．若，，D是的内切圆在上的切点，则B．若，则存在直角，使得是，的等比中项C．若，则存在直角，使得是，的等比中项D．若，则存在直角，使得是，的等比中项三、填空题（本大题共3小题）12．已知点为抛物线上一点，为的焦点，则.13．已知数列不是递增数列，且，则k的取值范围为.14．已知关于x的方程有两个不等实根，则正数a的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数，圆.(1)若两条相邻的对称轴与C相切，求；(2)若，是的极值点，且点有且仅有两个在C的内部，求的取值范围.16．已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)探究是否为的极大值点.17．乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为.(1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；(2)求乙同学最终获胜的概率.18．如图，四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，且，，平面.

(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥体积的最大值；(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值.19．现定义：对于实数，若，则称b是a和c的加比中项；若，则称b是a和c的减比中项.已知数列满足，，且存在正数m，使是和的加比中项与减比中项.(1)若是与的等比中项，求m；(2)数列满足，，且是和的减比中项.记数列的前n项和为.（ⅰ）证明：是和的减比中项；（ⅱ）当时，证明.

答案1．【正确答案】D【详解】因为，故.故选D.2．【正确答案】A【详解】根据题意，这组数据的平均数，极差为.故选A.3．【正确答案】D【详解】由题意可得，则.故选D.4．【正确答案】A【详解】设，其中，根据共轭复数的定义可知．将，代入可得：根据平方差公式，可得，则上式可化为：因为等式两边的复数相等，根据复数相等的条件，可得方程组．由，解得．将代入，可得，解得，由，，可得，在复平面内，复数所对应的点的坐标为，所以该点位于第一象限．故选A．5．【正确答案】C【详解】展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中项的系数为.故选C.6．【正确答案】C【详解】对于A，分别代入，可得，与实际值相差较大，不合题意，故A错误；对于B，分别代入，可得，第五组数据与实际值相差较大，不合题意，故B错误；对于C，分别代入，求得的估计值与实际值完全相同，应采用，故C正确；对于D，分别代入，可得，，得，数据与实际值相差较大，不合题意，故D错误.故选C.7．【正确答案】B【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，则其表面积，得，又，所以，故正三棱柱的体积，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为.故选B.8．【正确答案】D【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则，因为是锐角三角形，所以，则|，，，由，得，整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为，离心率为，故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分．故选D.9．【正确答案】AC【详解】对于A，由，故A正确；对于B，由为锐角且不共线且，故B错误；对于C，由或，故C正确；对于D，时，可得：，，此时，仍满足，故D错误，故选AC.10．【正确答案】ACD【详解】对于A，令，得，解得，故A正确；对于B，令，则，所以是奇函数，故B错误；对于C，当时，，因为当时，，是奇函数，所以当时，，所以，故C正确；对于D，设，令，则，因为，所以，因为，所以，因此，即在上单调递增，因为是奇函数，所以在上单调递增，当时，，故，故D正确.故选ACD.11．【正确答案】AB【详解】对于A，设内切圆半径为，则，解得，由几何关系可得，，，则，故A正确；对于B，取，，则，所以，则，即存在直角，使得是的等比中项，故B正确；对于C，若，由面积，有，若是的等比中项，则，故有，显然不成立，故不存在，使得是的等比中项，故C错误；对于D，若，由正弦定理可得，，即，，可得，若成立，则，，即，即，显然不成立，故不存在，使得是的等比中项，故D错误.故选AB.12．【正确答案】【详解】将代入抛物线中，得到，解得，则抛物线方程为，，故.13．【正确答案】【详解】因为不是递增数列，所以或，解得.所以的取值范围为.14．【正确答案】【详解】由，可得，即，等价于，变形得，令函数，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为当时，，时，，所以若方程有两个实根，由，只需满足或，所以正数的取值范围为.15．【正确答案】(1)，(2)【详解】（1）由题，相邻对称轴间的距离为，又圆的直径为3，则，得，又圆心，所以其中一条对称轴为，，得，，又，.（2）若，则的极值点满足，，得，，又圆与轴交点分别为，所以原题设等价于有且仅有2个的值满足，整理得，故能且仅能取两个值，所以，解得.16．【正确答案】(1)(2)不是极大值点【详解】（1）当时，，，则，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）易得，假设是的极大值点，则，即，化简得，当时，，当时，，，只有当时，上式成立，故，当时，，则，但由假设知是的极大值点，于是由极大值的定义知存在，使得时，，与假设矛盾.所以不是的极大值点.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球，设事件为“再打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”，则，，故.（2）设事件为“乙赢了本局”，事件为“乙赢了上一局”，设事件为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为时，最终乙同学获胜”，当时，乙肯定赢了上一局，此时，若赢球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜的概率为，所以，同理，当时，乙肯定输了上一局，此时，若输球则输掉比赛，若赢球则获胜的概率为，所以，当时，若乙赢了上一局，此时，若赢球则获胜的概率为，若输球则获胜的概率为，所以，若乙输了上一局，，同理可得，又初始，故乙同学最终获胜的概率等价于，所以，解得.所以乙同学最终获胜的概率为.18．【正确答案】(1)证明见详解(2)(3)【详解】（1）由题，四边形在球的一个圆面的圆周上，故，又，故，故，由平面，平面，得，又，平面，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）作，由平面平面，平面平面，平面，可得平面，记四棱锥的体积为，则，而，由平面，则，故，于是，当且仅当时，取等号，由，得，，由，得，故，当且仅当取等号，于是，故.故四棱锥体积的最大值为.

（3）取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，故，解得，故,记与轴交于点，易知，而，故可设点，其中，于是，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，由辅助角公式得，所以，当，时，等号成立，故直线与平面所