空间向量的数量积运算（重难点突破）

1.1.2空间向量的数量积运算（一）、回顾平面向量1.平面向量基本定理如果QUOTE是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量QUOTE，一对实数QUOTE使QUOTE，其中不共线的向量QUOTE叫表示这一平面内所有向量的一组基底。结论：（1）若向量QUOTE，QUOTE不共线，则QUOTE的等价条件是QUOTE；（2）三终点A,B,C共线存在实数QUOTE使得QUOTE=QUOTE，且QUOTE2.两个向量的夹角（1）定义：一直两个非零向量QUOTE，作QUOTE，则∠QUOTE叫做QUOTE与QUOTE的夹角。（2）范围：夹角QUOTE的取值范围是。①当QUOTE与QUOTE同向时，QUOTE=；②反向时，QUOTE=；③当QUOTE与QUOTE垂直时，QUOTE=，并记作QUOTE⊥QUOTE。3.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件（1）QUOTE与QUOTE的夹角是锐角QUOTE·QUOTE0且QUOTE与QUOTE不共线；（2）QUOTE与QUOTE的夹角是钝角QUOTE·QUOTE0且QUOTE与QUOTE不共线。4.平面向量的数量积（1）定义：QUOTE·QUOTE=，规定QUOTE·QUOTE=；（2）坐标表示：QUOTE·QUOTE=，其中QUOTE；（3）运算律①交换律：QUOTE·QUOTE=；②结合律QUOTE·QUOTE=；③数乘：QUOTE·QUOTE=.（4）在QUOTE方向上的投影是；（5）·QUOTE的几何意义：数量积QUOTE·QUOTE等于的QUOTE模|QUOTE|与QUOTE在的QUOTE方向上的投影的乘积。5.向量数量积的性质设QUOTE，QUOTE都是非零向量，是与QUOTE方向相同的单位向量，QUOTE是QUOTE与QUOTE的夹角，则（1）QUOTE==；（2）QUOTE⊥QUOTE；（3）QUOTE·QUOTE=；（4）|·QUOTE|≤|QUOTE|·|QUOTE|.（二）、学习空间向量知识点一：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)、常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点二：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点三：夹角问题1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点诠释：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。2.利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点四：空间向量的长度1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2.利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。

重难点题型突破1空间向量的坐标运算例1、（1）.（2022秋·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点到坐标平面xOy的距离为（）A．2 B．1 C．5 D．3【答案】C【分析】根据空间中两点间的距离公式求解即可【详解】因为在空间直角坐标系中，点在坐标平面xOy的投影为，所以点到坐标平面xOy的距离为故选：C.（2）.（2021·高二课时练习）已知向量，，，若，则实数______.【答案】【分析】先根据坐标运算求出的坐标，然后利用数量积的坐标运算公式直接求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以，解得.故答案为：【变式训练11】、（2022秋·高二课时练习）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】利用向量运算的坐标表示即可求解.【详解】因为，所以，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：AD.【变式训练12】、（2022·高二课时练习）若点关于点对称的点是,则______________．【答案】【分析】根据题意为的中点,根据中点坐标公式求解即可.【详解】因为点关于点对称的点是,即为的中点,所以,解得,故.故答案为:.重难点题型突破2平行与垂直例2、（1）.（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数__________.【答案】4【分析】由题意可得，即可得到方程组，进而解出方程组即可.【详解】由题意得，，即，所以，解得.故答案为：4（2）.（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知空间向量，，若，则______.【答案】/【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】空间向量，，由，得，解得，所以.故答案为：【变式训练21】、（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，所以，解得.故选：D.【变式训练22】（2022秋·湖南郴州·高二校考期中）（多选题）已知空间向量则下列结论正确的是（）A． B．与夹角的余弦值为C． D．【答案】AD【分析】由向量的数量积运算以及向量平行的坐标运算求解即可.【详解】对于A：，则，即，故A正确；对于B：与夹角的余弦值为，故B错误；对于C：，因为，所以与不平行，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD重难点题型突破3空间向量的数量积计算例3、（1）.（2023·全国·高三对口高考）已知，则_________，_________，_________，_________，_________．【答案】【分析】由空间向量的模长公式，数量积的运算法则，夹角公式计算即可.【详解】已知，则，，，，.故答案为：；；；；.（2）.（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长等于，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，写出，，点的坐标，利用空间向量坐标运算得到和，直接利用空间向量数量积公式即可得出结果.【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，所以．故选：B.

【变式训练31】、（2023秋·高二课时练习）已知，则__________．【答案】【分析】直接根据向量的夹角公式求解.【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故故答案为：【变式训练32】、（2023春·贵州遵义·高二校考阶段练习）如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】依题意可得底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，根据，数量积的运算律及数量积的定义计算可得.【详解】因为四棱锥的各棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，所以底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，所以，且，因为，所以.故选：D重难点题型突破4挑战满分压轴题例4、（1）.（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D．（2）.（2023春·重庆北碚·高二重庆市朝阳中学校考期中）如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是(

)A．存在点F，使得为直角B．对于任意点F，都有直线∥平面C．对于任意点F，都有平面平面D．当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大【答案】C【分析】A：验证是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明⊥平面即可；D：证明∥平面即可．【详解】对于A，易知，故与不垂直，故A错误；对于B，连接、AC、EF，则平面平面=EF，若∥平面，则∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时与EF才平行，故B错误；对于C，连接、、、、、，由AB⊥平面得AB⊥，易知⊥，∵AB∩=A，AB、平面，∴⊥平面，∴⊥，同理可证⊥，∵∩=，、平面，∴⊥平面，∵平面，∴平面⊥平面，故C正确；对于D，连接、、，∵∥，平面，平面，∴∥平面，则F到平面的距离为定值，又△面积为定值，故三棱锥F体积为定值，故D错误．故选：C．【变式训练41】、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）在直四棱柱中中，底面为菱形，为中点，点满足.下列结论正确的是（

）A．若，则四面体的体积为定值B．若平面，则的最小值为C．若的外心为，则为定值2D．若，则点的轨迹长度为【答案】ABD【分析】对于A，取的中点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断A，对于B，由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于A，取的中点分别为，连接，则，，，因为，，所以，，所以三点共线，所以点在，因为，，所以,平面，平面，所以∥平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确，对于B，因为，因为平面，平面，所以∥平面，又平面，，平面，所以平面平面，取的中点，连接，则，，所以，所以四点共面，所以平面平面，平面平面,平面平面,所以，又，所以，所以点的轨迹为线段，翻折平面，使其与五边形在同一平面，如图，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为，因为，所以，，所以，在中，，，所以，所以，所以，在中，，，，所以，所以，即的最小值为，所以B正确，对于C，若的外心为，过作于，因为，所以，所以C错误，对于D，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又在中，，所以，，在中，，，，所以，则在以为圆心，2为半径的圆上运动，在上取点，使得，则，所以点的轨迹为圆弧，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.【变式训练42】、（2021·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，为的中点.给出下列四个说法：①为异面直线与所成的角；②三棱锥是正三棱锥