崇川区高二下学期期末数学试卷解析：2024-2025学年导数应用题解题思路

崇川区高二下学期期末数学试卷解析：2024-2025学年导数应用题解题思路一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1.函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的图像在$R$上单调递增，则下列选项中，一定正确的是（）A.$a>0$，$b>0$，$c>0$，$d>0$B.$a>0$，$b\leq0$，$c\leq0$，$d\leq0$C.$a>0$，$b$可以为任意实数，$c$可以为任意实数，$d>0$D.$a>0$，$b$可以为任意实数，$c\geq0$，$d\geq0$2.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的图像与$y=x$的图像的交点个数为（）A.1B.2C.3D.43.若函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，则下列选项中，正确的是（）A.$x^2+1>0$B.$x^2+1\leq0$C.$x^2+1>0$，且$x>0$D.$x^2+1\leq0$，且$x>0$4.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的图像的拐点个数为（）A.0B.1C.2D.35.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，若存在实数$a$，使得$f'(a)=0$，则下列选项中，正确的是（）A.$a=1$B.$a=2$C.$a=3$D.$a=4$二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）6.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$在$(0,+\infty)$上单调递增的区间为______。7.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的图像的拐点个数为______。8.函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$的图像的对称轴为______。9.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的图像的极值点为______。10.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的图像的凹凸性为______。三、解答题（本大题共4小题，共40分）11.（本题满分10分）设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的极值。12.（本题满分10分）设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的拐点。13.（本题满分10分）设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的单调区间。14.（本题满分10分）设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的凹凸区间。四、解答题（本大题共4小题，共40分）15.（本题满分10分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求证：$f(x)$在$x=1$处取得极大值。16.（本题满分10分）设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求证：$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。17.（本题满分10分）设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并分析$f'(x)$的单调性。18.（本题满分10分）设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并分析$f'(x)$的符号。五、解答题（本大题共4小题，共40分）19.（本题满分10分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。20.（本题满分10分）设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值和最小值。21.（本题满分10分）设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的图像在$x=0$处的切线方程。22.（本题满分10分）设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的图像在$x=0$处的切线方程。六、解答题（本大题共4小题，共40分）23.（本题满分10分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求出$f'(x)=0$的解。24.（本题满分10分）设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求出$f'(x)=0$的解。25.（本题满分10分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的二阶导数$f''(x)$，并分析$f''(x)$的符号。26.（本题满分10分）设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的二阶导数$f''(x)$，并分析$f''(x)$的符号。本次试卷答案如下：一、选择题1.C解析：函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的图像在$R$上单调递增，则其一阶导数$f'(x)=3ax^2+2bx+c$应恒大于等于0。由于$a$的系数为3，$x^2$的系数为正，故$a>0$。而$2bx+c$的系数为2b+c，可以取任意实数值，不影响$f'(x)$的符号。因此，正确答案是C。2.C解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$与$y=x$的交点个数即为$f(x)-x=0$的解的个数。通过计算$f(x)-x=x^3-4x^2+3x-3$，求其零点，可以找到交点的个数。3.C解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，说明其导数$f'(x)$在$(0,+\infty)$上恒大于等于0。通过求导并分析导数的符号，可以确定$x^2+1>0$且$x>0$。4.B解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的图像的拐点个数为函数的二阶导数$f''(x)$的变号零点的个数。通过求$f''(x)$并找出其变号零点，可以得到拐点的个数。5.D解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的导数$f'(x)=3x^2-6x+4$。要找到使得$f'(a)=0$的实数$a$，只需解方程$3a^2-6a+4=0$。二、填空题6.$(0,1)$和$(1,+\infty)$解析：根据函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的导数$f'(x)=3x^2-6x+4$，求出$f'(x)=0$的解$x=1$，可知$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。7.1解析：根据第四题解析中求得的$f''(x)$，只有一个变号零点$x=1$，因此只有一个拐点。8.$x=0$解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$的导数$f'(x)$中，分子和分母的导数相同，因此$f'(x)$关于$x=0$对称。9.$x=1$解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的导数$f'(x)=3x^2-6x+4$，求出$f'(x)=0$的解$x=1$，因此$f(x)$在$x=1$处取得极值。10.凸-凹-凸解析：根据函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的二阶导数$f''(x)=6x-6$，可知当$x<1$时，$f''(x)<0$，函数$f(x)$在$x<1$的区间内是凸的；当$x>1$时，$f''(x)>0$，函数$f(x)$在$x>1$的区间内是凹的。三、解答题11.（本题满分10分）$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=-1$。解析：根据二阶导数判别法，$f''(1)=-3<0$，因此$f(x)$在$x=1$处取得极大值。12.（本题满分10分）$f(x)$的拐点为$(1,-1)$。解析：根据二阶导数$f''(x)$的变号零点，拐点为$(1,-1)$。13.（本题满分10分）$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。解析：$f'(x)=\frac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}$，在$(0,+\infty)$上，$x^2>0$，$x^2+1>0$，因此$f'(x)>0$，函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。14.（本题满分10分）$f(x)$的凹凸区间为$(-\inft