流体排队单位时间费用模型

刖百

(1)选题目的及意义

随着社会科技和国民经济的发展，服务行业崛起，很多服务行业现在每天都要面临大

量顾客，并且顾客到达的时间间隔也越来越小，他仅到服务系统的到达速率增加，我们将

以前的离散顾客都看成流体，研究流体力学的理论知识，将把其理论的知识运用在排队系

统中，于是有了新的板块流体排队论.

在流体排队系统中，随着顾客流体数的无限增加，系统内的队长越来越大，对于一个

服务系统来说，如果可服务人的地方过小，那么服务员肯定也少，于是就有到达速度大于

服务率，那么在服务的地方因为人数过多就会产生捱挤，于是服务员的服务质量肯定会很

低，而且，人具有疲倦的期间，必须要引入带休假的服务，这些种种原因就会让顾客更不

愿意待，而且很多时候很多顾客见队长过长就不愿意过多耽误时间来等待服务员的服务，

从而顾客肯定会选择离开，于是顾客总希望服务的地方越大越好以及服务的人数越来越多,

服务的速率越来越快，但是决策者不会满足顾客可无限的假设，不会过多投入，如果过多

投入，当人数少的时候，就会造成服务台，服务员等资源的过多浪费，所以投资者会最大

限度利用、保护系统的秩序等，并且要求服务员不会始终以一定的速率进行服务，当人数

少就可速率慢，这样服务员即可休息，于是我们研究排队模型的目的要花最少的钱，赚最

多的钱还要尽量满足顾客们的要求，使它们直接按达到一个平衡点

本文为了解决这个问题，研究了排队论的理论，并且在埋论上建立了单位时间费用模

型和单位时间效益模型，假设都服从参数为义的poisson流，如果系统人数不限时，考虑费

用模型，费用模型与服务器台数有关，在尽量满足顾客的需求上，投资者花销最小.如果系

统内人数有限，并且系统有两个状态，考虑效益模型，本文主要研究门限对效益模型的影

响，以及当门限一定时，服务器的平均服务率对效益的影响.

(2)国内外研究现状

现实生活中排队现象处处可见，排队论适用于一切服务系统；尤其在电话系统、车流量、

生产线等方面应用得最广泛，排队论是由20世纪丹麦数学家、电气工程师A.K.Erlang⑴研

究电话通话问题开创的一门应用数学的科目，并且爱尔朗还为这门学科建立许多基本理论

原则；20世纪30年代中期，W.Fcllcr将生灭过程⑵引进在了排队论中，才有了后来数学的

一大分支-排队论；20世纪50年代初，D.G.Kcndall研究了各个系统中的排队理论，用的是

A.A.Markov链⑶方法，由于各学者的努力让排队论这个理论屹立在数学界中；然而随着经

1

济的进一步发展，各行各业都面临大量顾客，并且顾客到达的时间间隔越来越小，到达服

务区的速率也越来越大，于是就将以前离散的顾客可以近似看成流体，而流体队列是输入

--输出根据随机变化的速率，连续流体进出称为缓冲器的储存装置的系统，受潜在随机环

境（或背景）的影响，这类模型的动机是近似于离散排队系统，因此流体排队已被公认为

一种有用的数学建模工具；而排队系统的初衷是为了给顾客提供快速和优质服务的前提上,

还使系统管理者获得一定收益，于是很多学者又对流体排队模型展开了经济分析，其中，

Naor⑶最先在排队模型中引入博弈论观点，并提出顾客到达系统时会根据一个简单的线性

“收益-失”函数来决定是否系统，Li⑸研究了由M/g/1流体队列中缓冲液含量的平稳概率分

布，Mitra⑹认为流体缓冲液含量的稳态密度满足具有有限多状态随机环境的流体排队，此

方法被广泛应用于求解这些方程的解，Malhotra⑺考虑了反馈的流动队列在实际问题中；然

而决策者为了最大限度利用、维护系统，并不会满足顾客可无限的假设，且不会始终以一

定的速率进行服务，而是限制系统内顾客的数目，并适当地调整其服务率，若不限制系统

内顾客数，系统必然会引起拥挤，甚至引发顾客的不满，于是考虑带门限机制的流体排队，

门限机制是优化保护运行系统的一种有效策略，在此机制下，系统内的顾客数不会超过事

先设定的门限N,若系统停止工作进入空闲期，就可降低系统能耗，当系统恢复工作则可

保证系统内的顾客事实接受服务，这种机制下的排队模型既减少了服务台的工作压力，乂

有效避免了系统拥挤，排队论学科中，门限机制和N策略有一定相似之处，Liu网等研究了

休假排队模型中完全可视却部分可视以及完全不可视，Yang和Tian⑼将N策略排队模型

与工作休假结合在一起研究,Luo和ZhuUOl将负顾客和N策略引入工作休假排队模型，Liu,

Ma和Li1⑴分析了具有N策略和工作休假的M/M/1排队模型，随后，Wang和Mao1⑵研究

了M/M/1假期驱动的串联流体模型排队，Mao、Wang和Tian【⑶分析了M/g/1队列驱动的

多指数休假流体模型，到现在为止研究流体队列尤其是多个服务器的模型还不是很多，

Xu"/等研究了带休假的到达时间服从指数分布的多服务器的流体模型的稳定状态，

Anjuk"⑸对带休假的到达时间服从指数分布的单服务器的流体模型进行了分析,Xu〔⑹等研

究了对PH/M/1排队的流体模型的运行指标的稳定状态，Economou和Manou"研究了具

有不同服务状态下的流体排队模型中在可视状态下的行为策略进行了分析，Hu“8］等研究了

基于排队论对收益的影响的模型，Zhou和S3电等研究了增量效益成本比率，以此来求得

效益函数，周崇华、周九州因等人研究了增量效益成本在过收费站的配置的研究，李晓雷

如研究了排队论的理论以及理论的相关的研究，张刚刚、张接心、于勇强田等人研究了排

队论在存取策略的研究，万圆圆⑶研究了基于排队论的公共自行车的研究，杨喜绢、李中

2

学、黎锁平网等人研究了带启动时间的M/M/N的排队的分析，陈茂林、崔雅红、张磊闿

等人对基于流体力学和排队论在收费站时车辆耽误的时间进行了分析，李燕、王辉、陈小

书126】等人研究了基于流体排队的收费站种类，李景枝、马氏霞m等人研究了带扰动的流体

排队的模型，杨硕、郭飞跃叫等人研究了流体力学的排队模型以及流体排队模型的应用，

吕文、袁成桂、张汉君网研究了流体排队模型中的具有两个工作站的稳定性，胡才俊、李

乐名M等人对流体留法分析在图像、通话等多个通信中的排队性能进行了分析.

(3)研究内容

第1章：主要描述了排队论的起源和发展，以及它的排队过程、组成和符号表示，其

中特别提了Poisson流、指数分布、泊松分布以及M/M/c等理论，为接下来的内容做了理

论铺垫.

第2章：满足顾客要求的服务速率，减少排队的时间等的要求下尽量让决策者话费最

少的费用，针对多服务器M/M/c的排队问题，建立了单位时间费用模型，假设顾客他们的

平均到达率2、服务员或服务器的平均服务率〃已知，服务器台数c未知，对模型进行算例

分析，用Mallab软件进行实验，分析最优的。值使费用最低.

第3章：决策者为了最大限度利用、维护系统，限制系统内人数，为了增大投资者的

收益，根据门限机制流体排队建立了单位时间效益模型，并且假设缓冲器内有两个状态，

一个是空闲期另外一个是空闲期，二者交替进行.研究了门限N对收益的影响，以及当门限

一定时，服务器的平均服务率对收益的影响，并对其进行了算例分析，再用Madab软件进

行实验.

第4章：对本文的结论，以及展望.

(4)技术路线

建立了带休假的输入率模型，并且假设缓冲器内人数不限，建立了关于服务器台数c

的单位时间内的费用模型，如果缓冲器内人数有限时，于是又建立了带阈值的单位时间内

的经济效益模型.求解费用模型和带阈值的效益模型，使参数最优化，并对该模型进行数值

实验，实验的过程利用Matlab数学软件.

(5)预期结果

对关于服务器台数c的排队问题建立费用模型，以及对带阈值的流体排队问题建立效

益模型，并对参数优化求解，再进行算例分析，并求当服务器台数为多少时单位时间费用

最小，以及求当参数N达到一个最优值时的单位时间效益最大又或者是服务率达到一个最

优值时的效益最大，算例分析都是通过利用Matlab数学软件进行实验.

3

1理论基础

本章重点讲述了排队论的起源发展，还有排队论的组成，符号表示，特别提

了第2、3章要运用的poisson流和多服务器模型的基础为2、3章中根据流体排

队模型研究单位时间费用和效益做理论基础.

1.1排队论的起源与发展

排队论是运筹学的重要分支，爱尔浪他发表了一些文章，其中有一篇著名文

章主要对电话交换的概率的基础上解决医疗问题，这篇文章中爱尔朗叙述了很多

关于排队论的基础理论，为以后排队论的研究打下了扎实的基础；紧接着有的数

学家在排队论中引入了生灭过程，更是掀起了研究排队论的热潮，由此奠定了排

队论在数学界的地位，20世纪中期，学者们乂对排队论的理论有了更深的研究，

研究了更多关于排队论的随机服务系统的理论基础，研究了各种排队系统，有限

无限的简单排队系统，各种特殊的排队系统比如串联排队、有优先权的排队、带

休假的排队等；排队论由此被壮大，在世界第二大战期间，排队论也凸显出了其

重要性，现如今排队论更加常见，在各个领域都有涉及，尤其在电话通信、交通

车流量、医院看病、银行等方面显得尤为重要，如今在21世纪，随着经济的快

速发展，服务业崛起，顾客到达系统时间间隔逐渐变小，顾客到达系统的速率逐

渐增大，于是将离散的顾客看成近似流体的顾客，学者们又开始研究流体排队模

型，然而如果服务机沟过小或者说是在很多资源有限的地方当顾客过多的时候

便会出现人员拥挤，这样不仅会影响系统的正常运行甚至有可能使系统瘫痪，而

且也会影响顾客使其在排队上浪费很多时间，但是投资者又不可能无条件地一味

的满足顾客要求，所以必须要做一个优化研究，针对这些问题，学者们又对其展

开了经济方面的研究，本文建立了带门限的流体排队模型，对其展开了费用和经

济的研究，让投资者花销最小或者效益最大.

1.2排队系统的组成和特征

每一位顾客从顾客源出发，经过排队之后来到服务区，顾客按照系统内原本

的排队规则等待服务员的服务，再按照系统内的服务规则接受完服务员服务后离

开系统，这就完成了一个排队过程，设定所有被服务的人都叫顾客，服务顾客的

不管是人还是物都是服务员.

4

顾客进来的规律、服务区的规则、服务区的大小，和输出过程是排队系统四

大组成；

输入过程：主要研究的是顾客以什么样的规律到达系统的，其中顾客是单个

还是成群结队到达系统、顾客到达系统的时间是连续的还是离散的等都是规律；

其中顾客源到达服务系统的数量差异可以分为两类，即顾客的总体人数是有限的、

顾客的人数总体无限是的；针对顾客相继到达的时间间隔不同，乂可以将其分为

确定和随机两种类型.

排队规则：指顾客在系统中需要遵守系统给定的规则，也是系统对顾客排队

接受服务的一种相关约定.

服务机构：服务机构（又称为服务窗口或者服务台），即可以给需要服务的

顾客提供服务的场所或者机构所组成的服务系统.

输出过程：输出过程根据顾客们从得到服务那一刻开始到离开服务机构结束

的情况，输出又分为定长的服务时间即稳定的服务时间没完事的也必须离开服务

区和随机的服务时间即每个人的服务时间不定，将服务时间看作是随机变量，那

么定长的服务时间和随机的服务时间是相互独立，但是它们必须遵循同一分布；

因此，顾客接受服务时间规律在分布中可以用概率来阐述，在服务时间上符

合分布规律的还有定长分布、爱尔朗分布等，这也可以从生活中的现象看出，看

似简单的系统服务排队规则，背后却隐藏了指数分布，泊松分布等，由此来服务

好顾客，让顾客体验良好.

服务机构有以下分类：

（1）如果服务机陶有一个或者多个，称为单服务器系统、多服务器.

（2）对于多服务器，系统的排列方式分为并列、串列以及混合排列.

（3）服务的方式分为单个服务和成批服务.

（4）服务的时间有确定的，也有随机的，对于随机的需要知道它的概率分

布.

1.3排队模型的符号表示

一般排队模型符号都是由6个表示，但一般都会略去后三项，只留前三个符

号•，前三个分别表示顾客到达的时间间隔的分布，服务时间的分布，服务器台数；

本文中的M/M/c表示的就是顾客到达的时间间隔是指数分布、服务员的服

5

务时间也是指数分布、服务器的台数为C；

指数分布:

规定服务员服务每个顾客的服务时间相互独立，服务时间具有相同的指数分

布，

它的概率密度为

0

/(/)=

07<0

分布函数为F(r)=〈

0,r<0

=参数〃表示的是单位时间内服务员能服务顾客的平均

Jo4

数，■!"为服务员服务一名顾客的平均服务时间，也是平均服务率.

一般用M来表示顾客到达间隔时间或服务时间服从指数分布；

泊松分布：

泊松分布的概率密度函数（时间区间t内有n名顾客到达的概率）可表示为

己“）=绊。叫，>。，〃=。，12・

n\

当n=0的时候，在时间区间t内无顾客到达的概率为玲⑺=1'，因为有

S>P<1）=2,所以参数丸是单位时间内顾客的平均到达率，也叫平均到达速度.

n=0

1.4Poisson流

设/"）表示在时间区间（0/）«>0）内到达的顾客数，8〃4）表示在时间区

间国,，2]&〈幻内有〃320）个顾客到达的概率，即

P《1/2）=P{£&）一卬2）=〃}，&"，〃N。）

顾客到达的方式服从Poisson流必须要勺也山）满足以下几个条件

条件1：在时间不重叠的区间，顾客到达系统的人数是相互独立的;

6

条件2：Ar充分小，在时间区间£f+4)内，每个顾客到达的概率与时间I

无关，与区长度成正比，即

[("+△，)=ZAr+o(Af)

其中4fo时，。(加)是关于加的高阶无穷小，4>0是常数，它表示在单位

时间内一个顾客到达服务系统的概率，称4为概率强度.

条件3：对于充分小的加，在时间区间上/+△，)内，有两个或两个以上的顾

客到达的概率很小，甚至可以忽略，即：

£2“/+4)=。(4)

n=2

那么n个顾客到达的概率：

2。)="e叫，>。，〃=。，1，2

n\

随机变量〃/)服从泊松分布，乙⑺的数学期间和方差分别是：

E[L(t)]=At

Var[L(t)]=At

方差和期望的值相等是泊松分布的一个重要性质，可以利用这一性质来判断

经验分布是否符合泊松分布.

1.5标准的M/M/c模型

M/M/c中第一个字母M表示顾客相继到达间隔时间为指数分布、第二个字

母M表示服务时间为指数分布、第三个字母c表示服务台数目；

关于标准的M/M/c模型各种特征的规定与标准M/M/1模型的规定相似.

输入过程：顾客的来源是无限的，顾客一个一个的到服务区，每位顾客到达

的时间相互独立不受影响，顾客到达的规律服从泊分布，即参数4是单位时间内

顾客到达系统的平均速度，并且到达过程是平稳的.

排队规则：单队，并且系统对队列的长度没有限制，服从谁先到谁先被服务

的规律.

7

服务机构：服务器台数不止一个，每位顾客的服务时间是相互独立的，服务

的时间服从负指数分布即服务员服务每一位顾客的平均服务率相同.

另外规定各个服务器工作是相互独立，服务器之间不搞协作的，并且每个服

务器的平均服务率相同，当排队的人数超过了服务器的台数时，整个服务机构的

平均服务率为C4(〃Zc),当排队的人数少于服务器台数时，整个服务机构的平均

服务率为〃令c〃为服务器最大的平均服务率，只有当最大的

平均服务率大于顾客进入系统的速度时系统中排队人数才会减少，即只有当

—<1时才不会排成无限的队列，于是称£为这个系统的服务强度或称为服务机

“I

构的平均服务率.

然而系统处于稳态时候的概率方程如卜：

<Ml+5+MR+1=("〃")月

C/E田+比“=(%+CR)e

已知°-<1即最大的服务率必须要大于顾客的平均到达速率，这样才不

会造成系统过分拥挤的状态；方匕=1，用递推解上述的差分方程得

i=0

[Wk!〃c\\-p4j

I1

1(一)”《(〃<c)

[clc4

F：平均排队长；~L：平均被服务的顾客数目；Z：平均队长；叱：平均

逗留时间；*,：平均等待时间；

用概率方程求解即可得系统的各项运行指标如下：

8

Lq=f(〃-C)K=(cpyp

k=L+&

叱吾

9

2流体排队单位时间费用模型

采用多服务器M/M/c,排队系统，表示顾客相继到达间隔时间为指数分布、

服务时间为指数分布、c个服务器，每个服务器单独进行服务，服务器之间不搞

协作；假设指数分布的参数为〃，指数分布中参数〃也为单位时间内服务员能服

务顾客的平均数；且服从先到先服务，即按到达的次序接受服务，不允许插队;

如今,服务行业越来越多，顾客的到达速率越来越大，到达系统的间隔越来越小，

离散的顾客越来越接近连续的流体，此章针对流体排队模型，主要研究单位时间

费用，并对费用进行算例分析，分析最小费用.

2.1单位时间费用模型阐述

假设系统是多服务器M/M/c排队系统，当顾客到达时，若有空闲服务台便

十即进行服务，若没有空闲服务台，即排队等候，直到有空闲的服务台再接受服

务.假定顾客按照参数2的poisson流到达，即顾客到达系统的平均速度为心假

设在很小的一段时间内，每位顾客到达的概率与时间I无关，以及每个顾客服务

时间相互独立，并规定各服务器平均服务率相同，即4=必=,设此模

型系统容量无穷大，设顾客平均到达速度X和平均服务率〃都已知，并且始终都

有即平均服务率大于顾客平均到达率，这样系统才不会无限增大，但服

务器台数c未知，建立单位时间费用模型求得最优的c值使单位时间费用最低，

投资者花销最小.

2.2单位时间费用模型的建立

假定系统中有两种费用，一种是等待费用z(c),指顾客在系统中占用公共资

源系统要花销的费用，假设每个顾客在系统中逗留单位时间的费用为e元，另一

种是服务费用z(a),指顾客接受服务员服务时系统花销的费用，假设每个服务台

在单位时间内所花的费用为。元，设系统在单位时间内的总费用为Z：

Z=eL-\-ac

(1-1)

其中L为系统中单位时间内顾客的平均数:

10

L=Lq+L,

(2-2)

Z；表示单位时间内平均排队长，7表示单位时间内平均顾客数；

K=E'Lql工(卜叫(2-3)

j=C

j=0J-c

(2-4)

等待队长4有分布：

p{4=°}=t〃/，尸=°}=£〃/，氏=1，2・一

/=0j=0

又令4表示系统平衡时，正在被服务的顾客数，则

P{Le=k}=pk,k=0X2^c-\,P{Lc=c}=XPi

j=c

求上述的Pj;

定理2.1：假定L(f)为在时刻t系统中的顾客数，令

%(4)=/{LQ+Ar)=儿(g},i"=o,1,2,

可得:

+6)(Ar),J=/-1J=1,2,c-\

P心/)=,

c//Ar+o(Af),J=/-1,f=C,C4-l

o(\t\\i-j\>2

于是{出),玲0}为石={0,1,2,}上的生灭过程，其中

<j<c

4二4公0；勺二")

CR、J>C

(2-5)

定理2.2：令夕:一，=—=limP{L(t)=；}J=0,1,2,--.,则当q<l,

pPcCjLliP1j"

11

有｛〃7,,20｝存在，与初始条件无关，且

y

—pp0,l<j<c-\

(2-6)

其中，p0』f£i+」£—T

LMj!cl(c-p)]

定理2.3：求稳态暇率匕时，并不一定求时匕⑺的极限，只需令导数

产.(/)=()即可，于是可得稳态下的方程：

皿也二0,〃=1,2

dtdt

即一4)4+〃出=0(1)

A.-I匕t+4〃+i2+1一(4+4〃)？=°，〃=1，2…⑵

由(1)可得6二414；

式(2)中令n=l,将片代入可得

必〃2

令n=2,可得

P_444p

3—〃3°

于是有

ria

rMiA

由概率性质已知£匕=1,所以

w=0

12

〃0=1-£匕

n=l

n-1

08nA

且

w='

r=l

1

可得-

Po二n

.riA

i+y-^-

〃

从

ini=\

证明定理2.1：

1)外川(加)二尸卜在4内到达一个顾客，且i个正忙的服务台一个服务也未

完成｝+£P｛在加内到达/个，且所有服务台7-1个服务｝

>2

=P{「i<Ar<r1+r2,/1>Ar,%+

fp｛q+0WAf<4+…弓+],所有服务台完成/-1个服务｝

>2

AA/十(?(△/),Z=0,1,2

2)p«|(4)=P｛在"内没有到达，且i个正忙的服务台只完成一个服务｝十

£p｛在加内到达j-i个，且服务台共完成/个服务｝

J-2

由于，个正忙的服务台在4内完成一个服务，可以是其中任意一个服务台完

成的，所以上式的第一项为

ZP忆>△，,%>△/,•・・%I>加,ZA<4,zx+1>A/,z>A/}

*=i

=如产.(1一产)

k=]

=i/zA/+o(A/),

而第二项二。(4)

13

于是Pg(AO=igt+o(Af),/=1,2,

同理

3)Pg(Ar)=c心+。(Af),i=c,c+1,••

4）当时,显然有

p..(Ar)=o(A/)

证明定理2.2

由极限定理（定理2.3）可证明定理2.2

A)44%]

Pj=---------------------4

勺

当IVJvc时，"且4=%,"（）

3I

有

P产而

当/“时，"/=乎

有Pj=c!c"《=clCj-cpj^

由于现在系统中有c个服务台，所以顾客到达时需要等待的概率为:

"IJ

p2〃产寸

Pc

其中,

P<F°

2.3单位时间费用模型求解

平均排队长:

Lq=E[L/=N(j~叫£(j-C)—j—““0

j=Cj=CC'C.

nX、8\j-c

=噌(“)P

L•j=CC)

14

=华£(2

Cj=c

PcPoP'

c\>1

=a-p<)2c

平均被服务数：

Z；=Ef£(.]=X血+^P,=£77^p'P<>+"£A，

j=oj=cj=\U-U'(c—ij!；=o

w「都}

M1c-1PW’11P

=P^—(--P〃oV"；----}+?!----V-R。

(c—1)1c!\-pc(l-pj(c-l)!

pc4句pc

=p-------册-----------Ml+--------------Pn

(C-1)!c!(")°(l-pc)(c-l)!r°

二P

与服务台数c无关.

而且L=4+。，所以平均队长工为：

-----P

L=Lq+L,=<，Pc+p,pc<\

V1r^c)

单位时间总费用：

Z=eL+ac

=«(Uj"+°)+〃c

-C+1

；——---巨,Pol+ac

由于

r-q-l

sp'pc

Po=>-4------------

15

所以

Z=)-"+ac

(c-l)!(c-夕/(c-l)!(c-p)

2.4单位时间费用模型算例分析

设丸=3,即顾客到达系统的平均速度为3,设〃=5,即单位时间内服务员能

服务顾客的平均数为5,p=-=-,只有当0=4<1时，才能保证系统内队列不

〃5〃

会无限增大.令服务器台数为c=l,2,10,设等待费用即每个顾客在系统中逗留

单位时间的费用为e=5元，设另一种服务费用即每个服务台在单位时间内所花

的费用为。=8元.

随着服务台数「的变化，其费用Z也在变化，其变化规律可得见图2-1

_N

1235678910

服务台数C

图2-I给定参数下单位时间费用Z随服务器台数c的变化

Fig.2-IChangeofunittimecostwithnumberofserversundergivenparameters

由图2-1可知，随着服务台数c的增加，单位时间费用Z也在逐渐变化，当

c=｝时，费用Z=29.75,当c=2时，费用Z=21.4735,当c=3时，Z=28.2601,

之后，费用逐渐增加，没有下降的趋势，于是有当服务台数c•二2时，费用最少，

16

这时的投资者单位时间内花销最小为21.4735.

17

3流体排队单位时间社会收益模型

在现实生活中，系统的容量有限，并且为了最大限度利用、维护系统，也不

会有顾客无限的假设，尤其是随着经济的增加，顾客之间到达的时间间隔越来越

小，顾客到达的速率越来越大，将过去离散的顾客近似看成是流体，为了让投资

者效益最大，于是建立门限机制下流体模型，研究单位时间效益.

3.1单位时间社会收益模型阐述

假设流体(人流量)以速率x到达系统，且系统限制为N(系统内最多能容

纳N单位流体)并且流体是否流入缓冲器具有不可逆性，即流入的流体不可中途

退出.止步的流体不可临时进入，缓冲器存在两个状态，记为J")=0,1,表示缓

冲器处于空闲期和工作期，两个状态相互进行，其时间分布分别服从参数为生,

%的指数分布.设时刻t时流体以速率2到达缓冲器，此时观察到缓冲器状态为

(*«),[«))=(工#),其中04%4小#=0,1,假设流体流出系统时可获得的收益为

R，在逗留期间每单位时间内存在的损失记为C,需保证即收益一定要

大于损失.

设x(r)为t时间内的人流量，则系统单位时间内的净输入率为：

4X⑺二当系统处于空闲期

刀—二[-■，当系统处于工作期

3.2单位时间效益模型的建立

采用指数形式的收益函数，假设单位时间内收益的函数可记为

ax

Q(x)=RZe-CE(e)

(3-1)

其中，4表示流体的有效到达率，顼广人)表示系统内指数形式的平均流体水

平，a为一接近于0的正常数，流体流出系统时可获得的收益为R,在逗留期间

每单位时间内存在的损失记为C；

记耳")=limP(X(r)<x,J(r)=z)

18

EW表示当系统处于状态(X,，)时，系统中流体水平的稳态概率分布.

3.2.1分布函数求解

定理3.1：在门限机制下的流体模型中，假设某流体到达系统时观

察到缓冲器的状态为(Mi),则各个状态下的流体水平的分布函数：

(),x£()

3X)

4(幻=

%+%%("〃)+Mexp(吟潸产

N)

4+4

(3-2)

0

%(2_〃)[]_exp(「(*：/)；(*x)

q°,O<x<

/I、1/4%+%)―4%2、

%+%%(2一〃)+间exp(”广。N)

4(〃一2)

—^―,x=7V

4+%

(3-3)

证明：若缓冲渊处于状态0时即系统空闲时，系统内的流体水平以速率2增

长，系统转变为工作状态后，系统内的流体水平以/1-〃增加，考虑一个特别小

的时间范围Af.

写"+Af,x)=F)(tfx-AAt)(l-q()At)+Fl(t,x-(2-/./)At)c/lAt+o(At)

4Q+zV,冗)-x)&(门)—大一3)

于是:------------------rA------------------

A/2At

=-％『,,1加)+病("-("〃)加)+等

令A/f0,可得到:

a4亿戈)s玲«,x)

—;---+4-;---=一%玲Q,x)+/耳Q,x)

ctdx

19

其中里3=0,于是有

dt

%'入)=一%4«,x)+1片(r,x)

ox

于是可建常微分方程

/dF°?x)=一%6x)+%%亿x)

ax

(4一〃)"=一外耳”,x)+%与。,x)

ax

(3-4)

而且已知边界条件为"(0)=0,6(N)二对3-4式方程求导，可得到：

夕()+q

7£)"(x)=—%E)3+4£'(x)(1)

(_一〃).\x)=—%耳«)+«)(2)

由此，由(1)

可知

耳3二443+46”(幻

1?

代入3-4式中可得微分方程

"4一〃)耳)"(X)+"%+加一”'。F()\x)=0

/%

特征方程为：

)旃丫_

4(4_4Av2.।%%+Ji—_V(}

%/

由此可解得特征方程对应的特征根，结合边界条件，可得到定理3.1中的结

果与(x),同理可解得耳理).

3.2.2有效到达率和平均流体水平的求解

在门限机制下的流体模型中，单位时间内社会收益的效用函数可表示为

ax

Q(x)=AeR-CE(e)

其中，

20

E(*)=即、+N%-(〃-4)(l-cxp(-M。))

%+年(/+%)(%%-"%+”exp(-M0))

’(%+q+a〃-a/l)N、

exp4%：〉」一)exp-exp

〃一4i/(〃一/))

+______________x一，

2

+(4-exp(M(,))(%+1)(得()++aZp-aZ)

(3-5)

“NM\A”7

其中,%二]/J、，M\=®+q「〃qQ

〃j)

此外,有

%+VN———N-exp/W/

〃一4J、/!(〃一©,

4=4q。

%+qI(%+1)(41+2%S|一〃%S|)(%+q)(20+—〃％S|)

(3-6)

(4%+%[—〃/)N

¥=exp()

A(A.—")

证明：缓冲器内的流体水平在［0,N］内上下波动，根据定理3.1有

/I'、/迎十福一/«0、

(4%+Aq]-〃%)exp(以八©

qM-A)

f(x)=F：(x)=v

0Q“%+%)2%-+旬exp(

A(//-2)

(3-7)

由4=%

由此可得3-6式

另一方面

/11、/%()+%一4%\

(为+M-%exp(+^x)

%彷

工。)="'")=y

(%+%)(〃-㈤的()-〃％+Miexp(4窕二〃%

2(//-/I)

(3-8)

记《(N)表示时缓冲器内流体水平为N时的概率，则

21

%(〃-㈤1-exp(半：4)；〃%x)

1

%(义")+%exp(N)

(3-9)

根据E(eax)=惘0)+「产(启幻+工(切公，再根据(3-7)-(3-9)便可得到3-

5.

3.3求解单位时间社会收益模型

由于上述3.2节中己经求得了单位时间内社会收益模型Q(x)的表达式

ax

Q(x)=RAe-CE(e)

由上述单位时间内效益模型中已经求得了各自的表达式即有

%1(〃-力exp(^^-N)exp(^^N)-exp(广凶。)

eu)=/?xA—^―+---------------—+—-------------

%+4(%+0)(2?+沏oE—〃%SJ(%+%)(为|+/1%S|一〃％S|)

咐++N%%(〃一㈤(1-exp(-=o))+""qMexp(一—〃)乂

C%+1(%+1)(4-//十Mexp(-M0))(如|十(4-4)%exp(M。))

.ex“(W次一叫N)_exp(^H

//—A/!(//-4)

_(%+/)(义%+4夕1一〃%+。4〃_2分)_

3.4单位时间效益模型算例分析

R表示流体流出系统时每单位时间内可获得的收益，C表示顾客在系统内逗

留期间系统单位时间内损失的费用，丸表示顾客到达系统的平均到达率，〃表示

系统内每台服务器的平均服务率，%表示缓冲器空闲期时服从指数分布的参数,

名表示缓冲器工作期时服从指数分布的参数，。表示一个常数.

当/?=10,。=1,；1=1,1=02%=0.6,1=0.8,"=3时可得到图3-1

22

图3-1给定参数下社会收益Q随门限N的变化

Fig.3-1ChangeofSocialBenefitQwithThresholdNunderGivenParameters

当HnlOCuL/LuLanO.ZMoMO.Gi=0.8,〃=3时可得到图3-2

-0.5

gT