2024-2025高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法导学案新人教A版选修4-5

PAGEPAGE12.1比较法预习目标1.理解用比较法证明不等式的原理和思路．2．会运用比较法证明简洁的不等式.一、自学释疑依据线上提交的自学检测，生生、师生沟通探讨，订正共性问题。二、合作探究1.作差比较法(1)作差比较法常用于多项式、分式形式的不等式，其关键步骤是变形．常用技巧是：通分、配方、因式分解等．变形的目的是直观地看出与0的大小关系．(2)在比较大小关系的问题中，许多状况下是可以干脆作差比较的，但是为了得到精确的结果，可以先用特别值试之，对比较结果进行预料，这样在比较过程中，不会因为疏忽造成结果的错误，尤其在多个数或式比较中，为了避开两两比较的烦琐，可以提前赋值预料，再进行比较．2．作商比较法(1)在作商比较法中eq\f(b,a)>1⇒b>a是不正确的，因为与a，b的符号有关，当a>0，b>0时，eq\f(b,a)>1⇒b>a是正确的，若a<0，b<0，则eq\f(b,a)>1⇒b<a，因此，在用求商比较时，要对a，b的符号作出推断，否则会得出错误的结果．(2)作商比较法常用于幂、指数或对数不等式，应用的前提是a>0，b>0.探究1作差比较法和作商比较法的实质分别是什么？探究2作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？例1求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)；(2)若a>b>c，则bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.变式练习1．(江苏高考)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.例2已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.变式练习2．设a>0，b>0，求证：aabb≥(ab)eq\s\up6(\f(a＋b,2)).例3甲、乙二人同时同地沿同一路途走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．假如m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？变式练习3．证明：通过水管放水，当流速相同时，假如水管截面(指横截面，下同)的周长相等，那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

参考答案探究1【提示】作差比较法的实质是把两个数或式子的大小推断问题转化为推断一个数或式子与0的大小关系．作商比较法的实质是把两个数或式子的大小推断问题转化为推断一个数或式子与1的大小关系.探究2【提示】“作差法”的理论依据是实数的大小依次与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于推断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法推断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式．例1[精讲详析]本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→因式分解→推断符号→得出结论．(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0.∴(b－a)(c－a)(c－b)<0.∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.变式练习1．证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.例2[精讲详析]本题考查作商比较法的应用，解答本题须要先推断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小．∵a＞2，∴a－1>1.∴loga(a－1)>0，log(a＋1)a＞0，由于eq\f(loga（a－1）,log（a＋1）a)＝loga(a－1)·loga(a＋1)<eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(loga（a－1）＋loga（a＋1）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(loga（a2－1）,2)))eq\s\up12(2).∵a＞2，∴0<loga(a2－1)＜logaa2＝2.∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(loga（a2－1）,2)))eq\s\up12(2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(logaa2,2)))eq\s\up12(2)＝1，即eq\f(loga（a－1）,log（a＋1）a)＜1.∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.变式练习2证明：∵aabb>0，(ab)eq\s\up6(\f(a＋b,2))>0，∴eq\f(aabb,（ab）\s\up6(\f(a＋b,2)))＝aeq\s\up6(\f(a－b,2))·beq\s\up6(\f(b－a,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up6(\f(a－b,2)).当a＝b时，明显有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up6(\f(a－b,2))＝1.当a>b>0时，eq\f(a,b)>1，eq\f(a－b,2)>0.当b>a>0时，0<eq\f(a,b)<1，eq\f(a－b,2)<0.由指数函数的单调性，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up6(\f(a－b,2))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(0).即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up6(\f(a－b,2))>1.综上可知，对随意实数a、b，都有aabb≥(ab)eq\s\up6(\f(a＋b,2)).例3[精讲详析]本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题须要设出从动身点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自须要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可．设从动身地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：eq\f(t1,2)m＋eq\f(t1,2)n＝s，eq\f(s,2m)＋eq\f(s,2n)＝t2.∴t1＝eq\f(2s,m＋n)，t2＝eq\f(s（m＋n）,2mn).∴t1－t2＝eq\f(2s,m＋n)－eq\f(s（m＋n）,2mn)＝eq\f(s[4mn－（m＋n）2],2mn（m＋n）)＝－eq\f(s（m－n）2,2mn（m＋n）).其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2.从而知甲比乙先到达指定地点．变式练习3证明：设截面的周长为L.依题意，截面是圆的水管的截面面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))2，截面是正方形的水管的截面面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2).∵πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq