2024年暑期初升高衔接数学-同步讲义（带解析）

目录

初高中衔接........................................................................2

集合预习册.......................................................................15

集合..............................................................................17

集合关系预习册...................................................................23

集合的关系.......................................................................25

集合的运算预习册.................................................................30

集合的运算.......................................................................32

函数的概念预习册.................................................................36

函数的概念.......................................................................38

函数的单调性预习册...............................................................50

函数的单调性.....................................................................52

函数的奇偶性预习册：............................................................60

函数的奇偶性.....................................................................62

函数性质综合预习册..............................................................69

函数性质综合.....................................................................70

一次和二次函数预习册............................................................75

•次和二次函数...................................................................78

指数运算及指数函数预习册........................................................95

指数运算及指数函数..............................................................99

对数与对数函数预习册............................................................107

对数及对数函数..................................................................108

需函数预习册....................................................................120

系函数...........................................................................121

函数与方程预习册................................................................128

函数与方程......................................................................129

函数应用题预习册................................................................138

函数应用题......................................................................143

初高中衔接

绝对值

经典例题

例1解不等式：卜一1|十k一3|>4.

【解析】

解法一：由工一1=0,得x=l；由x-3=0,得x=3：

①若x<l,不等式可变为一(工一1)一(x-3)>4,

即—2X+4>4,解得XVO,

又xVl，

/.A<0：

②若1W2,不等式可变为(x—l)—(x—3)>4,

即i>4,

...不存在满足条件的X：

③若x23,不等式可变为(x-l)+(x-3)>4,

即2x-4>4,解得x>4.

又x>3,

/..r>4.

综上所述，原不等式的解为

x<0,或x>4.

解法二：如图1.1-1,卜-1|表示x轴上坐标为x的点尸到坐标为1的点力之间的距离|以|,

BP|B4|=|x-l|；卜一3|表示x轴上点尸到坐标为2的点8之间的距离|P8|,即户5|=k一3|.

所以，不等式k一1|+打一3|>4的几何意义即为_

\PA\+\PB\>4.1人：

由04|=2,可知PCABD

点P在点。(坐标为0)的左侧、或点P在点。(坐—I——I_I--------1_I--------

标为4)的右侧.x0134x

xVO,或x>4.'V'

图1.1-1

快速练习

1.若忖=5,则x=；若忖=卜4|,则x=.

2.如果时+例=5,且a=-1,则/)=；若|1一c|=2,则c=.

3.下列叙述正确的是)

(A)若同=例，则4=/)(B)若同>同,则手

(C)若4<6,则同<可(D)若同=可，则a=±b

4.化简:|r—5|—|2x—13|(x>5).

乘法公式

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±b)2=a2±lab+h~.

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=ct'+b3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=ay-

(3)三数和平方公式(a+h+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

3322y

(4)两数和立方公式(a+b)=a+3ab+3ab+bi

(5)两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

经典例题

例1：计算：(x+l)(.r-l)(x2-x+l)(x24-x+l).

【解析】

[(.r+l)(x2-x+l)][(x-l)(x2+x+l)]

=[x3+l][?-l]=x6-l

例2：已知〃+/>+c=4,ab+bc+ac=4,求。:+〃+<?的值.

【解析】

(^a+b+c)2=16<=>a2+b2+c2+2ah+2ac4-2bc=16

<=>a2+b2+c2=16-8=8

快速练习

l.-a2--b1=(-6+—cz)()；

9423

2.(4〃？+了=16〃/+4/〃+()；

3.(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

4.若/+,〃吠+攵是一个完全平方式,

则上等于()

2

(A)nr(B)—zrz2(C)—m2(D)—nr

4316

5.不论。，6为何实数，a2+〃-2a-4b+8的值()

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

分式

经典例题

例1：若:5r-4:-4=4A+二R,求常数48的值.

x(x+2)xx+2

_5x+4__AB_4(x-2)+8x(4+8)x+24

x(x+2)-7x+2~-x(x+2)—-—x(x+2)

2A=4yA+B=5

A=2,B=3

例2:⑴试证:--------=---------(其中〃是正整数);

〃(〃+1)nn+\

111

(2)计算:-----1-----F…H-------：

1x22x39x10

（3）证明：对任意人于1的正整数〃，有一!一十」一十11

--------<一

2x33x4〃(〃+1)2

【解析】

,、11〃+1n1

(1)-----------------------------------

n〃+1/?(«+!)〃(〃+1)7/(/24-1)

(2)++,••+=]——+———+|

1x22x39x102239101010

11

(3)----十------h

2x33x4〃(〃+1)2334〃〃+12n+\2

快速练习

11

1.对任意的正整数〃,；

〃(〃+2)箱）

2x-y2,,,x

2.若———=一，则—=()

x+y3y

56

(A)1(B)-（C）(D)

4?5

3.正数满足2号，求匕的值.

x+y

4.计第-----+++…+

1x22x33x499x100

巩固练习

1.(1)|x—1|>3；

(2)|x+3|+|x-2|<7：

(3)|.r-l|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求x;j?+3号,的值.

3.(1)(2+回(2-厨9=；

(2)若J(l-a)2+J(l+a)2_2,则口的取值范围足

11111

⑶T7V2+^T^+V3774+^/5+V5776=-

3a2-ab

4.(1)a=—,b=—,则

233a2+Sab-2b2

(2)若/+盯-2/=0,则'+3.“：)

厂+y~

5.已知：x=-yy=—,求/―^i——r-^~t—的值•

23

6.(1)若,y—67—h—2,-J—b—\f—a»则)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

（2）计算等于)

(A)yj—ci(B)yfa(C)-J—a(D)

7.解方程2(x2+士)-3(x+1)-1=0.

XX

1111

8.计算:----1-----1F…H

1x32x43x59x11

9.试证：对任意的正整数n,有—!—+—!—+•••+]

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)4

因式分解

经典例题

例】：分解因式：

(1)X2—3X~\~2；

(2)x2+4x—12

(3)x2-(a+h)xy+aby2；

(4)xy-\+x-y.

【解析】

(1)x2—3.r+2=(x-l)(x-2)

(2)X2+4X-12=(X-2)(A+6)

(3)x2—(a+b)xy+aby2=^x—ay)(^x—by)；

(4)+=x(y+l)-(y+l)=(x-l)(y+l).

例2：分解因式：

(1)x3+9+3.r2+3x：

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

【解析】(1)x3+9+3.r2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)

=(x+3)(x2+3).

^x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+l)3+8=(x+l)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3).

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+3-4)工一丁+-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(.r+y-3).

例3把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)x2+2x-l；(2)x2+4xy-4y2.

【解析】(1)令X2+2X-1=。，则解得*=—l+J2,X2=-l-V2,

x~+2x-l=[x-(-1+>/2)J^x—(—1—5/2)^

=(x+l-0)(x+l+@.

(2)令x?+4xy-4y2=0,则解得玉=(一2+2夜)y,x}=(-2-2>/2)y,

・•・x2+4.^-4产卜+2(1-42)y][x+2(1+衣刃.

快速练习

1.多项式2/-号一1572的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(I)X2+6X-I-8；

(2)8/—Z/：

(3)X2~2X~\

(4)4(x-y+\)+y(y-2x).

3.分解因式：

(1)a3+l；

(2)4X4-13X2+9：

(3)b2+c2+lab+lac+2bc；

(4)3x2^5xy-2y2+x+9y-4.

4.在实数范围内因式分解：

(1)炉—5x4-3：

(2)X2-25/2X-3；

(3)3x2+4.vy-/：

(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

5.A4/C三边a,b,c满足/+"+c2=4b+bc+cs,试判定的形状.

6.分解因式：/+x—(/—a).

巩固练习

1,x2+ax2+x+av-1-a

2.xy-x-y+\

3.ax-by-bx+ay

4.ac2+bd2-ad2-be2

5.abx2+bxy-axy-y2

6.xy+bx2+ar+ab

7.acxy+bex2+adx+bd

8.a2b2-a2-b2+1

9.x2y2z2-x2z-y2z+l

106ax2—^cTxy+Ixy—3ay2

11.5/-15X2-A-+3

12.5a'm-15am+3abm-9bm

\3.x3-2x2-x+2+x5-2x4x4+x3+x2+x

\4.(a+b)2+(a+c)2-(c+d)'-(b+d)2

\5.x2-x-9y2-3y

I6.X5+/-(X>+^4)

17.-1-2x-.r2+y2

\S.x2n+xn--y4m+-

9-4

\9.a(\-b)2-\+2b-b2

20.-a4-b4-c4+2a-b2+2b2c2+2c2a2xy+x2-y3-y2

21.ax3+x+a+1

22.a4-//)“+/

23.xi++x2+2xy+y2

24.x4+xsy+.vz3+yz}

25.x5+x4+/+/+x+1

26.(ay+bx)y-(ax+by)-+(ay-yy)

21.(a+bp+(b+cP+(<?+a)3+a-+b3+c3

28.x4+/+2x2+x+1

29.a4+2a3b+3a2b2+2ab3+bA

30.x4-3X2+\

31.d-23x?+1

32./+//+/

33.x'2-3/+1

34./+/+1

35.x4-7x2/+81/

36.(1+^)2-2X2(14-/)+/(I-^)2

37.x4-2(a2+b2)x2+(a2-b2):

38..r3(tz+1)-xy(x-y)(a-b)+)/(/)+1)

39.3«2-7«-63x2-8.r-3

40.5X2+12X-9

41,/+7r-30

42.27X2-33X-20

43.-6.r2+12-x

44.x2+144v2-25xy

45.6x2-7xy+2y2

46.12X2-I1^-15/

47.(x+y)2-4(x+y)-12；

48.12(x+y)2+ll(x+y)(x-y)+2(x-y)2

49.5+7(4+l)-6(a+1)2

50.x6-19X3/-216/

一元二次方程

例1：方程V-2瓜+3r=0的根的情况是（）

（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根

【解析】C

例2：若关于x的方程加/+（2〃7+1»+，〃=0有两个不相等的实数根，则实数小的取值范

围是（）

（A）m<—（B）///>——

44

(C)m<—,且〃子0(D)且切力)

44

【解析】D

例3：(1)若方程x2-3x-l=0的两根分别是玉和马，则'+2•=.

(2)方程〃*+x-2m=0(阳H0)的根的情况是.

(3)以一3和1为根的一元二次方程是.

【解析】(1)—3(2)有两个不相等的实数根(3)x2+2.r-3=0

例4：已知Ja2+8q+i6+|6-l|=0,当攵取何值时，方程依2+仆+6=0有两个不相等

的实数根？

【解析】ZV4,且后0

4.已知方程r-3x-l=0的两根为演和马，求(士―3)(七-3)的值.

【解析】(再一3)(々-3)=x1x2-3(x,+x2)+9

x

(i-3)(X2-3)=-l

巩固练习

1.已知关于x的方程1+h一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

2.下列四个说法：

①方程/+2》-7=0的两根之和为一2,两根之积为一7：

②方程/-2\+7=0的两根之和为一2,两根之积为7：

7

③方程3/-7=0的两根之和为0,两根之积为一—：

3

④方程3/+2-0的两根之和为一2,两根之积为0.

其中正确说法的个数是()

(A)1个(B)2个(C)3个⑴)4个

3.关于x的一元二次方程a?—5、+/+。=0的一个根是0,则。的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

4.方程依2+4工-1=0的两根之和为一2,则k=.

S方程2/一丫一4二0的两根为a,ft,则。2+〃2=

6.已知关于x的方程V—水一3。=0的一个根是一2,则它的另一个根是.

7.方程2—+2x—1=0的两根为百和乙，则Ix~xiI=.

8.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程M2x2-(2m+l)x+l=0有两个不相等的实

数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

9.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程/一7%-1=0各根的相反数.

10.若关于X的方程/+伏2-］口+左+1=0的两根互为相反数，则上的值为()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

11.若m,〃是方程X2+2005.V-1=0的两个实数根，则〃?2〃+〃?〃2—加〃的值等

于.

12.如果a,6是方程¥+尸1=0的两个实数根，那么代数式43+42力+4〃+"的值

是.

13.已知关于x的方程/一位一2二0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根为司和X”如果2($+公)〉工/2,求实数k的取值范围.

14.一元二次方程〃/+以+3=0(。。0)的两根为演和声.求:

(1)|演一/I和3广,；

33

(2)X,+X2.

15.关于x的方程f+4叶〃『0的两根为七和々,满足以一项1=2,求实数机的值.

16.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2/—8升7=0的两根，则这个直角三

角形的斜边长等于()

(A)百(B)3(C)6(D)9

17.若玉和工2是方程2——4升1=0的两个根，则土+土的值为()

X1%

、3

(A)6(B)4(C)3CD)-

2

18.如果关于x的方程/一2(1—Mx+/=o有两实数根夕，则a+£的取值范围为()

(A)(B)a邛三；(C)(D)a+/3<\

19.已知a,b,c是A48C的三边长，那么方cx2+g+/))x+_L=o的根的情况是()

4

(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根

20.若方程/-8%+加=0的两根为$和X2,且3玉+2/=18,则〃尸.

21.己知玉和9是关于X的一元二次方程4A^2—4依•+%+]=()的两个实数根.

(1)是否存在实数上使(2xi—/)(/-2/)=-巳成立？若存在，求出〃的值：若不存在,

2

说明理由：

(2)求使±+%-2的值为整数的实数4的整数值：

与西

(3)若七一一2,4二五，试求九的值.

22.已知关于x的方程V—(〃?—2)x—1=0.

4

(1)求证：无论加取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根：

(2)若这个方程的两个实数根玉，吃满足=1芯|+2,求用的值及相应的玉，天

23.若关于x的方程/+叶4=()的一个大于]、零一根小于1，求实数a的取值范围.

二次函数

经典例题

22

x+y=13,.7J

例1.下列各组中的值是不是方程组z的解？

x+y=5

x=2,x=3,x=-2,

(1)(2)(4)

y=3；y=2;J=一3；

【解析】(1)(2)是方程的组解；(3)(4)不是方程组的解.

例2.解下列方程组：

y=x+5,x+y=3,

(1)\x2+/=625;(2)

xy=-10;

22

----1--=1,

(3)-54

y=x-3;

玉二15,

【解析】(1〉〈

Y二20,

5

x=一,

3

4

3.解下列不等式：

(I)3X2—X-4>0(2)x2—x-12<0；

(3)X2+3X-4>0；(4)16—8x4-x2<0.

【解析】(I)x<-l,或:(2)-3Sv<4：(3)x<-4,或.。1：(4)x=4.

3

4.•解关于x的不等式.5+2广卜1一/«0(a为常数).

【解析】不等式可以变为(x+l+a)(x+l—a)W0,

(1)当一1—aV—1+a,即a>0时，—1~a<x<—14-a：

(2)当一1一〃=-1+”,即a=0时，不等式即为(x+l)M0,，x=-l：

(3)当一1一4>一1+小即“V0时，••・一1+。心一1一。.

综上，当。>0时，原不等式的解为一1一。变-1+a：

当。=0时，原不等式的解为x=-1：

当aVO时，原不等式的解为-1+。三区一1-a.

快速练习

1.解下列方程组：

2

厂21(X-3)2+/=9,

⑴4-4---y二L

x+2y=0;

x-j^-2=0;

x-+y~=4,

⑴22

x--y=2.

2.解下列不等式：

(1)3X2-2X+1<0(2)3X2-4<0

(3)2x~x2>-1(4)4-x2<0

3.加取什么值时,方程组

y2=4x,

y=2x+m

有一个实数解?并求出这时方程组的解.

4.解关于x的不等式x2-(l+a)x+a<0(«为常数).

5.已知关干x不等式的解为xv—l,或X>3.试解关干X的不等式

hx2+cx+4>0.

6.试求关于X的函数y=江+2在04e2上的最大值日

集合预习册

例1：180以上的男生是否可以构成集合

【解析】可以，180以上的男生是确定的

例2：帅哥是否可以构成集合

【解析】不可以，帅是无法确定的，一个人是否在集合内无法做出确定的判断。

例3：集合｛1,2,3,4,5｝中，1与｛1,234,5｝的关系是什么？

【解析】属于，用W符号表示

10分钟

1、判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

①某班个子较高的同学

②长寿的人

③行的近似值

④倒数等于它本身的数

⑤比较小的正整数全体；

⑥血压很高的人；

⑦著名的数学家；

⑧平面直角坐标系内所有第三象限的点

⑨平面上到点O的距离等于1的点的全体；

⑩正三角形的全体：

2、以下符号分别表示什么集合：

①N

②M

③Z

®Q

⑤R

3、用符号£或任填空：

①/=｛2,4,8,16｝,则4_____A,8A,32—A.

②]_____N,0______N.-3_____Q,0.5Z,V2_____R.

(§)—R,y/5_____Q,|-3|N+>_VJ_____Z..

20分钟

4.三&},那么广

1+z

5.对于集合4二{2,4,6},若。£彳，则6-。£彳，那么a的值是____.

6.由实数苍-、,国所组成的集合，其元素最多有个.

7.集合B,x,x2一2其中，x应满足的条件是____.

8.设上{2,3,/+2"3},8={a+3,2},若己知5”,且5仁8,那么。=—.

30分钟

9.已知集合4=卜|h2-8工+16=。}只有一个元素，试求实数A的值，并用列举法表示集合

A.

集合

预备知识：

SK自然数的定义、有理数的定义、整数的定义、实数的定义。

S2、解决一元二次方程解的情况。

快速测试题:

1、3和-5都是整数？GohelpSI

2、。是自然数？GohelpSI

3、几是有理数？GohelpSi

4、X2+2=0GohelpS2

5、x2-x-2=0GohelpS2

引入：

“集合”一词与我们日常熟悉的“整体”、“一类”、“一群”等词语的意义相近，例如：数学

书的全体、地球上人的全体、所有文具的全体，所有新东方的学员等都可以看成对象的集合。

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言。使用

集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来

学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流

的能力。

集合语言是现代数学的基本语言。在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语

言的基础,因此把它安排在了高中数学的起始章C教科书从学生熟悉的集合（有理数的集合、

直线或圆上的点集等）出发，结合学生身边的实例引出元素、集合的概念，介绍了表示集合

的列举法和描述法及韦恩图：类比实数间的相等、大小关系，通过对具体实例共性的分析、

概括出了集合间的相等、包含关系：针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引出了集合

间“并”的运凫，并在此基础上进一步扩展，介绍了“交”的运和和“补”的运和。这里采用类比

方式处理集合间的关系和运算的目的在于体现知识之间的联系，渗透数学学习的方法。

适当地引入集合知识是在中学数学教材中渗透近代数学思想的基础。这里“渗透”的意思

是，学习与中学数学内容相关的集合语言，使中学数学内容表述更加准确，逻辑更加清楚，

以帮助学生正确的理解和运用中学数学知识。应注意，在中学不可能用集合的理论严格地建

立中学数学体系。

那什么叫做集合？什么叫做元素呢？

下而我们看看几个集合的例子：

中国代表团步入亚特兰大奥林匹克体育场的照片，代表团的309名成员构成一个集合；

平行四边形的全体构成一个集合，其中每个平行四边形都是这个集合的元素；

圆是平面上与一个定点O的距离等于定长r的点的集合；

线段的垂直平分线是到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合：

中国的直辖市（北京，上海，天津，重庆）也可组成一个集合；

中国古代的四大发明（火药，印刷术，指南针，造纸术）也课组成一个集合;

下面我们说几个不是集合的例子:

①接近于0的数的全体；

②比较小的正整数全体：

③我的近似值的全体;

④某班个子较高的同学:

⑤某班学习较好的学生。

基础知识:

1.集合及元素的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）.

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

（3）元素用小写字母…表示；集合用大写字母48,C,…表示.

（4）不含任何元素的集合叫做空集，记作0.

（5）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

2.元素与集合间关系：

（1）属于：如果〃是集合A的元素，就说。属于A,记作

（2）不属于：如果。不是集合A的元素，就说〃不属于A,记作。任力

3.集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可.

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

4.常用数集及记法

（I）自然数集：全体非负整数的集合.记作N,N={0,1,2,3,…}

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+，V={1,2,3,…}

（3）整数集：全体整数的集合.记作Z,Z={0,±l,±2,…}

（4）有理数集：全体有理数的集合记作0,0={所有整数与分数}

（5）实数集：全体实数的集合记作及，/?-{数轴上所有的点所对应的数}

课时例题:

例1.若。是火中的元素，但不是。中的元素，则。可以是()

A.3.14B.-5C.-D."

7

【解析】由题意知。应为无理数，故〃可以为J7。答案：D

例2.下面右.四个结论：

①集合N中最小数为1；②若一。任N,则aeN；③若ae/V,6cN,则。+力的最小

值为2：④所有的正数组成一个集合.其中，正确结论的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】①错，最小为0：②错，若。=1.5,-a=-\.5,则一1.5任N：③错，若〃=(),

/)=0,则。+8=0：④正确.答案：B

例3.给出下列四个命题：①平方等于一1的实数不能组成一个集合；②正方形组成的集合

只有一个元素；③f+2x+l=()的解集是空集：④若。£力，则力有可能为空集。其中，

正确命题的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】①能组成一个空集；②有很多元素(大小不同的正方形)；③方程/+2工+1=0有

解、二一1：④力.说明力中含有元素a,无论。为何值，都是一个确定的数.，力不

可能为空集.答案：A

例4.已知①行wR：②;€0；③0=｛0｝：④0史N：⑤不£。；⑥一3wZ。其中正

确的个数为.

【解析】③错误，0是元素，也｝是一个集合；④06N：⑤乃任0,①②⑥正确.答案：3

快速练习:

1.判断下列说法是否正确，并说明理由.

(1)某个单位里的年轻人组成•个集合；

(2)1,--,」这些数组成的集合有5个元素;

2422

(3)由。力,c组成的集合与由aa,c组成的集合是同一个集合.

2.下列命题中正确的是()

①0与｛0｝｝表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛｛3,2,1｝：③方程

(X-1)2(X-2)=0的所有解的集合可表示为｛1,1,2｝；④集合｛x|4vx<5｝可以用列举法表示.

A.只有①和④B,只有②和③

C.只有②D.以上命题都不对

3.设xwA,集合力中含有三个元素3,x,X7-2x0

(1)求元素x应满足的条件：

(2)若一2d,求实数X。

引入:

如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有的元素都列举出来。

另一种更加有效的描述集合的方法，是用集合中元素的特征性质来描述。

基础知识:

5.集合的表示方法；

（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

例：由方程x2-l=O的所有解组成的集合可表示为{-1,1}

例；所有大于0且小于1。的奇数组成的集合可表示为{1,357,9}

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.

①具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.语言描述法：例

{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例不等式x-3>2的解集是卜€/?卜-3〉2}或卜卜-3〉2}

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集

合中兀素较多或有尢限个兀素时，小宜米用列举法.

（3）Venn图（韦恩图）：

即画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

表示任意•个集合A

表示{3,9,12}

6.集合的分类

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合中

课时例题:

例1.集合卜eN+卜—3<2}的另一种表示方法是（）

A.{0,1,23,4}B.{1,23,4}

C.{0,123,4,5}D.{12,3,4,5}

【解析】题目中用描述法表示集合，选项中想让用列举法表示集合。题口中集合中元素满足

工<5且工€%+，所以集合的元素有1,2,3,4。答案：B

例2.下列集合的表示法正确的是（）

A.第二、四象限内的点集可表示为M

B.不等式x-l<4的解集为{x<5}

C.{全体整数}

D.实数集口J表本为A

【解析】选项A中应是个<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范

格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的”｛『与“全体”意思重复.答案：D

快速练习:

方程组+'"2的解集是（）

I.

\x-2y=-\

A.{x=lj=l}B.{1}C.{（1,1）}D.｛（xj］（l』）｝

2.已知集合〃=卜,=7〃+2,〃wN},则2011M,2012M（填e或任）.

3.已知集合力=1工——12则用列举法表示为_________

5-x

4.用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集.

⑴方程/-9=0的解集；

(2)大于()且小于10的奇数构成的集合:

(3)不等式工一3>2的解集：

(4)抛物线y=/上的点构成的采合：

(5)方程/+、+1=0的解集.

5.已知集合力=卜|米2-8.丫+16=0｝只有一个元素，试求实数上的值，并用列举法表示集

合Ao

每日一法：

分类讨论——利用互异性

方法描述：

对于形如ad+瓜+。=0的讨论，讨论的方向主要集中在是一元一次方程，还是一元二次

方程。

方法步骤：

已知集合/=卜,/-3X+2=。｝,其中。为常数，且aeR

若片中只有一个元素，求。的值：

2户不、

S1：当。=0时，方程变为一3x+2=0,解得X=—,A=\-\,满足题意

31

S2：当。工0时，方程为。/-3》+2=0,若4中只有一个元素，则有△=(—3)2-44x2=0

解得。=2,满足题意

8

29

S3：若集合力中只有一个元素，则。=一或一。

38

方法练习：

1.求集合B，x,——2x}中，元素x应满足的条件

2.已知xw{1,2,/},则实数x=

3.已知集合力=卜,/一3%+2=()},其中。为常数，且awR

(I)若力是空集，求。的范围；

(2)若4中至多只有一个元素，求。的范围.

4.已知M={2,d",N={2a,2,/},且M=N,求a,4的值.

5.已知集合4={a,a+b,a+2b},B={。，。、，〃入二}求实数x的直

集合关系预习册

例题I：A=｛1,2,3卜B=｛b2,3,针

【解析】集合4中的任意一个元素都是集合4的元素，所以我们可以记作AUB，但我们发

现B中比A中多一个元