高中数学函数的奇偶性教学教案

函数的奇偶性

【教学目标】

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

，函数图象理解和研究函数的性,质；

3.学会判断函数的奇偶性；

【教学重难点】

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式

【教学过程】

(-)创设情景，揭示课题

“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看以

下各函数有什么共,性？

,观察以下函数的图象，总结各函数之间的共性.

f(%)=x2

-1

通过讨论归纳：函数/(x)=V是定义域为全体实数的抛物线；函数/(x)=|x|-1是定

义域为全体实数的折线：函数/(x)=!是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共

X

性为图象关于y轴对称.观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

归纳：假设点(x,7(x))在函数图象上，则相应的点(一x,7(x))也在函数图象上，即函

数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.

（二）研探新知

函数的奇偶性定义:

1.偶函数

一般地，对于函数/（X）的定义域内的任意一个X,都有/（—x）=/（x）,那么/（X）就

叫做偶函数.（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义.

2.奇函数

一般地，对于函数/（X）的定义域的任意一个X,都有/（-x）=-/（x）,那么/（X）就

叫做奇函数.

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定.义域内的任

意一个X,则一X也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.

3..具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

（三）质疑辩论，排难解惑，开展思维.

例1.判断以下函数是否是偶函数.

（1）/（x）=X2XG[-1,2]

32

（2）

x-1

解：函数/（X）=x2,X£[—l,2]不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称.

函数/（幻=『；也不是偶函数，因为它的定义域为{xlxwH且XH1},并不关于原

点对称.

点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。

变式训I练1

+X⑵、./、.［、匕IX口+1

⑴、f(x)=x3

⑶八f(x)=y/x2-4+^2-x2

解：（1）、函数的定义域为R,/（-X）=（-%）3+（-%）=-x3-x=-f（x）

所以/（x）为奇函数

（2）、函数的定义域为｛x|x>l或定义域关于原点不对称，所以为非奇

非偶函数

（3）、函数的定义域为｛-2,2｝,/（一幻=0=/。）=一/（幻，所以函数/（工）既是奇函数

又是偶函数

例2.判断以下函数的奇偶性

(1)f(x)=x4⑵/(x)=X5(3)/(%)=%+-(4)=

XX

分析：先验证函数定义域的对称性，再考察/（-X）是否等于/（X）或-/（幻.

解：门）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数

点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定/（-幻与/'（X）的关系；

③作出相应结论：

假设/（—X）=/"）或/'（一外一/（幻=0,贝旷（X）是偶函数；

假设/（一幻=一/（幻或/1（一X）+/（%）=0,则/（X）是奇函数.

变式训练2

—x~+1(x>0)

判断函数的奇偶性:g(x)=<

—#_i(%<0)

解：（2）当x>0时，-x<0.,于是

g(-x)=(-幻2-l=-(^x2+l)=_g(x)

当x<0时，-x>0,于是

1,1,1,

g(-x)=-(-x)2+1=5炉+1=—(一江—1)=—g(X)

综上可知，在R-UR.上，g(x)是奇函数.

四、当堂检测.

1、函数/(x)=L,xw(O,l)的奇偶性是()

X

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数

2、假设函数/。)=以2+Z?x+c(awO)是偶函数，则g(x)=ax3+Z?无2+5是()

.偶函数

3、假设函数y=f(x),xeR是奇函数，且/(I)</(2),则必有()

A./(-1)</(-2)B./(-1)>/(-2)C./(-1)=/(-2)

4、函数/(x)是R上的偶函数，且在［0,+◎上单调递增，则以下各式成立的是

()

A./(-2)>/(0)>/(1)B./(-2)>/(-1)>/(0)

C./(D>/(0)>/(-2)D./(I)>/(-2)>/(0)

5、函数y=/(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程/(x)=0的所有实数

根的和为.()

A.4,

6、函数/(x)=a,aN。是函数.

7、假设函数g(x)为R上的奇函数，那么g(a)+g(—。)=.

8、如果奇函数/(x)在区间［3,7］上是增函数，且最小值是5,那么/(x)在区间17,-

3］上的最______________值为.

五、归纳小结，整体认识.

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法,

用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性

与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶

性这