甘肃省兰州市第六十三中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷(含答案)

甘肃省兰州市第六十三中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷(含答案)一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列哪个选项是正确的？A.$a>0,b>0,c>0$B.$a>0,b<0,c>0$C.$a<0,b>0,c<0$D.$a<0,b<0,c<0$2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，则该数列的公差$d$等于多少？A.1B.2C.3D.4二、填空题要求：在每小题空格内填上恰当的数字或字母。3.若$a,b,c$是等差数列中的三个连续项，且$a+b+c=12$，$a^2+b^2+c^2=36$，则$a+b+c$的值是____。4.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}+2$，则$f(x)$的定义域为____。三、解答题要求：解答下列各题。5.（1）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=50$，$S_8=80$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$；（2）已知数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n=2n+1$，求证：$\{b_n\}$是等差数列，并求出该数列的公差。6.（1）若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，求函数$f(x)$的解析式；（2）已知函数$g(x)=\frac{1}{x}+2$，求函数$g(x)$的值域。四、解答题要求：解答下列各题。7.（1）已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$，求函数$f(x)$的定义域；（2）若函数$y=x^2-2ax+a^2$的图象开口向上，且顶点坐标为$(2,-1)$，求实数$a$的值。五、解答题要求：解答下列各题。8.（1）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=3n^2-2n$，求该数列的首项$a_1$；（2）若数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n=3^n-2^n$，求证：$\{b_n\}$是等比数列，并求出该数列的首项和公比。六、解答题要求：解答下列各题。9.（1）已知函数$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函数$h(x)$的值域；（2）若函数$p(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象经过点$(1,3)$和$(3,5)$，求实数$a$，$b$，$c$的值。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：由于函数的图象开口向上，所以$a>0$。顶点坐标为$(1,2)$，根据顶点公式，$-\frac{b}{2a}=1$，所以$b=-2a$。因为顶点在图象上，所以$f(1)=2$，代入函数得$a+b+c=2$，结合$b=-2a$，得到$a-2a+c=2$，即$c=2a+2$。由于$a>0$，所以$c>0$，且$b=-2a<0$，故选B。2.B解析：等差数列的公差$d=a_4-a_1=9-3=6$。二、填空题3.6解析：由等差数列的性质，$a+b+c=3d$，代入$a+b+c=12$，得$3d=12$，所以$d=4$。又因为$a+b+c=3d$，所以$a+b+c=12$，即$a+(a+d)+(a+2d)=12$，解得$a=2$，所以$a+b+c=6$。4.$\{x|x\neq0\}$解析：函数$f(x)=\frac{1}{x}+2$的定义域是所有使得分母不为零的$x$的集合，即$x$不能等于0。三、解答题5.（1）$a_1=5$，$d=5$解析：$S_5=\frac{5}{2}(2a_1+4d)=50$，$S_8=\frac{8}{2}(2a_1+7d)=80$，解这个方程组得$a_1=5$，$d=5$。（2）证明：$b_{n+1}-b_n=(2(n+1)+1)-(2n+1)=2$，所以$\{b_n\}$是等差数列，公差为2。6.（1）$f(x)=x^2-2x+1$解析：由于顶点坐标为$(1,2)$，代入顶点公式得$a=1$，$b=-2a=-2$，$c=a^2-b^2=1$，所以$f(x)=x^2-2x+1$。（2）值域为$(-\infty,3]$解析：函数$g(x)=\frac{1}{x}+2$在$x\neq0$时取值，当$x$接近0时，$\frac{1}{x}$的绝对值无限增大，所以$g(x)$可以取到任意大的正值；当$x$为正数时，$g(x)$随着$x$的增大而减小，所以$g(x)$可以取到任意大的负值。因此，值域为$(-\infty,3]$。四、解答题7.（1）$\{x|x\geq2\text{或}x\leq1\}$解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$的定义域是使得$x^2-4x+3\geq0$的$x$的集合。解不等式$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\geq0$，得$x\leq1$或$x\geq3$。（2）$a=1$，$b=-4$，$c=4$解析：由于顶点坐标为$(2,-1)$，代入顶点公式得$a=1$，$b=-2a=-2$，$c=a^2-b^2=1$。又因为函数经过点$(1,3)$和$(3,5)$，代入这些点得到两个方程，解这个方程组得$a=1$，$b=-4$，$c=4$。五、解答题8.（1）$a_1=3$解析：$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_n=3n^2-2n$，解得$a_1=3$。（2）证明：$b_{n+1}=3^{n+1}-2^{n+1}$，$b_n=3^n-2^n$，所以$b_{n+1}-b_n=3\cdot3^n-2\cdot2^n-(3^n-2^n)=2\cdot3^n-2^n$，这是一个常数，所以$\{b_n\}$是等比数列，首项$b_1=3$，公比$q=3$。六、解答题9.（1）$\{y|y\neq2\}$解析：函数$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$可以简化为$h(x)=x+2$，因为$x^2-4$可以分解为$(x-2)(x+2)$。所以$h(x)$的定义域是所有使得$x-2\neq0$的$x$的集合，即$