3.1.1椭圆及其标准方程学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1第1课时椭圆及其标准方程【学习目标】1、理解并掌握椭圆的定义.2、掌握椭圆的标准方程的推导.3、会求简单的椭圆的标准方程(重点).一、情境导入情境1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？情境2：若把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？二、新知探究思考1：保持两定点间的距离不变，加大绳长，动点的轨迹还是椭圆吗？思考2：保持两定点间的距离不变，缩短绳长，使它等于或小于两定点间的距离，还能画出椭圆吗？椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于的点的轨迹叫做椭圆，这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距，焦距的称为半焦距.椭圆的标准方程推导思考3：求圆的标准方程的步骤是什么？思考4：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？以焦点在x轴为例：：以焦点所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.：任取椭圆上一点M(x，y)，|MF1|＋|MF2|＝定长，设定长为，令焦距|F1F2|=，即F1(－c，0)，F2(c，0).：|MF1|＋|MF2|＝2a（a>c>0），|MF1|=，|MF2|＝.所以+=2a：(x+c)2+y2=两边同时平方：(x+c)2+y2=4a2−4整理得：a2−cx=两边同时平方并整理得：(a2−两边同时除以，得：x2a2由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.令b=a2−c2，则椭圆的标准方程为：x2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标a，b，c的关系三、及时自测1、设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是（）A.椭圆B.直线 C.圆 D.线段2、(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a+9a(a>0，aA.圆B.线段 C.椭圆 D.直线3、已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝1，则动点P的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.线段D.不存在四、小组展示题型一求椭圆的标准方程例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；（2）两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点−3（3）经过点P13，13,题型二利用椭圆定义求轨迹方程例2：如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．五、当堂检测1、点P为椭圆x24+y216＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PFA.13B.1 C.7 D.5已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么