2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版6含答案

2025.高考科学复习创新方案•数学.提升版第3讲成对

数据的统计分析

［课程标准.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据

向量夹角的关系.2.会通过相关系数比较多组成对数据的相关性3了解一元线性回

归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回

归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件4会用一元线性回归模

型进行预测5理解2x2列联表的统计意义.6.了解2x2列联表独立性检验及其应

用.

基础知识整合

＞知识梳理

1.相关关系

两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，

这种关系称为相关关系.

2.相关关系的分类

(1)按变量间的增减性分为画歪相关和国负相关.

①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现画增加的

趋势.

②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现画减少的趋

势.

(2)按变量间是否有线性特征分为直线性相关或国韭线性相关(曲线相关).

①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在国二

条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.

②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是画线性相关,

我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

3.相关关系的刻画

（1）散点图：为了直观描述成对样本数据的特征，把每对成对数据都用直角坐

标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图.

（2）样本相关系数

①我们常用样本相关系数一来确切地反映成对样本数据（川，刈的相关程度，

其中r=

n__

E（刘-x）⑶-，）

（＞"）（…）2

②样本相关系数r的取值范围为画JL—LL

当时，成对样本数据回正相关；当xo时，成对样本数据回负相关；

当仍越接近回L时，成对样本数据的线性相关程度越强；当团越接近回。时，成

对样本数据的线性相关程度越弱.

4.一元线性回归模型

Y=bx+ae,____.

称口』八八,、二为y关于犬的一元线性回归模型.其中y称为回

E（e）=0,D（e）=（r

因变量或回响应变量,尢称为画自变量或回健释变量,回且称为截距参数，

回女称为斜率参数；6是回上与回公吐幺之间的随机误差，如果《二画。，那

么丫与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述.

5.最小二乘法

AAA

将y二饭+〃称为y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公

式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求

AAA/£（刘一工）87）Aj

得的乩。叫做R。的最小二乘估计，其中二——------Z--------------------，。二回

£（X/-X）2

6.残差与残差分析

⑴残差

对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为画观测值,通过经验回归方程得

到的f称为网预测值,网观测值减去因预测值称为残差.

(2)残差分析

国残差是随机误差的估计结果，通过对画残差的分析可以判断模型刻画数

据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

7.对模型刻画数据效果的分析

(1)残差图法

在残差图中，如果残差比较均匀地集中在同以横轴为对称轴的水平带状区

域内,则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系.

(2)残差平方和法

残差平方和回三_('•-倒2越小，模型的拟合效果越好.

i三1

(3)决定系数R2法

士n(》fA)-

可以用决定系数产=1-亍----------来比较两个模型的拟合效果，R2越

W(D

国大，模型拟合效果越好，收越国小，模型拟合效果越差.

8.列联表与独立性检验

(1)2x2列联表

①2X2列联表给出了成对分类变量数据的同交叉分类频数.

②定义一对分类变量x和匕我们整理数据如下表所示:

Y

X合计

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合计a+cb+dn=a+h+c+d

像这种形式的数据统计表称为2x2列联表.

(2)独立性检验

①定义：利用Z2的取值推断分类变量X和庖是查独立的方法称为了独立

性检验，读作“卡方独立性检验。简称独立性检验.

।—।n[ad-be)2

(2)/2=36—------------7-----7——-,其中〃=a+/?+c+d.

J人1—，(〃+〃)(丁+一)(〃+♦)(〃+〃)1

(3)独立性检险解决实际问题的主要环节

①提出零假设”。：x和丫相互独立，并给出在问题中的解释.

②根据抽样数据整理出2x2列联表，计算/的值，并与临界值打比较.

③根据检验规则得出推断结论.

④在x和y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析x和y

间的影响规律.

0知识拓展

1.相关关系与函数关系的异同

共同点：二者都是指两个变量间的关系；

不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一

种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系.

AAA__

2.经验回归直线)：二云+。一定过点(x,y).

＞双基自测

1.(人教A选择性必修第三册习题8.1Ti改编)下列四个散点图中，变量x与

y之间具有负线性相关关系的是()

y)

()

I)

答案D

解析观察散点图可知，只有D中的散点图表示的是变量x与），之间具有负

线性相关关系.故选D.

2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做了试验,

并用回归分析方法分别求得相关系数一与残差平方和〃3如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

则哪位同学的试验结果体现的A,B两变量有更强的线性相关性（）

A.甲B.乙

C.丙D.丁

答案D

解析团越接近1,"Z越小，线性相关性越强，故选D.

3.已知相关变量工和），满足关系£=-。以+1,相关变量丁与z负相关，则

下列结论中正确的是（）

A.x与y正相关，x与z负相关

B.x与y正相关，x与z正相关

C.x与y负相关，x与z负相关

D.x与y负相关，x与z正相关

答案D

AAA

解析由-0.1X+1可得x与），负相关.因为y与z负相关，可设z=Z?），+

AAAAAAAA

a,b<0,JjllJz=Z?（-0.1A+1）+6/=-OAbx+b+a,故x与z正相关.

4.（多选）（人教B选择性必修第二册432例1改编）为了解阅读量多少与幸福

感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的2x2列

联表（个别数据暂用字母表示）：

幸福感

阅读量合计

强弱

多m1872

少36n78

合计906015()

计算得到Z2力2.981,参照下表:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

则下列结论正确的是（）

A.根据小概率值。=0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强

弱无关”

B.=54

C.n=52

D.根据小概率值a=0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%

的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”

答案BD

解析.••/引2.981>7.879>6.635,.•.根据小概率值。=0.010的独立性检验，

可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，根

据小概率值〃=0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下

认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，A错误，D正确;•.■〃2+36=90,18+〃

=60,「.团=54,〃=42,7.B正确，C错误.

5.某产品的广告费用x与销售额），的统计数据如下表：

广告费用*万元）4235

销售额y（万元）49263954

根据上表可得经验回归方程5二篇+2中的分为9.4,据此模型预测广告费用为

6万元时销售额约为万元.

答案65.5

_4+2+3+5_49+26+39+54

解析由表可得了二----4----二3.5,y=-------4------=42,因为点

AAAAAA

（3.5,42）在经验回归直线），=灰+々上，旦〃=9.4,所以42=9.4x3.5+〃，解得a=

9.1.故经验回归方程为£=9.4x+9.1.令x=6,得R=65.5.故预测广告费用为6万元

时销售额约为65.5万元.

核心考向突破

多角度探究突破

考向一两个变量的相关性

角度1相关关系的判断

例1(1)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表

如下：

月份123456

人均销售额658347

18.

利润率(％)12.610.43.08.116.3

5

根据表中数据，下列说法正确的是()

A.利润率与人均销售额成正相关关系

B.利润率与人均销售额成负相关关系

C.利润率与人均销售额成正比例函数关系

D.利润率与人均第售额成反比例函数关系

答案A

解析由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关

系，排除C,D;其属于正相关关系，A正确，B错误.故选A.

(2)在以下4幅散点图中，图_______中的y和x之间存在相关关系(将正确答

案的序号填在横线上)

答案②③④

解析图②③中的点成带状区域分布在某一直线附近，④中的点分布在某一

曲线附近，故②③④存在相关关系.

角度2相关系数的计算及意义

例2(1)(多选)某同学将收集到的六对数据制作成散点图一

AA

如右，得到其经验回归方程为八：)，=0.681+出计算其相关系.

*c{)

数为n,决定系数为即经过分析确定点F为“离群点”，把它去_上_____,

X

掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为/2：y=

源+0.68,相关系数为2决定系数为R幺下列结论正确的是()

A.n>/*!>0B.Ri>Ri

AA

C.0<Z?<0.68D力>0.68

答案AC

解析由图可知两变量呈正相关，故n>0,m>0,去掉"离群点''后，相关

性更强，所以「V废，故此v审，故A正确，B错误；根据图象，当去掉尸点后,

直线基本在4,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向x轴偏

向，故斜率会变小，因此0<合<0.68,故C正确：D错误.故选AC.

(2)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为

调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块

中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据5,»•)(，=1,

2,…，20),其中H和"分别表示第，个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种

2()2020-20_、

野生动物的数量，并计算得£即=60,Z»=1200,Z8-1)2=80,£(＞7-y)2

/=1/=1/=1/=1

20__

=9(X)0,E(Xi-x)('•-)，)=800.

，=!

①求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样

区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；

②求样本(孙2,…，20)的相关系数(精确到0.01).

n

2U-x)(yi-y)

附：相关系数,二一----------：-------------,/R.414.

、Z(r-X)2E(V-y)2

V口।i='

1201

解①每个样区野生动物数量的平均数为疝=而xl20()=6(),地块数为

1=1

200,所以该地区这种野生动物数量的估计值为200x60=12000.

②样本6,V)的相关系数为

20__

_g—Lx)(p—y)__________8002迫

r==

^(y;-7)r^=3••

口触类旁通n判定两个变量相关性的方法

若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分

画散点图

布从左上角到右下角，则两个变量负相关

当厂＞0时，正相关；当X。时，负相关；M越接近1,线性相关

样本相关系数

程度遗强

AA

经验回归方程当比＞0时，正相关；当8Vo时，负相关

r即时训练1.(2024・蓟州开学考试)对两个变量羽)，进行线性市地嬴榛

性相关系数门=0.8995,对两个变量〃，u进行线性相关检验，得线性相关系数9

=-0.9568,则下列判断正确的是()

A.变量x与y正相关，变量〃与u负相关，变量x与)，的线性相关性较强

B.变量x与y负相关，变量〃与口正相关，变量无与)，的线性相关性较强

C.变量x与)，正相关，变量〃与口负相关，变量〃与口的线性相关性较强

D.变量x与)，负相关，变量〃与u正相关，变量〃与u的线性相关性较强

答案C

解析因为线性相关系数门二0.8995X),所以二y正相关，因为线性相关系

数旌=-0.9568＜0,所以〃，＞，负相关，又因为|川＜四,所以变量〃，♦的线性相关

性比心的线性相关性强，故A,B,D错误，C正确.故选C.

2.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生

产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依

次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116/I16

经计算得x=石£一二9.97,s='/讳Z)2=

([?-16£2)=0.212,8.5)2-8.439,£(刘_I)*8.5)=-

2.78,其中方为抽取的第，个零件的尺寸，，.=1,2,…，16.

(1)求(8，/)(/=1,2,16)的相关系数人并回答是否可以认为这一天生产

的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若I/K0.25,则可以认为零件

的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(1-3s,1+3s)之外的零件，就

认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程

进行检查.

①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查?

②在(1-35,工+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产

线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01).

附：样本(孙，♦)(，=1,2,〃)的相关系数

参考数据：^0.008-0.09.

解(1)由样本数据，得但，i)(i=1,2,…，16)的相关系数r

16

-2.78

-------F=-------=-()18

0.212x716x18.439

由于仍＜0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系

统地变大或变小.

(2)①由于工二9.97,s=0.212,因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件

的尺寸在(1-3s,1+3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查.

②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为tX(16X9.97-9.22)=

10.02,

这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.

16

£^^16X0.2122416x9.972=1591.134,

/=1

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为tx(1591.134-9.222-

15x10.022户0.008,

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为M丽巾.09.

多角度探究突破

考向二回归分析

角度1线性回归模型

例3（2024.济南开学考试）随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择,

并对实体经济产生了一定影响.为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个

大商场2019-2023年的线下销售额如下：

年份编号X12345

年份20192020202120222023

销售额y

1513146512021060860

（单位：万元）

（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额），与年份编号x的关

系，请用相关系数加以说明；

（2）建立），关于久•的经验回归方程，并预测2024年该商场的线下销售额.

参考公式及数据：

A£砂-〃工aA_A_

b=~,a=y-bx,

£京-nx2

1736.

5

斗

解（1）由已知数据可得，X=3,y=—=^=1220,

5

所以£卬,-5Ty=16589-5x3x1220=-1711,

/=!

5

I___________________________

所以〃二J7,21’5y）工浦在-0.9856.

因为M非常接近1,所以可用线性回归模型拟合销售额），与年份编号x的关系.

22222

（2）由已知数据可得，1>?=14-2+3+4+5=55,

/=i

5

孕C

Ay16589-5x3x1220

所以。二当者5“——=-171.1,

=DD-

a=y-bx=1220-（-171.1）x3=1733.3,

所以>关于x的经验回归方程为5二-171.我+1733.3.

令x=6,

5!ljy=-171.1x6+1733.3=706.7（万元）.

所以预测2024年该商场的线下销售额为706.7万元.

角度2非线性回归模型

例4某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费工（单

位：千元）对年销售量）（单位：。和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣

传费即和年销售量2,…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一

些统计量的值.

年销售址/|

620

600...

580.■

560•

540.

520

500.•

48()1AA1AAAA，，A.

34363840424446485)525456

年宣传费/千元

8

88_2(WL

£(M篙(Xz-X)•(y•

yj(无一IF

Xyvr

初2-y)vv)-(>v-y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中卬i=«,W=R*Wi.

⑴根据散点图判断，)，二。+bx与尸c+小「哪一个适宜作为年销售量y关于

年宣传费X的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据⑴的判断结果及表中数据，建立y关于支的经验回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=().2y-x.根据⑵的结果回答

下列问题：

①年宣传费工二49时，年销售量及年利润的预测值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？

附：对于一组数据("I,Vl),(U2,V2),•••,(4，v„),其经验回归直线^A二aA+/A

AZ/)(V/-V)AA_

〃的斜率和截距的最小二乘估计分别为"~~-----------------,«=v-Pu.

X〃)2

解(1)由散点图可以判断，y=c+M适宜作为年销售量y关于年宣传费x

的经验回归方程类型.

(2)令w=先建立y关于卬的经验回归方程.

8

八（Wi-（yi-y）

108.8

由于"二'68,

8_1.6

R（Wi~W）2

A_A_,一____

c=y-dvv=563-68x6.8=100.6,

A

所以y关于卬的经验回归方程为y=100.6+68iv,

因此y关于x的经验回归方程为£=100.6+68G.

(3)①由(2)知，当户49时，年销售量)，的预测值为£=100.6+6队用=576.6

千元，

年利润z的预测值为1=576.6x0.2-49=66.32千元.

②根据⑵的结果知，年利润z的预测值

z=0.2(100.6+68^)-x=-x+13.6^+20.12.

所以当5:号=6.8,即x=46.24时，2取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预测值最大.

1触类旁通I求经验回归方程的步骤

提醒：对非线性回归分析问题，可通过适当的换元转化为线性回归分析问题

求解.

&即时训练1.(2023•厦门二模)移动物联网广泛应用于皿亿户

25・

生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，20.

我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体!?•

00I2345/

中首个实现''物超人''的国家.如图是2018〜2()22年移动物

联网连接数卬与年份代码,的散点图，其中年份2018〜2022对应的1分别为1〜

5.

(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01),

并推断它们的相关程度；

(2)①假设变量x与变量丫的〃对观测数据为(xi,yi),(X2,闻，…，g泗),

Y=bx+e

两个变量满足一元线性回归模型口二、:八/、式随机误差

E(e)=0,D(e)-(T

bxi).请推导：当随机误差平方和。二£区取得最小值时，参数的最小二乘估计;

/=!

②令变量x=/-7,y=卬-6,则变量x与变量y满足一元线性回归模型

(Y=bx+e

1,、:n/、，利用①中结论求y关于X的经验回归方程,并预测2024

年移动物联网连接数.

内

-

S(0f)(wf—w)

附：样本相关系数r="£(%.一而",

2

S(w,-w)=76.9,S(/,-f)(w,-w)=27.2,Sw,=6081网之277

解（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量

线性相关.

因为7=1x(l+24-3+4+5)=3,

5

所以Ze-7)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=1(),

z=i

Z(6-7)(W7-HO

,7.2_27.227.2

[10x76.9=”27.7

=0.98,

所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

£一=£(北一)2=£(9一2bxiy,

⑵①。二-1"I"1

+b2xj)=lrN乂

—I___

要使Q取得最小值，当且仅当〃A二与y右?・2.

55

2工＜“2(。—)(w,

r°1_________£_____~_w__)

②由①知公二£5—')2二*二2.72,

所以y关于X的经验回归方程为£=2.72X,

5

之卬i

又6二一§一=?3=12.16,所以当/=7时，

贝IJx=7-3=4,w=y+b=2.72x4+12.16=23.04,

所以预测2024年移动物联网连接数为23.04亿户.

2.（2023•辽宁名校联盟期末）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦

葵等植物.为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量.现研究红铃虫的产卵数和温

度的关系，收集到7组温度工和产卵数y的观测数据于表I中.根据绘制的散点

图决定从回归模型①），=oeclr与回归模型②.v=+C4中选择一个来进行拟合.

表【

温度x/℃20222527293135

产卵数w个711212465114325

（1）请借助表n中的数据，求出回归模型①的方程（精确到（）.01）；

表11（注：表中Zi=lny）

7777_7_

X（Xi-x）2

工（V-5）2

18956725.2716278106

7£y＞（ti

zli（力-居8-,S（无一

2

7）工）•（》-y）x）-（A-7）-7）

11.06304041.86825.09

（2）类似地，可以得到回归模型②的方程为＞=0.361-202.54,试求两种模型

下温度为20℃时的残差；

（3）若求得回归模型①的决定系数R2=0.95，回归模型②的决定系数R2=0.81,

请结合（2）说明哪个模型的拟合效果更好.

参考数据：e-3⑷=o.o3,e026«1.30,e,79«5.99,e52O«181.27.

附：经验回归方程9=加+1中

n__

"（船一x）（y-y）

AA_A_

»Z~7,a-y-px.

£{Xi-X）2

解⑴由y=ciec2r,fliny=\nc\+ax,

令，=Iny,b=a,a=Inci,得，=+a,

由表H数据可得，

7

41.86

7-0.26,

£(Xi-X)2162

A_A_25.27八r,189

a-i-bx~~~-0.26x-=-3o.41,

A

所以f=0.26x—3.41,

所以所求经验回归方程为Q=e°.-3⑷(或Q=o.O3eO26v).

⑵由题意可知，模型①在x=20时残差为yi-yi=7-e°-26x20-3-41«1.01,

模型②在x=20时残差为yi-yi=7-(0.36x202-202.54)=65.54.

(3)因为0.95>0.81,即模型①的决定系数大于模型②的决定系数，由决定系

数公式知，模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，因此模型①得到的数

据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好.

考向三独立性检验

例5(2023•枣庄三中期末)某中学为调查本校学生“保

护动物意识的强弱与性别是否有关“，采用简单随机抽样的

方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经

统计，得到如图所示的等高堆积条形图.

(1)根据已知条件，将下面2x2列联表补充完整：II保护动物意队强

II保护动物意队弱

保护动物意识合计

性别

强弱

男生50

女生50

合计100

(2)根据(1)表中数据，依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析该校学生

保护动物意识的强弱与性别是否有关.

,n(ad-be)2

附.(〃+/?)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.

a0.100.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

解(1)由等高堆积条形图知，男生保护动物意识强的有50x0.7=35人，女生

保护动物意识强的有50x0.4=20人，于是补充2x2列联表如下：

保护动物意识合计

性别

强弱

男生351550

女生203050

合计5545100

(2)零假设为"0：该校学生保护动物意识的强弱与性别无关，根据列联表中的

数据，得

、100x(35x30-15x20)2100

/=-50X50X55X45-二,9.091>7.879=xo.oo5,

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断“0不成立，即认为该校学

生保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.

I触类旁通I

1.比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法

(1)通过计算Z2的大小判断：Z2越大，两变量有关联的可能性越大.

(2)通过计算|〃-庆|的大小判断：|〃-曲|越大，两变量有关联的可能性越大.

(3)通过计算备与力的大小判断：相差越大，两变量有关联的可能性越大.

V*Iexv*IV*

2.独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据制成2x2列联表.

.n(ad-be)2.

⑵根据公式r=("份(,+d)(a+c)g+计算/的值，

(3)比较/与临界值打的大小关系，作统计推断.

r即时训练(2024.贵州黔东南州从江县高三期中检测谋学校现有1000名学

生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了〃名学生某周使用手

机上网时间的样本数据(单位：小时).将数据分为6组：[0,2],(2,4J,(4,6J,

(6,8],(8,10],(1(),12],并整理得到如下的频率分布直方图：

(1)估计该校学生一周平均使用手机上网时间(每组数据以该组中点值为代

表)；

(2)将一周使用手机上网时间在(4,12]内定义为“长时间使用手机上网“；一周

使用手机上网时间在(0,4]内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，

有().25〃名学生不近视.

①请补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表；

②若〃为100,那么在犯错误的概率不超过0.001的前提下是否能认为该校学

生一周使用手机上网时间与近视程度有关？

一周使用手机近视程度

合计

上网时间近视不近视

长时间使用手机

不长时间使用手机0.15/?

合计0.25〃

n（ad-be）2

附：1“）（c+d）…（〃+"），其中,…+b+c+&

a0.10.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)根据频率分布直方图可估计该校学生一周平均使用手机上网时间为

x=1x0.025x2+3x0.100x2+5x0.150x2+7x0.125x2+9x0.075x2+11x0.025x2=

5.8（小时）.

（2）①由频率分布直方图可得，上网时间在（0,4］内和（4,12］内的比例为0.25:

0.75=1：3,

故可得列联表如下:

近视程度

一周使用手机上网时间合计

近视不近视

长时间使用手矶0.65〃0.1On0.75〃

不长时间使用手机0.10〃0.15/?0.25〃

合计0.75〃0.25〃n

100x（65x15-10x10）2

②若〃为100,则茬=—乂—«21.78>10.828,故在犯错误

的概率不超过0.001的前提下能认为该校学生一周使用手机上网时间与近视程度

有关.

课时作业

一、单项选择题

1.根据分类变量X与>的成对样本数据，计算得到犬二6.147.依据a=0.01

的独立性检验（xo.oi=6.635）,结论为（）

A.变量犬与y不独立

B.变量犬与），不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

C.变量x与），独立

D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

答案C

解析依据a=0。的独立性检验，当/=6.147<6.635时，可以认为变量x

与）独立.故选C

2.（2023・天津高考）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示.其

中相关系数一二0.8245,下列说法正确的是（）

花滞长度

花萼氏度

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈正相关

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

答案C

解析因为相关系数r=0,8245>0.75,所以花瓣长度和花萼长度的相关性较

强，并且呈正相关，所以A,B错误，C正确；因为相关系数与样本的数据有关,

所以当样本发生变化时，相关系数也可能会发生变化，所以D错误.故选C.

3.（2024.青岛开学考试）已知某设备的使用年限x（单位：年）与年维护费用），（单

位：千元）的对应数据如下表：

X24568

y34.56.57.59

由所给数据分析可知，x与），之间具有线性相关关系，且y关于x的经验回

AAA

归方程为L05x+a,则。=（）

A.0.75B.0.85

C.0.95D.1.05

答案B

_2+4+5+6+8_3+4.5+6.5+7.5+9

解析由已知可得，x==5,y==6.1,

AA

因为经验回归直线过样本点的中心(5,6.1),所以6.1=1.05x5+。,解得4=0.85.

故选B.

4.用模型y=配机+1（〃>0）拟合一组数据时，令z=lny,将其变换后得到经验

回归方程z=2x+a,®j-=()

A.e

C.5D.2

答案D

解析对y=a/”（a>0）两边同时取对数,则析y=ln3ax+I）=lna+公+兀

b=2,b=2,b

令z=lny,5JlJz=+Ina+1,所以，I,解得所以.故选D.

a=\na+I,

5.下图是某地区20（）3年至2023年环境保护建设投资额（单位：万元）的折线

图.

根据该折线图判断，下列结论正确的是（）

A.为预测该地2024年的环境保护建设投资额，应用2003年至2023年的数

据建立回归模型更可靠

B.为预测该地2024年的环境保护建设投资额，应用2012年至2023年的数

据建立回归模型更可靠

C.投资额与年份负相关

D.投资额与年份的相关系数厂<（）

答案B

解析因为2011年之前与2012年之后投资额变化较大，故为预测该地2024

年的环境保护建设投资额，应用2012年至2023年的数据建立回归模型更可靠，

所以A错误，B正确；随年份的增长，投资额总体上在增长，所以投资额与年份

正相关，r>0,故C,D错误.故选B.

6.根据如下样本数据:

X345678

y4.02.50.50.50.40.1

AAA

得到经验回归方程为)，=尿+。，贝IJ()

AA