北京一六一中2024-2025学年九年级（下）开学考数学试卷(含答案)

2025北京一六一中初三（下）开学考数学一、选择题（共16分，每题2分）1.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.如意纹 B.冰裂纹C.盘长纹 D.风车纹2.2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（）A.光年 B.光年 C.光年 D.光年3.如图，，．若平分，则的大小为（）A. B. C. D.4.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（）A. B. C. D.5.如图，在中，弦相交于点E，，则的度数为（）A. B. C. D.6.不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（）A. B. C. D.7.铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图．由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的重心．若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（）A. B. C. D.8.二次函数（）图象上部分点的坐标满足下表：x…0135…y…707…下面有四个结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④是关于x的一元二次方程（）的一个根．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（共16分，每题2分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．10.已知，且a是整数，则a的值是____．11.分解因式：__________．12.已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是________．13.在平面直有坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是__________．14.在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的．求甲乙两班各有多少人？设乙班有x人，依题意，可列方程为_______．15.在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是______.16.如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接．设，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是_______．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题6分，第27-28题，每题7分）17.计算：．18.解不等式组：．19.已知，求代数式的值．20.下面是小郭设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线；③以点O为圆心长为半径画圆，交直线于点A，交直线l于点B；④连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C（点A与C不重合）；⑤作直线．则直线即为所求．根据小郭设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明并在括号内填写推理依据．证明：连接．∵，∴，∴（）．∵，∴（），∴，∴．21.如图；在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A．（1）若点A的横坐标为2，求k的值；（2）若关于x的不等式有且只有2个正整数解，直接写出k的取值范围．22.如图，在中，，点是边的中点，连接，分别过点，作，交于点，连接，交于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．23.某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：a．1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5mn根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm．24.如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米．（1）求该抛物线的解析式；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计）25.如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，，于点E，交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．26.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线.（1）当时，求t的值；（2）点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由.27.如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．（1）求证：；（2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”.（1）已知点，.①在点，，中，点是弦的关联点，其中°；②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是；（2）若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值.

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】x≠310.【答案】311.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】①③三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题6分，第27-28题，每题7分）17.解：原式．18.解：，由①得：，解得：，由②得：，解得：，∴不等式组的解集是．19.解：原式，，∵，∴．∴原式．20.(1)解：补全图形如图，即为所求，(2)证明：连接．∵，∴，∴（同圆中，等弧所对的圆周角相等）．∵，∴（等边对等角），∴，∴．故答案为：，同圆中，等弧所对的圆周角相等；等边对等角21.(1)解：当时，，则；把A的坐标代入中，得，即；(2)解：由（1）知，当时，；当时，，即，如下图所示；把点B坐标代入中，得，即；由图知，当时，关于x的不等式有且只有2个正整数解．故k的取值范围为．22.(1)证明∶∵，点D是边的中点，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是矩形；(2)解：如图，过点E作于F，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴．23.解：(1)2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：，故；其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故；故答案为：175、176．(2)根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于，2班的身高分布于，从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，故答案为：1．(3)（厘米）设2班第六位选手的身高为厘米，则，，据此，第六位可选的人员身高为170、183，若为170时，2班的身高数据分布于，若为183时，2班的身高数据分布于，从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，所以第六位选手的身高应该是170厘米，故答案为：170．24.(1)解：根据题意，抛物线经过点，，设抛物线的解析式为，则，解得，∴抛物线的解析式为；(2)解：根据题意，，当时，，∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米，∴通过隧道的车辆的限制高度为米25.(1)证明：如图，连接．，．．，．，，即．是的半径，是的切线．(2)解：设，，，．．为的直径，．，．．，．，是的中位线．．．，．．，解得．．26.(1)解：∵点在抛物线上，∴，∵，∴，解得，由得抛物线的对称轴为直线，∴；(2)解：∵，，∴，则或，∴，∵，∴，∵，，又抛物线的开口向上，∴．27.(1)证明：∵为等边三角形，∴；∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，∴，∴，∴，∴，∴；(2)解：；证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H；∴，，∴；∵，∴，∴，∴，∴；∵M为的中点，∴；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．28.(1)解：①∵点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”，∴反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，∵，，∴，∵，∴，∵，∴点到的距离为，∴点在上，同理经过计算，到的距离为均大于半径，故不符合题意，∴点是弦的关联点，连接，∴，同理可求，，∴，∴，∵，∴，故答案为：，60；②同上作出关于点M的对称圆，连接，∵，，，，同理可求，，，∴同理可求，∴，∴，∴，∴，∴的“关联点”在优弧上（不包括端点），∴若直线上存在的“关联点”，则直线与优弧上（不包括端点）有交点，当直线经过点A时，如图：∴把代入得：，解得：，∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点，当直线与相切时，如图：记切点为H，连接，记直线与轴交于点，当时，，解得：，∴，当，，∴，则，∴，过作轴交直线于点，则，∵由切线得性质得到：∴，∴点，代入，求得：，∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点，综上所述：时，直线上存在的“关联点”，故答案为：；(2)解：∵，∴点C在以O为圆心为半径的圆上，对于弦，我们固定点，调整点A位置即可，同上作出关于点M对称的，∵点C是的“关联点”，