形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D4

函数y=eq\f(27x,239x²+275)的性质及图像画法主要内容：本文主要介绍函数y=eq\f(27x,239x²+275)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。函数的定义域：∵分母239x²+275≥275＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。函数的单调性：可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：y=eq\f(27x,239x²+275)=eq\f(27,239x+eq\f(275,x)),对于分母g(x)=239x+eq\f(275,x)有：(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(239x*eq\f(275,x))=10eq\r(2629)，取等号时x=eq\f(5,239)\r(2629)≈1.07，则函数增区间为(0，1.07)，减区间为[1.07,+∞);(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(239x*eq\f(275,x))=-10eq\r(2629)，取等号时x=-eq\f(5,239)\r(2629)≈-1.07，则函数增区间为(-1.07,0)，减区间为(-∞,-1.07]。或者，用导数知识求解有：y=eq\f(27x,239x²+275),eq\f(dy,dx)=eq\f(27*(239x²+275)-2*239*27x²,(239x²+275)²)=-eq\f(27(239x²-275),(239x²+275)²),令eq\f(dy,dx)=0,则:239x²-275=0,即239x²=275，求出：x=±eq\f(5,239)\r(2629)≈±1.07，函数单调性为：(1)当x∈(-∞，-1.07)∪(1.07，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；(2)当x∈[-1.07，1.07]时，eq\f(dy,dx)>0，此时函数y为增函数。函数的凸凹性：eq\f(dy,dx)=-27eq\f(239x²-275,(239x²+275)²),eq\f(d²y,dx²)=-27*eq\f(2*239x(239x²+275)²-(239x²-275)*4*239x(239x²+275),(239x²+275)⁴)=-27*eq\f(2*239x(239x²+275)-4*239x(239x²-275),(239x²+275)³)=2*239*27*eq\f(x(239x²-3*275),(239x²+275)³).令eq\f(d²y,dx²)=0，则x=0或者239x²-3*275=0，求出:x=±eq\f(5,239)eq\r(7887)≈±1.86，函数y凸凹性为：(1)当x∈[-1.86，0]∪(1.86，+∞)时，eq\f(d²y,dx²)>0，函数y为凹函数；(2)当x∈(-∞,-1.86)∪(0,1.86]时，eq\f(d²y,dx²)≤0，函数y为凸函数。函数的奇偶性：因为:f(x)=eq\f(27x,239x²+275),所以:f(-x)=eq\f(27(-x),239(-x)²+275)=-eq\f(27x,239x²+275)=-f(x).函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。函数的极限：Lim(x→-∞)eq\f(27x,239x²+275)=0，Lim(x→+∞)eq\f(27x,239x²+275)=0，Lim(x→0+)eq\f(27x,239x²+275)=0，Lim(x→0-)eq\f(27x,239x²+275)=0.函数的特征点图表：x-3.44-2.65-1.86-1.0731.071.862.653.4427x-92.88-71.55-50.22-28.898128.8950.2271.5592.88239x²+2753103.231953.381101.84548.632426548.631101.841953.383103.23y-0.03-0.04-0.05-0.0500.050.050.040.03函数的图像示意图：y=eq\f(27x,239x²+275)y(1.07,0.05)(1.86,0.05)(3.44,0.03)