形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D5

函数y=eq\f(183x,323x²+153)的性质及图像画法主要内容：本文主要介绍函数y=eq\f(183x,323x²+153)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。函数的定义域：∵分母323x²+153≥153＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。函数的单调性：可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：y=eq\f(183x,323x²+153)=eq\f(183,323x+eq\f(153,x)),对于分母g(x)=323x+eq\f(153,x)有：(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(323x*eq\f(153,x))=102eq\r(19)，取等号时x=eq\f(3,19)\r(19)≈0.69，则函数增区间为(0，0.69)，减区间为[0.69,+∞);(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(323x*eq\f(153,x))=-102eq\r(19)，取等号时x=-eq\f(3,19)\r(19)≈-0.69，则函数增区间为(-0.69,0)，减区间为(-∞,-0.69]。或者，用导数知识求解有：y=eq\f(183x,323x²+153),eq\f(dy,dx)=eq\f(183*(323x²+153)-2*323*183x²,(323x²+153)²)=-eq\f(183(323x²-153),(323x²+153)²),令eq\f(dy,dx)=0,则:323x²-153=0,即323x²=153，求出：x=±eq\f(3,19)\r(19)≈±0.69，函数单调性为：(1)当x∈(-∞，-0.69)∪(0.69，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；(2)当x∈[-0.69，0.69]时，eq\f(dy,dx)>0，此时函数y为增函数。函数的凸凹性：eq\f(dy,dx)=-183eq\f(323x²-153,(323x²+153)²),eq\f(d²y,dx²)=-183*eq\f(2*323x(323x²+153)²-(323x²-153)*4*323x(323x²+153),(323x²+153)⁴)=-183*eq\f(2*323x(323x²+153)-4*323x(323x²-153),(323x²+153)³)=2*323*183*eq\f(x(323x²-3*153),(323x²+153)³).令eq\f(d²y,dx²)=0，则x=0或者323x²-3*153=0，求出:x=±eq\f(3,19)eq\r(57)≈±1.19，函数y凸凹性为：(1)当x∈[-1.19，0]∪(1.19，+∞)时，eq\f(d²y,dx²)>0，函数y为凹函数；(2)当x∈(-∞,-1.19)∪(0,1.19]时，eq\f(d²y,dx²)≤0，函数y为凸函数。函数的奇偶性：因为:f(x)=eq\f(183x,323x²+153),所以:f(-x)=eq\f(183(-x),323(-x)²+153)=-eq\f(183x,323x²+153)=-f(x).函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。函数的极限：Lim(x→-∞)eq\f(183x,323x²+153)=0，Lim(x→+∞)eq\f(183x,323x²+153)=0，Lim(x→0+)eq\f(183x,323x²+153)=0，Lim(x→0-)eq\f(183x,323x²+153)=0.函数的特征点图表：x-2.19-1.69-1.19-0.6974820.691.191.692.19183x-400.77-309.27-217.77-126.27126.27217.77309.27400.77323x²+1531702.141075.52610.40306.78306.78610.401075.521702.14y-0.24-0.29-0.36-0.4100.410.360.290.24函数的图像示意图：y=eq\f(183x,323x²+153)y(0.69,0.41)(1.19,0.36)(2.19,0.24)