2024人教版八年级数学上册 第十四章《 全等三角形》每课时导学案汇编（含八个导学案）

14.1全等三角形及其性质导学案

一、学习目标

1.理解全等（三角）形的定义及其相关概念。

2.探究并掌握全等三角形的性质；能灵活运用全等三角形的性质解决简单的几何问题。

3.在探究全等三角形相关知识的过程中，培养观察、分析、归纳能力，体会图形变换和数学知识间的内

在联系，增强几何直观和逻辑推理能力。

学习重点：理解全等（三角）形的定义及其相关概念；探究并掌握全等三角形的性质。

学习难点：能灵活运用全等三角形的性质解决简单的几何问题。

二、学习过程

（一）情境引入

问题1对开的大门、邮票、设计的图案中都有形状、大小可同的图形的形象，你能再举出一些类似的

例子吗?

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫作.能够完全重合的

两个三角形叫作.

（二）合作探究

思考在图（1）中，把aABC沿直线8c平移，得到在图⑵中，把△ABC沿直线8c翻折18。°,得

到△OBC.在图（3）中，把△A8C绕点A旋转，得到△4。£各图中的两个三角形全等吗？

A

AD

⑴⑵⑶

一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，没有改变，即平移、翻折、旋转前后

的图形.全等用符号“”表示，读作“”.

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作,重合的边叫作,重合的角叫

作.

追问：你能说出△A8C和△0E/的对应顶点，对应边和对应角吗？

对应顶点:

对应边:

对应角:

注意记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

思考图⑴中，AABCG4DEF,对应边有什么关系?对应角呢?其他两图中的全等三角形呢?

全等三角形的性质:

（三）典例分析

例1如图，点A和点8,点。和点。是对应顶点，ZBAC=65°,N4BO26。，AC,

BD的延长线相交于点E.求/CBD,NAEB的度数.

AB

例2如图，＞ABg/\BDE,NA和/NC和/E是对应角.说出这两个三角形的对应边和另一组

对应角.

例3如图，△OCAgZXOBD,点。和点B,点A和点。是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.

（四）巩固练习

1.巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第、创造了参加境外奥运会

的最佳战绩.下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（）

3.如图，已知△ABCwaEBD,若A8=5,BD=8,则CE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

A.120°B.135°C.150°D.180°

5.如图，己知长方形A8co的边长A5=16cm,5c=12cm,点笈在边AB上，AE=6cm.如果点P从点

8出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点。向点C运动，那么当aBPE

与ZiCQP全等时，运动时间，的值为.

（五）归纳总结

全等三角形及其性质

的两个图形叫作全等好.能够完全更合的两个

全等（三角）形

三角彩叫作___________.

全等三角形的把两个全等的三角舫重合到一起，重合的顶点叫作，

相关概念重合的边叫作—，重合的角叫作___

全等三角膨的全等三角彩的，

性质全等三角形的一.

3.在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表

达的能力：在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。

学习重点：掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

学习难点：能熟练应用SAS证明两个三角形全等。

二、学习过程

（一）复习引入

1.同学们，上节课我们学习了全等三角形和全等三角形的性质，请你说说什么是全等三角形？全等三角

形具备什么性质呢？

2.反过来，具备什么条件的两个三角形全等？

根据全等三角形的定义，如果aABC与AAbC满足三条边分别相等，三个角分别相等，就能判定

AB=A'B',BC=B'U,C4=CN',

ZB=ZB\ZOZC.

问题1上述六个条件中，有些条件是相关的.能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三

角形全等呢？

（二）合作探究

探究1先任意画出一个△A8C.再画一个△AEC',使△ABC与△/VBC'满足上述六个条件中的一个

（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画出的△A7TC'与△A8C一定全等吗？

问题2满足上述六个条件中的一个或两个,△ABC与△ABC不一定全等.满足上述六个条件中的三个,

能保证△ABC与AA5C全等吗？

探究2如图，直观上，如果/A,AB,AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说,

在ZiAbC与△ABC中，如果NA，=NA,A'B'=AB,HC=AC,那么△这个判断正确吗？

判定两个三角形全等的基本事实:

（简写成)

符号语言:

（三）典例分析

例1如图，AC=AD,A5平分NC4。，求证NOND

思考我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等.如果两个三角

形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？

这说明：.

（四）巩固练习

1.如图，有一池塘，要测池塘两端A,3的距离，可先在立地上取一个点C,从点。不经过池塘可以

直接到达点A和点8.连接AC并延长到点。，使CO=C4.连接8c并延长到点E,使CE=CR连接。£,那么

量出DE的长就是A,B的距离.为什么?

2.如图，点、E,尸在BC上，BE=CF,AB=DC,NB=NC求证：ZA=ZD.

3.如图，已知48=4C,请再添加一个条件,使口力8瓦［24CO（无需添加任何辅助线或点）.

4.同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用.如图，A、B两点分别位

于一个池塘的两端,小明想用绳子测量4、B间的距离，如图所示的这种方法,只需测量（）就可得到

A、B间的距离.

A.ACB.BCC.BDD.CD

B

第3题图

5.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则/I与/2的和为（)

A.100°B.90°C.60°D.45°

6.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）.在图中，要测量工件

内槽宽人丛只需要测量哪些量?为什么？

A

7.如图，点C是线段A8的中点，AD=BE,NA=/8.求证：ZD=ZE.

8.如图，在△ABC和△4EO中，AB=AE,NBAE=NCAD,AC=AD.求证：△ABCgZXAKO.

(七)归纳总结

全等三角形的判定(SAS)

边角边

和分别相等的两个三角形全等.

(SAS)

图示

边边角

(SSA)两边和分别相等的两个三角形1

(八)感受中考

1.如图，AC,8。相交于点0,0B=0D,要使△AOBg/XC。。，添加一个条件是

2.如图，C4=C。，ZACD=ZBCE,请添加一个条件,使△

D

第1题图第2题图

3.（2025•新疆）如图，AD=BCiUDAB=UCBA,求证：AC=BD.

4.（2025•陕西）如图，点。是口力8。的边延长线上一点，BD=AB,DELAB,DE=BC.求证：BE=AC.

5.如图，/3是4。的中点，BC//DE,BC=DE.求证：ZC=ZE.

（七）小结梳理

全等三角形

定义性质判定

对应边相等）两边一夬角（SAS）

一J

对应角相等）

（八）布置作业

1.必做题：习题14.2第1,2,14题.

2.探究性作业：请同学们用长度合适的木棒制作能体现SSA不能证明三角形全等的模型，下节课分享

制作思路与结论.

14.2三角形全等的判定（第2课时ASA和AAS）导学案

一、学习目标

1.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。证明定理：两角分别相等且其中一组等角

的对边相等的两个三角形全等。

2.经历ASA和AAS的探究过程，体会分类讨论思想；应用ASA和AAS判定三角形全等，体会转化思

想，提高有条理地思考和表达的能力。

3.在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力。在解决实际问题的过程

中，增强数学建模意识和应用意识。

学习重点：掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。证明定理：两角分别相等且其

中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

学习难点：能熟练应用ASA和AAS判定三角形全等。

二、学习过程

（一）复习引入

1.同学们，上节课我们学习了全等三角形的判定方法，你能说说具体内容吗？

2.本节课我们将从两角一边的角度继续探索全等三角形的判定方法.

（二）合作探究

探究3如图，直观上，AB,NA,的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了:也就是说，在

△4EC与△ABC中，如果NB'=NB,那么△这个判断正魂吗？

CC，

ABA1Bf

判定两个三角形全等的基本事实♦•・

（简写成）

CC'符号语言：

k

f

ABAB「

思考如果两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，那么这两个三角形全等吗?

已知：在^ABC和4Ab。中,

求证：

证明：

判定两个三角形全等的方法3：

（简写成.)

符号语言:

（三）典例分析

例2如图，点。在上，点E在AC上,4B=AC,/B=NC.求证AD=AE.

（四）巩固练习

1.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,

那么最省事的办法是带（）去玻璃店.

A.①B.②D.①和②

2.如图，已知口48。，则甲、乙、丙三个三角形中与口/BC全等的是（）

A.甲和乙

3.如图,AB1BC,ADJ,DC,垂足分别为B,D,且N1=N2.求证：AB=AD.

4.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,8的距离，可以在池塘外取A8的垂线8b上的两点C,D,使

BC=CD,再画出8尸的垂线。E,使点E与点A,C在一条直线.匕这时测得QE的长就是A8的长，为什

么？

5.如图，点8,尸，C,E在一条直线上，FB=CE,AB//DE,AC//DF.求证：AB=DE,AC=DF.

（九）归纳总结

全等三角形的判定（ASA/AAS）

（十）感受中考

1.（2024•牡丹江）如图，△ABC中，。是AB上一点，C尸〃A8,D、E、尸三点共线，请添加一个条件,

使得4E=CE.（只添一种情况即可）.

2.（2022・湖北）如图，已知八8〃。石，AB=DEf请你添加一个条件,使△

3.（2023・凉山州）如图，点七、点?在8。上,8石=。/,//3=/。,添加一个条件，不能证明4八/犷0/\。。£：

的是（）

A.ZA=ZDB.ZAFB=ZDECC.AB=DCD.AF=DE

D

5.（2023•吉林）如图，点C在线段3。上，AABC和△QEC中，NA=NQ,AB=DE,NB=NE.求

证：AC=DC.

6.（2022•益阳）如图，在阳△ABC中，ZB=90°,CD//AB,DE上AC于点、E,KCE=AB.求证:

△CED^/^ABC./\P

7.（2024•南充）如图，在△45C中，点。为8c边的中点，过点8作交A。的延长线于点E.求

（七）小结梳理

对应边相等,两边一昊角（SAS）

对应角相等）两角一夹边（ASA）,

两角一对边（AAS）

（八）布置作业

1.必做题：习题14.2第4,5,6题.

2.探究性作业：习题14.2第16题.

变式①4Q,ANT分别是△A8C,△A5C的对应边上的中线.

变式②AO,分别是AABC,△AbC的对应边上的高线.

14.2三角形全等的判定（第3课时SSS）导学案

一、学习目标

1.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。能熟练运用该方法判定两个三角形是否全等。能用

尺规作图：已知三边作三角形。

2.经历SSS的探究过程，体会分类讨论思想；应用SSS判定三角形全等，体会转化思想，提高有条理

地思考和表达的能力。

3.在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力。在解决实际问题的过程

中，增强数学建模意识和应用意识。

学习重点：掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全笔。

学习难点：能熟练应用SSS判定三角形全等。

二、学习过程

（一）复习引入

1.同学们，我们已经学习了全等三角形的哪些判定方法？你能说说具体内容吗？

2.本节课我们将从三边的角度继续探索全等三角形的判定方法.

（二）合作探究

探究4如图，直观上,AB,BC,C4的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'8'C

与AABC中，如果B'C=BC,CA'=CA,那么△A'B'C丝△ABC.这个判断正确吗？

C

ABB'

判定两个三角形全等的基本事实:

（简写成.)

符号语言:

C

利用这个基本事实，可以说明三角形具有性

上述分析过程也告诉我们：已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作•个三角形.

问题如图，已知三条线段“，b,C（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC,使其三边

分别为b,

作图区域:

b

下面我们将从“三角”的角度继续探索全等三角形的判定方法.

思考三角分别相等的两个三角形全等吗？

这说明,

（三）典例分析

例3在如图所示的三角形钢架中，AB=AC,4。是连接点4与8c中点。的支架，求证

BDC

（四）巩固练习

1.图是手工艺人制作的风筝，他根据48=4。，BC=CD,利用两个三角形全等不用度量就可以知道

匚44OC,他判定两个三角形全等的依据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

2.如图，AB=AC,8ZACZ）,则可推出（）

A.BCDB.UABDQ[JACDC.CACDCUBCDC）.^ACEJCBDE

寸4

JB

第1题图第2题图

3.如图，AC=BD,8040.求证：ZABC=ZBAD.

DLJC

泠

L

A

4.工人师傅常用角尺平分一个任意角.如图，在NA08的边OA,OB.上分别取0M=0N,移动角尺,

使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合.过角尺顶点C的射线0C便是NA08的平分线，为什么?

（十一）归纳总结

全等三角形的判定（SSS）

（十二）感受中考

1.如图，。是A4的中点，且CQ=8E,请添加一个条件,使得

第I题图第2题图

2.如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板

提供相关数据，为了方便表述，招该三角形记为△A8C,提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符

合要求的是（）

A.A8,BC,CAB.AB,BC,ZB

C.AB,AC,ZBD./A,NB,BC

3.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF.

(I)求证：/XABCg/XOE/；

(2)若NA=55°,ZE=45°,求/尸的度数.

4.如图，已知A8=C。，点£尸在线段8。上，且A/=CE.

请从①BF=DE；②NBAF=NDCE；®AF=CF中.选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABFg4

CDE.你添加的条件是：_____________________________（只滇写一个序号）.

添加条件后，请证明AE〃CT.

（七）小结梳理

对应边相等两边一夹角（SAS）,

对应角相等两角一失边（ASA））

两角一对边（A.AS）

一J

三边（SSS）J

（八）布置作业

1.必做题：习题14.2第7,8,13题.

2.探究性作业：请你利用身边的工具（三角尺、量角器、直尺、圆规等），制作一个30。的角.

14.2三角形全等的判定（第4课时尺规作图）

导学案

一、学习目标

1.能用尺规作图：作一个角等于已知角；过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角

及其夹边作三角形。

2.经历尺规作图的过程，体会转化思想（平行线一等角）和类比思想（已知两边及其夹角、两角及其夹

边作三角形）。

3.在作图过程中培养逻管推理能力，逐步建立几何直观和空间观念.在解决综合作图问题时，培养数学

建模意识和应用意识。

学习重点：能用尺规作图：作一个角等于己知角。

学习难点：能用基本尺规作图解决综合作图问题。

二、学习过程

（一）复习引入

1.同学们，我们学习了全等三角形的哪些判定方法？

2.利用三角形全等的判定方法，可以帮助我们解决一些尺规作图问题.

（二）合作探究

思考线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们己经学习了作一条线段等于

已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？

探究作一个角NA，Ob等于已知角/A08.

作图区域:

追问为什么NAOE=NAOB?

是一种基本尺规作图.

（三）典例分析

例4如图，己知直线AB及直线48外一点C利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD.

作图区域：

c・

4

例5如图，己知线段a,方和Na,求作△ABC,使AB=a,AC=b,N4=Na.

作图区域:

（四）巩固练习

1.如图，△ABC中，AB>AC,NCA。为的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误

的是（）

A.ZDAE=ZBB.ZEAC=ZCC.AE//BCD.ZDAE=ZEAC

2.如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC的顶点A,并且与边8c平行.

3.如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于Na,Zp,这两角的夹边等于线

段a

作图区域:

（十三）归纳总结

基本尺规作图：作一个角等于已知角

（1）以点。为同心，任意长为半径作范，分别交05于点C,D\

必.,1（2）作一条射线。为'，以—为圆心，―为半径作弦，交于点。：

'（3）以一为圆心，—为半径作弧，与上一步作的弧相交于点ZT;

（十四）感受中考

1.如图是“作一个角使其等于“。4”的尺规作图方法.该述方法通过判定匚C0。'□匚C。。得到

□/。力'=□408,其中判定口。‘。力’：!二C。。的依据是（

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的时边相等的两个三角形全等

2.如图，已知△A8C,AOAB,NC=45。.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P,使NPBC=45。.（保

留作图痕迹.不写作法）

作图区域:

（七）小结梳理

尺规作图

基本尺规作图综合尺规作图

作一条线段等于已知线均

过直线外一点作这条直域的千行%

作一个角等于已知角）-已知两边及其夫角作三的学

已知两角及其夫边作三角e

（八）布置作业

1.必做题:习题14.2第9,10题.

2.探究性作业：查阅资料，了解尺规作图的起源、发展及作用.

推荐书籍或网站：①《几何原本》.②百度百科、数学科普网站.

14.2三角形全等的判定（第5课时HL）导学案

一、学习目标

1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。能运用HL判定两个直角三用形全等。

2.经历HL的探究过程，体会从一般到特殊的研究方法；应用HL判定直角三角形全等，体会转化思想，

提高有条理地思考和表达的能力。

3.在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力。在解决实际问题的过程

中，增强数学建模意识和应用意识。

学习重点：探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。

学习难点：能熟练应用HL判定直角三角形全等。

二、学习过程

（一）复习引入

同学们，我们已经学习了全等三角形的哪些判定方法？你能说说具体内容吗？

问题SAS、ASA、AAS、SSS适用于任意三角形全等的判定.直角三角形作为一种特殊的三角形，“直

角”这个特征会不会给它带来独特的全等判定方法呢？

r

两边一夹角（SAS）/A

两角一失边（ASA）/

dA:，--:

两角一对边（AAS）/d:-------------J

三边（SSS）,2

----------------‘亡

追问如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形全等吗？

（二）合作探究

探究5如图，在aABC和△ABC中，ZC=ZC=90°,A'B'=AB,B'C=8C.这两个三角形全等吗?

A4’

—-^C

追问点A与点人是否重合？

判定直角三角形全等的方法：_________________________________________•

（简写成_______________________）

符号语言：

AA

1

（三）典例分析

例6如图，ACJ-BC,BDLAD,垂足分别为C,D,人C=AD.求证BC=AD.

AB

（四）巩固练习

1.如图，力。为口48。的高，E为AC上一大，BE交AD于点F,且有8户XC,FD=CD,要证明口4QC□匚BDF

需要的判定方法是（）

A.HLB.SSSC.AASD.ASA

2.用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知匚力08的两边上分别取点M,N,使。W=QV,再过点

M画04的垂线，过点N画08的垂线，两垂线交于点尸，那么射线0P就是匚408的平分线.小明发现说明此画

法的合理性时需要证明［与匚PON全等，其依据是（）

3.下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（）

①两个锐角对应相等②两条直角边对应相等③斜边和一直角边对应相等

④一锐角和斜边对应相等⑤一锐角和一宜角边对应相等

A.5B.4C.3D.2

4.在Rt匚48c中，□4=90。，点。在上，DE匚BC于点E,RDE=DA,连接。8.若□C=20。，则匚。3E的

度数为.

5.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达。，

E两地，且D4_LA8,EBLAB,D,£到路段A8的距离相等吗?为什么？

6.如图，AB=CD,AEA.I3C,DFA.BC,垂足分别为E,F,求证：AE=DF.

AB

（十五）归纳总结

（十六）感受中考

1.（2025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条4G8。的中点连在一起，记中点为。即

AO=CO,BO=DO.测得C,。两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上a8两点之间

的距离.图中口4。9与口。0。全等的依据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

2.如图所示，点。在一块直角三角板ABC上（其中NABC=30°）,OMLAB于点M,ON_LAC于点

N,若OM=ON,则度.

3.如图，点。，E分别在AB,AC上，NADC=NAEB=90°,BE,CO相交于点O,OB=OC.

求证：Z1=Z2.

小虎同学的证明过程如卜.：

证明：ZADC=ZAEB=W,

・・・NQO8+/B=NEOC+NC=90°.

•:/DOB=/EOC,

••.N8=NC.……第一步

又。4=04,OB=OC,

•••△480gZ\AC0.……第二步

AZ1=Z2.……第三步

（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误;

（2）请写出正确的证明过程.

（七）小结梳理

对应边相等两边一夹角（SAS）

对应角相等两角一央边（ASA）适用于任

两角一对一（AAS））意三角附

三边（SSS））

斜边直角边（HL）,饕梵

------------〜第二曲形

（A）布置作业

1.必做题：习题14.2第11,12题.

2.探究性作业：习题14.2第18题.

14.3角的平分线（第1课时）导学案

一、学习目标

1.会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题。

2.经历“操作一猜想一验证一证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，体

会转化思想。

3.在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表

达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意以。

学习重点；能用尺规作图；作一个角的平分线；掌握角平分线的性质定理。

学习难点：能熟练运用角平分线的性质定理解决问题0

二、学习过程

（一）情境引入

问题1在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？

问题2如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗?

（二）合作探究

探究1如图，OC是NA03的平分线，P是0C上的任意一点，M,N分别是04,03上的点，我们研

究PM与PN的关系.

追问在图中，当OM与0N满足什么关系时，PM=PN?

探究1反过来，如图，若M,N分别是NAOB的边。4,OB上的点，0M=0M点P在NA08的内部,

则点P的位置有什么特点？

思考由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗?

追问如何作出OM=ON!如何作出PM二PN?

作法如图，已知NAO5.

⑴

⑵

⑶

作图区域:

追问在（2）中，为什么半径要大于;MN的长？

基本尺规作图.

探究2如图，0C是NAOB的平分线.点P，B，凸，…在。C上，过

点、Pi，Pi，鼻，…分别画。4与。月的垂线，垂足分别为小与自、》与

员、。3与七3……分别比较P1D1与PlEl、P2D2与P2E2、P03与尸3后……，

你有什么发现？

发现.

猜想角的平分线有以下性质：.

追问如何证明猜想呢？

已知：.

求证：.

证明：

角的平分线的性质：.

归纳

一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即

1.明确命题中的和;

2.根据题意，画出______,并用数学_________表示已知和求证；

3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出.

（三）典例分析

例1如图，在直线MN上求作一点P,使点。在NA08的内部,且点P到射线0A和0B的距离相等.

例2如图，0C是NAOB的平分线，点尸在。C上，PD10A,PEA.OB,垂足分别为E点F,G

分别在08上，DF=EG,连接尸尸，PG.求证PF=PG.

（四）巩固练习

1.如图，0P是匚M0N的平分线，已知尸C10.”于点C,且尸C=2,则点尸到ON的距离是（）

A.1B.2C.3D.4

2.三条公路将A8、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场,

要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

A.三条高线的交点B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点

第2题图

3.如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点尸〃〃-1,2〃），则〃与〃的数量

关系是.

（十七）归纳总结

（十八）感受中考

1.（2025•内蒙古）如图，直线力AHCO,点£厂分别在直线C。上，连接ER以点E为圆心，适当

长为半径画弧.交射线£4f•点交七〃于点M再分别以点N为圆心，大广；”N的长为半径画弧（两弧

半径相等），两弧在口4E/的内部相交于点H,画射线于点G,若匚/E尸=80。，则［EG尸的度数为（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

2.（2024♦天津）如图，Rt"5C中，匚C=90。,匚5=40。，以点4为圆心，适当长为半径画弧，交AB千点、E,

交幺C于点F：再分别以点£尸为圆心，大于;以•的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在匚"C的内部

相交于点P;画射线力尸，与8。相交于点。，则的大小为（）

A.600B.65°C.70口D.751

3.（2024•绵阳）如图，在△ABC中，人8=5,八。平分NH4C交8c于点。，Q£_LAC,垂足为七，△ABD

的面积为5,则。£的长为（）

A.1B.2C.3D.5

A

p

第1题图第2题图第3题图

4.（2025•陕西）如图，已知UZO8=50。，点C在边。4上.请用尺规作图法，在匚408的内部求作一点P,

使得AOP=25U,且CPU。8.（保留作图痕迹，不写作法）

5.（2023•河南）如图，EU8C中，点。在边/C上，且4Z>/18.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出匚力的平分线（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）若（1）中所作的角平分线与边8c交于点E,连接OE.求证：DE=BE.

（七）小结梳理

相等的角）依据:SSS/相等的能物

（八）布置作业

1.必做题：习题14.3第1,4,5题.

2.探究性作业：习题14.3第6,7题.

14.3角的平分线（第2课时）导学案

一、学习目标

1.探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。

2.经历角平分线性质定理的逆定理的探究过程，培养逻辑推理能力，体会逆向思维；在应用逆定理解决

问题的过程中，体会转化思想。

3.在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实

际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。

学习重点：探索并证明角平分线性质定理的逆定理。

学习难点：能熟练运用角平分线性质定理的逆定理解决问题。

二、学习过程

（一）复习引入

1.上节课我们学习了基本尺规作图：作一个角的平分线.你能说说作图的步骤吗？

2.角的平分线具有什么性质呢？

3.反过