专题 01 相交线与平行线全章高频考点专练（5个概念2个判定2个性质2种方法2种思想专练）解析版

专题01相交线与平行线全章高频考点专练（5个概念2个判定2个性质2种方法2种思想专练）5个概念【考点题型一】相交线【例1】（2023•兴庆区校级开学）如图，从点到点有3条路，其中走最近，其数学依据是A．经过两点有且只有一条直线 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线比曲线短【分析】根据两点之间线段最短的性质解答．【解答】解：从点到点有3条路，其中走最近，其数学依据是两点之间的所有连线中，线段最短．故选：．【点评】本题考查了两点之间线段最短的应用，正确应用线段的性质是解题关键．【变式1-1】（2023秋•路北区期末）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是A． B． C． D．【分析】根据直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点进行判断，即可得出结论．【解答】解：．直线不经过点，故本选项不合题意；．点在直线上，故本选项不合题意；．点在直线上，故本选项不合题意；．直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点，故本选项符合题意；故选：．【点评】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．【变式1-2】．（2023春•萧县校级月考）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是个．A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个【分析】直线的位置关系不明确，应分情况讨论．【解答】解：当三条直线平行时，交点个数为0；当三条直线相交于1点时，交点个数为1；当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；当三条直线互相不平行时，交点个数为3；所以，它们的交点个数有4种情形．故选：．【点评】本题考查相交线问题，涉及直线相交的相关知识，难度中等．【变式1-3】．（2023春•金乡县月考）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；条直线两两相交，最多有个交点．【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．【解答】解：三条直线两两相交，最多有3个交点，即；4条直线两两相交，最多有6个交点，即；5条直线两两相交，最多有10个交点，即，条直线两两相交，则最多有个交点，故答案为：．【点评】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．【变式1-4】．（2023春•萨尔图区校级月考）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有个交点．【分析】由所给条件可得条直线相交最多有个交点，令即可求解．【解答】解：2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有190个交点．故答案为190．【点评】本题考查相交线交点个数问题，直线两两相交时去掉重复交点是解题的关键．【考点题型二】“三线八角”【例2】．（2023春•黄石港区期末）如图，图中与是同位角的是A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）【分析】根据同位角的定义作答．【解答】解：（1）（2）（4）中，与是同位角；图（3）中，与不是同位角，因为这两个角的边所在的直线没有一条公共边．故选：．【点评】两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在两条被截直线的同旁的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上．【变式2-1】．（2023秋•同安区期末）如图，和的位置关系是A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．【解答】解：和的位置关系是同位角．故选：．【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．【变式2-2】．（2023春•浦城县期中）如图所示，与是一对A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角【分析】根据“同位角、内错角、同旁内角”的意义进行判断即可．【解答】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角，故选：．【点评】本题考查“同位角、内错角、同旁内角”的意义，理解和掌握“同位角、内错角、同旁内角”的特征是正确判断的前提．【变式2-3】．（2023春•石家庄期中）如图，直线、被直线所截，与是A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可得到答案．【解答】解：线、被直线所截，与是同位角．故选：．【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．【变式2-4】．（2023春•礼泉县期中）如图，直线，被直线所截，下列各组角属于同旁内角的是A．与 B．与 C．与 D．与【分析】根据对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：、与属于邻补角，故不符合题意；、与属于同旁内角，故符合题意；、与属于对顶角，故不符合题意；、与属于内错角，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．【变式2-5】．（2023春•海淀区校级期末）如图，图中与是同位角的序号是A．②③ B．②③④ C．①②④ D．③④【分析】根据同位角的定义逐个判断即可．【解答】解：图①中和是同位角，图②中和是同位角，图③中和不是同位角，图④中和是同位角，故选：．【点评】本题考查了同位角的定义，能够理解同位角的定义是解此题的关键，数形结合思想的运用．【变式2-6】．（2023春•贵州期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．（1）请指出与是同旁内角的有哪些角？请指出与是内错角的有哪些角？（2）若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．【分析】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．（2）根据平行线的性质解答即可．【解答】解：（1）与是同旁内角的有，，；与是内错角的有，；（2），，，，往上弯了．【点评】本题考查了对同旁内角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．【变式2-7】．（2023春•蒲城县期中）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，．（1）求的度数；（2）写出一个与互为同位角的角；（3）求的度数．【分析】（1）根据对顶角相等可得的度数，再根据角平分线的定义可求的度数；（2）根据同位角的定义可求与互为同位角的角；（3）根据邻补角的性质可求，再根据已知条件和对顶角相等可求的度数．【解答】解：（1），，平分，；（2）与互为同位角的角是；（3），，，，．【点评】本题考查了同位角的定义，角平分线定义，对顶角、邻补角定义的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．【考点题型三】平行线【例3】．（2023春•东昌府区校级月考）下列语句正确的有个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线，外一点，画直线，使，且④若直线，，则．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线，外一点，画直线，使，且，只有时才能画出，故说法错误；④若直线，，则，说法正确；故选：．【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式3-1】．（2023春•敦化市期末）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和两种位置关系．【分析】根据两直线的位置关系解答即可．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行．【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．【变式3-2】．（2023春•双牌县期末）下列说法正确的有（填序号）．①同位角相等；②一条直线有无数条平行线；③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；④在同一平面内，如果，，则；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．【分析】根据平行线的性质，平行公理以及平行线与线段的区别对各小题分析判断后利用排除法求解．【解答】解：①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误；②一条直线有无数条平行线，正确；③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故本小题错误；④在同一平面内，如果，，则，符合平行公理，正确；⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误，故答案为：②④．【点评】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，都是基础知识，需要熟练记忆．【变式3-3】．（2023春•青龙县期中）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种，．【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交．【解答】解：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交，平行．故答案为：平行，相交【点评】本题考查了在同一平面内两条直线的位置关系．【考点题型四】平移【例4】．（2023春•南山区期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根据平移的性质得到，，结合图形计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知，，，则，即，，，故选：．【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【变式4-1】．（2023春•鼎城区期末）如图，在三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是A．15 B．18 C．21 D．不确定【分析】根据平移的性质得出，再根据进行计算即可．【解答】解：如图，连接，由平移的性质可知，，，故选：．【点评】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等是正确解答的前提．【变式4-2】．（2022秋•临淄区期末）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为．【分析】根据平移的性质得到，，根据周长公式计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知：，，，阴影部分的周长，故答案为：11．【点评】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．【变式4-3】．（2023秋•莱芜区期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为．【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为，宽为，阴影部分的面积，故答案为：18．【点评】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式4-4】．（2023春•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，，经平移后对应点为，，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）①画出三角形；②写出三角形的面积；（3）过点作轴，交于点，则点的坐标为．【分析】（1）由点的对应点坐标知，需将三角形向左平移6个单位、向上平移2个单位，据此可得；（2）①根据平移规律求出点的坐标，根据，，点的坐标即可画出三角形；②利用割补法求解可得答案；（3）设，利用面积法求解．【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，即，；故答案为：，；（2）①如图，△即为所求；②△的面积；（3）设，则有，解得，，故答案为：．【点评】此题主要考查了平移作图，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．【变式4-5】．（2023春•鸡西期末）按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上．（1）点的坐标为．（2）将先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△，画出△．（3）计算△的面积．【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可．（2）根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．（3）利用分割法求面积即可．【解答】解：（1）如图，．故答案为：．（2）如图，△即为所求作．（3）．【点评】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，正确作出图形是解题的关键．【变式4-6】．（2023秋•黄石月考）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题：（1）画出△；（2）画出的高；（3）求的面积为；（4）在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有个．【分析】（1）根据题意分别作出，，的对应点，，即可；（2）根据格点垂直画法画出高即可；（3）利用分割法求解即可；（4）找出关于对称的对应点，利用等高模型解决问题即可．【解答】解：（1）如图1，根据题意，向下平移一格，再向左平移6格；（2）如图2，线段即为所求；（3）如图3，，，，；故答案为：7.5．（4）如图4，找出关于对称的对应点，过作平行线，与格点的交点即为所求；故答案为：8．【点评】此题考查了作图平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．【考点题型五】命题【例5】．（2023春•民权县月考）下列命题中真命题是A．两个锐角之和为钝角 B．两个锐角之和为锐角 C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角【分析】根据补角、余角的定义结合反例即可作出判断．【解答】解：、两个角的和是，是锐角，不正确；、两个的角之和是，是钝角，不正确；、钝角大于，它的补角小于，正确；、锐角的余角是，不正确．故选：．【点评】可以举具体角的度数来证明．【变式5-1】（2023春•大竹县校级期末）下列说法正确的是A．同位角相等 B．对顶角相等 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等【分析】根据平行线的性质对、、进行判断；根据对顶角的性质对进行判断．【解答】解：、两直线平行，同位角相等，所以选项错误；、对顶角相等，所以选项正确；、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以选项错误；、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以选项错误．故选：．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．【变式5-2】．（2023春•双辽市期中）（1）如图，，，，试说明；（2）若把（1）中的题设中的“”与结论“”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．【分析】（1）由平行线的性质和判定及等量代换可说明（2）用平行线性质与判定定理，结合等量代换可得答案．【解答】解：（1），，，，，，；（2）把题设中的“”与结论“”对调，所得命题为真命题，理由如下：，，，，，，．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质与判定定理，并能熟练应用．【变式5-3】．（2023春•汝南县期末）发现：如图，内有一点：过点画交于点，画交于点；根据所画图形试说明：与的数量关系；验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断此时与的数量关系，并说明理由．归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角．【分析】验证：利用平行线的性质和等量代换进行填空即可；探究：结合图1和图2，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：验证：如图，，（两直线平行，同位角相等），，（两直线平行，内错角相等），．故答案为：；两直线平行，同位角相等；；探究：两边分别平行的两个角相等或互补，理由：如图1，，．，，．两边分别平行的两个角相等；如图2，，．，，．两边分别平行的两个角互补，综上，两边分别平行的两个角相等或互补．故答案为：相等或互补．【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，分类讨论是思想方法，等量代换，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式5-4】．（2023春•盐山县期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．（1）如图，，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得，并给出证明过程．小丽添加的条件：．请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．证明：（已知）（已知）（等量代换）（2）拓展：如图，请你从三个选项①，②平分，③中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．①条件：，结论：（填序号）．②证明：．【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．【解答】（1）证明：（已知），（两直线平行，同位角相等），（已知），（同旁内角互补，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），（等量代换）；（2）①条件：，（答案不唯一），结论：平分，②证明：，，，，，即平分．故答案为：（1）；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；（2）①、①③；②，，，，，，即平分．【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式5-6】．（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中与数量关系为；图2中与数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．（2）设两个角分别为和，由题意或，解方程即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，．如图2中，，故答案为：，．理由：如图1中，，，，，．如图2中，，，，，．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）设两个角分别为和，由题意或，解得或，这两个角的度数为，或和．【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式5-7】．（2023春•广陵区月考）如图，已知直线，给出下列信息：①；②平分；③．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是，结论是（只要填写序号），并说明理由；（2）在（1）的条件下，若比的2倍少3度，求的度数．【分析】（1）选择的条件是②③，结论是①，由，得，从而，又平分，得，即可得，故；（2）设，可得，即可解得，故．【解答】解：（1）选择的条件是②③，结论是①，理由如下：，，，，平分，，，即，；（2）设，则，，，解得，，．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线性质，角平分线的概念等知识．【变式5-8】．（2023春•张湾区期中）如图，直线，被直线所截，直线，被所截．请你从以下三个条件：①；②；③中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．（1）请按照：“∵____，____，∴____”的形式，写出所有正确的命题；（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．【分析】（1）以三个条件的任意2个为题设，另外一个为结论组成命题即可；（2）根据平行线的性质进行证明．【解答】解：（1）命题，；；命题，；；命题，；；（2）证明命题，，，，，即．【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2个判定【考查题型六】垂线【例6】．（2023春•澄迈县期末）过点向边作垂线段，下列画法中正确的是A． B． C． D．【分析】根据垂线段的定义及题意逐个图进行判断即可得出正确结论．【解答】解：．此选项是过点作边的垂线段，故错误；．此选项是过点作边的垂线段，故错误；．此选项是过点作边的垂线段，故此项正确；．此选项是过点作边的垂线段，故错误．故选：．【点评】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键．【变式6-1】．（2023春•孟村县期末）已知，如图所示，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角【分析】根据图形可看出，的对顶角与互余，那么与就互余．【解答】解：图中，（对顶角相等），又，，，两角互余．故选：．【点评】本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．【变式6-2】．（2022秋•太仓市期末）如图，直线与相交于点，，．（1）如图中与互补的角是；（把符合条件的角都写出来）（2）若，求的度数．【分析】（1）根据互补的两个角的和等于，结合图形找出与的和等于的角即可；（2）设，可以得到，然后列式求解即可．【解答】解：（1），与互补；，，，，，与互补；综上：和与互补．故答案为：，．（2）设，则，，（对顶角相等），，即，解得：．．【点评】本题考查了补角的和等于的性质，以及对顶角相等，周角等于的性质，结合图形找出各角的关系是解题的关键．【变式6-3】．（2023春•红山区期末）如图，直线与相交于点，于点，平分，且，求的度数．【分析】依据垂线以及邻补角，即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数，进而得出的度数．【解答】解：，，．，．又平分，．．【点评】本题考查角平分线的定义、角的和差关系的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【考查题型七】平行线【例7】．（2023春•西乡塘区期末）如图，下列条件中，能判断的是A． B． C． D．【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．【解答】解：，，故①选项符合题意；，，故②选项不符合题意；，，故③选项不符合题意；，不能判定，故④选项不符合题意；故选：．【点评】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．【变式7-1】．（2023春•长葛市期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是A． B． C． D．【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断．【解答】解：当时，；当时，；当时，．故选：．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【变式7-2】．（2022秋•市中区校级期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，下列不能判定的条件是A． B． C． D．【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案．【解答】解：、当时，，故不符合题意；、当时，，故不符合题意；、当时，，故不符合题意；、当时，，不能判定，故符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．【变式7-3】．（2022秋•耒阳市期末）如图，下列条件中：①；②；③；④；则一定能判定的条件有（填写所有正确的序号）．【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定；根据内错角相等，两直线平行可得③能判定；根据同位角相等，两直线平行可得④能判定．【解答】解：①，；②，；③，；④，，故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理．【变式7-4】．（2023春•潼关县期末）如图，与相交于点，，且平分．试说明：．【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到，则可证明，根据平行线的判定即可证明．【解答】证明：因为平分，所以（角平分线的定义）．因为（对顶角相等），所以（等量代换）．因为，所以（等量代换）．所以（同位角相等，两直线平行）．【点评】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．【变式7-5】．（2023春•高新区校级期末）如图，，，分别是，的角平分线，，求证：．【分析】先利用角平分线定义得到，，而，则，加上，则，于是可根据平行线的判定得到．【解答】证明：，分别是，的角平分线，，，，，，，．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【变式7-6】．（2023春•重庆期中）如图，点，分别在，上，，垂足为点，，．求证：．【分析】先证得，由得，利用平角定义得出，结合可以得出，从而得证．【解答】证明：（已知），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（已知），（垂直的定义），（等量代换），（平角的定义），（等式性质），（已知），（同角或等角的余角相等），（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．【变式7-7】．（2023春•潮南区期末）如图，，，是的角平分线．求证：．【分析】求出，推出，得出，推出，根据平行线的判定推出即可．【解答】证明：是的角平分线，，，，，，，，．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．【变式7-8】．（2023春•吉安县期中）如图，已知，，求证：．【分析】由条件可先证明，再利用平行线的性质可得到，可证明．【解答】证明：（已知）（对顶角相等）（等量代换）（同旁内角互补，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）又（已知）（等量代换）（同位角相等，两直线平行）【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等两直线平行，②内错角相等两直线平行，③同旁内角互补两直线平行，④，．【变式7-9】．（2023春•武胜县校级期末）完成下面的证明如图，平分，平分，且，求证：．完成推理过程平分（已知），．平分（已知），（已知），．．【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．【解答】证明：平分（已知），（角平分线的定义）．平分（已知），（角平分线的定义）（等量代换）（已知），（等量代换）．（同旁内角互补两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．【变式7-10】．（2023春•岳池县校级期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．（1）求证：；（2）试判断与之间的数量关系，并说明理由；（3）若，，求的度数．【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证；（2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系；（3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数．【解答】（1）证明：，；（2）解：，，，，，；（3），，，，，，，．【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．【变式7-11】．（2023春•振兴区校级期中）如图，，，平分．（1）与会平行吗？说明理由；（2）与的位置关系如何？为什么？（3）平分吗？为什么．【分析】（1）证明，利用同位角相等，两直线平行即可证得；（2）平行，根据平行线的性质可以证得，然后利用平行线的判定方法即可得证；（3），根据平行线的性质即可证得．【解答】解：（1）平行．理由如下：，（邻补角定义），，同位角相等两直线平行）；（2）平行．理由如下：，（两直线平行，内错角相等），又，，（同位角相等，两直线平行）；（3）平分．理由如下：平分，，，，，，，平分．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．【变式7-12】．（2023春•新吴区期中）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．（1）如图1，若，则；若，则；（2）两平面镜、相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点．（Ⅰ）如图2，当为多少度时，光线？请说明理由．（Ⅱ）如图3，若两条光线、相交于点，请探究与之间满足的等量关系，并说明理由．（Ⅲ）如图4，若两条光线、所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是（直接写出结果）【分析】（1）根据反射角等于入射角，可得，根据，即可得到；根据反射角等于入射角，可得，再根据，即可得出的度数；（2）（Ⅰ）设，，根据，可得，再根据三角形内角和定理进行计算即可；（Ⅱ）设，，根据三角形内角和定理可得，再根据三角形内角和定理可得可得，进而得出；（Ⅲ）设，，根据三角形外角性质可得，再根据三角形外角性质可得，进而得出．【解答】解：（1）如图1，根据反射角等于入射角，可得，，；根据反射角等于入射角，可得，，；故答案为：65，50；（2）（Ⅰ）如图2，设，，当时，，即，，，中，，当为90度时，光线；（Ⅱ）如图3，设，，中，，，，，中，，，即；（Ⅲ）如图4，设，，，，是的外角，，是的外角，，．故答案为：．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2个性质【考查题型八】垂线段的性质【例8】．（2022秋•东港区校级期末）如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．【解答】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，故选：．【点评】此题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．【变式8-1】．（2022秋•连云港期末）如图，某污水处理厂要从处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可选择．【解答】解：根据题意可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短．故选：．【点评】本题考查垂线段最短．理解直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题关键．【变式8-2】．（2023春•和平区校级月考）如图，把小河里的水引到田地处就作，垂足为，沿挖水沟，水沟最短．理由是垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解答】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．【变式8-3】．（2023春•信都区期末）已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、．（1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接；（2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【分析】（1）根据测量可直接得出结论；（2）过点作，根据点到直线距离的定义可得出结论．【解答】解：（1）通过测量可知，；（2）过点作，则最短（垂线段最短）．【点评】本题考查的是垂线段最短，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解答此题的关键．【变式8-4】．（2023秋•姑苏区校级期末）如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短并说明根据．【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接、交于，则为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直的线段．【解答】解：（1）两点之间线段最短，连接，交于，则为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．（2）过作，垂足为．“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池中开渠最短的根据．【点评】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用．【考查题型九】平行线的性质【例9】．（2023春•浦东新区校级期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】先根据补角的定义得出，再由是的平分线，是的平分线，故可得出，，故可得出，，即，与互余；再由平行线的性质可知，故与互余；根据可知，再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：，是的平分线，是的平分线，，，，，即，与互余；，，与互余；，，是的平分线，是的平分线，，，，与互余，与互余的角有5个．故选：．【点评】本题考查的是平行线的性质，余角和补角，熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．【变式9-1】．（2023春•嘉定区期末）如图，，，垂足为点，如果，那么．【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质得到．【解答】解：延长交于，，，，，，，．故答案为：135．【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质得到．【变式9-2】．（2023春•徐汇区校级期中）如图，已知，，平分，，则．【分析】根据平行线性质求出，根据角平分线求出，根据平行线性质求出即可．【解答】解：，，，，，平分，，．故答案为：．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式9-3】．（2023春•徐汇区校级期中）已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少，那么这两个角的度数分别是．【分析】根据条件可知这两个角相等或互补，利用方程思想可求得其大小．【解答】解：两个角的两边互相平行，这两个角相等或互补，设一个角为，则另一个角为，当这两个角相等时，则有，解得，此时这两个角分别为、；当这两个角互补时，则有，解得，此时这两个角为、；故答案为：、或、．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两个角的两边互相平行则这两个角相等或互补是解题的关键．【变式9-4】．（2023春•普陀区期中）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤、上安置了、两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．（1）如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒，①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即；用含的代数式表示光线转动的角度，即．②如图2，当光线与光线垂直，垂足为时，求的值．（2）如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？【分析】（1）根据旋转速度和旋转时间计算即可；（2）根据平行线性质，得到，与关系，再列方程，解出即可；（3）在光线第一次到达之前，可以旋转的时间应小于160秒，此时可能到达并返回，因此需分两种情况讨论，在不同情况下，利用平行线性质得到的角的关系列出方程解出即可．【解答】解：（1）①由题意，得光线旋转的角度为，光线旋转的角度为．，，故答案为：，．②解：过点作，如图，．，，．．即．解得；（2）解：设光线旋转时间为秒，由题意，知，解得，，因此，需分三种情况：情况在第一次到达之前，如图，此时，，，，，，，，，解得；情况在第一次到达之后，未到达，如图，此时，，，类似地，当时，，，解得；情况在第一次到达之后，再第一次到达，返回，此时，，，类似地，当时，，，解得，此情况无解．综上，光线旋转10秒和85秒时，与光线平行．【点评】本题考查平行线性质，以动态背景考查一元一次方程的应用，能熟练运用平行线性质是解题的关键．【变式9-5】．（2023春•闵行区期中）（1）如图1，是直线，内部一点，，连接，．探究猜想．①当，，则；②猜想图1中，，的关系并验证；（2）如图2，，已知，，求的度数．（用含有，代数式表示）（3）如图3，射线与平行四边形的边交于点，与边交于点，图3中，分别是被射线隔开的2个区域（不含边界），是位于以上两个区域内的一点，猜想，，的关系．（不要求说明理由）【分析】（1）如图所示，过点作，根据平行线的性质即可求解①，②；（