2025年九年级数学中考复习 圆综合解答题 考前冲刺专题提升训练

2025年春九年级数学中考复习《圆综合解答题》考前冲刺专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D．点E在线段AD上，DE=CD．连接BE并延长交⊙O于F．(1)求证：∠CBE=2∠BAC；(2)连接OD交BF于点G．若EF=2EG，CD=3，求⊙O的半径．2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)连接OH交DF于G，若HGOG=23，3．如图，C,D为线段AB上两点，且AD=10，CD=2，BC=3，过点D作AB的垂线，与以AC为直径的⊙O交于点E，作射线BE．(1)求证：BE为⊙O的切线；(2)F为⊙O上一点，弦EF与直径AC交于点G，当F为eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AC))中点时，求AG的长．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作EF∥BC，交AB的延长线于点(1)求证：EF与⊙O相切；(2)连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC=125．【课本再现】如图1，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径．若∠BAC=25°，(1)求∠P的度数．(2)【变式设问】如图2，AC是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A,B为⊙O上一点，AC的延长线与射线PB相交于点D，若∠D+2∠BAC=90°，求证：PA=PB．6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CE都是⊙O的弦，AB⊥CD于点G，CE交AG于点F，且eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(BD))=(1)求证：BK=DK．(2)若DK=5，DH=6，求⊙O的直径．(3)若点F在半径OA上，OF=12OG7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交BD于点F，已知AB=15，BE=48(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长度；(3)求BCEC8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线交BA的延长线于点D，AE⊥CD于点E,∠BAC=60°,P是eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(BC))上的动点（不与点B，C重合），连接CP并延长到点F，连接BP(1)求∠BPF的度数；(2)求证：AE平分∠DAC；(3)若AE=1，求四边形ABPC面积的最大值．9．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，AB=6，延长AC到点G，使得∠A=∠CBG，半径OD⊥AC与AC交于点E，连接BD与AC(1)求证：BG是⊙O的切线；(2)若AC=BD，求BG的长度；(3)若F是BD的中点，如图2，求tan∠ABD10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点F是射线AB上的一个动点（不与点A重合），连接DF，⊙O是△ADF的外接圆．已知AB=20，AD=10，点D到AB的距离为8．(1)若圆心O在线段AD上，求∠AFD的度数；(2)在（1）的条件下，过点F作FE交CD于点E，使∠DEF=∠ADF，求证：EF是⊙O的切线；(3)若圆心O不在线段AD上，当⊙O与平行四边形ABCD的某一边所在的直线相切时，试求线段AF的长．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC=AD，AD>AB，AC⊥BD，垂足为点E，AF是⊙O的直径，点P是eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AD))上异于点A、D的一点，点Q在FP的延长线上，且AQ2=FQ⋅PQ，AF与BD交于点M，设m=BMBD，(1)若∠CAD=70°，直接写出∠ABC的度数；(2)求证：直线AQ是⊙O的切线；(3)若tan∠ACDtan∠ACB=4，mn=25，以下三个结论：12．如图，在△ABC中，AB=AC，点P为线段AC上的一个动点（不与A，C重合），作点C关于BP的对称点D，连结BD，PD．⊙O是△BCP的外接圆并分别交BD，AB于点E，F，连结PE，PF．

(1)判断△DEP是否为等腰三角形，并说明理由．(2)证明：AP⋅BD=AC⋅BE．(3)连结OB，若点E为线段BD的三等份点且BC=6，tan∠C=5313．已知⊙O的半径为5，△ABC是其内接三角形，(1)如图1，求sinA(2)如图2，弦DE=8，连接BD，BE分别交AC于点①求证：∠ABC=2∠DBE；②若点N为AM的中点，求BN的长．14．如图，在⊙O中，直径BC=6，AB⊥BC，AD是⊙O的切线，点D为切点．(1)如图1，求证：AD=AB；(2)如图2，线段AO交⊙O于点E，连结DE，若DE∥BC，求AE的长；(3)如图3，线段AC交⊙O于点F，连结DF，若DF∥BC，求AF的长．15．△ACD是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，BD是弦，2∠CDB=∠ACD．(1)如图1，求证：AC=DC；(2)如图2，过点C作CH⊥AB于点H，延长DB到N，若BN=BH，求证：CN⊥BD；(3)如图3，在（2）的条件下，连接AN，若AN⊥CD，CD=22，求线段CH16．如图1，AB和CD是半径为2的⊙O的两条直径，点P是BA延长线上的一点．连接PC交⊙O于点E（点E在线段PC上，且不与点P、点C重合）．(1)当PC=PO时，求证：CO(2)连接DE，交半径OA于点M，已知PA=2．①连接PD，如图2，当点M是△PCD的重心时，求∠BOC的余弦值；②连接BD、BE，当△BDE为等腰三角形时，求线段PE的长．17．如图①，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E(在线段OA上），且DE=OE．(1)若∠ACD=α，用含有α的代数式表示∠BAC．(2)如图②，点F在弧BD上，且∠CDF=12∠AEC，连结CF交AB于点G(3)在（2）的条件下，①若DE=4，CE=11，求②若DECE=x，用含有x的代数式表示18．已知，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，OD，∠BOD=2∠BAC．(1)如图1，求证：AB⊥CD；(2)如图2，点F在弧AD上，连接CF，EF，延长FE交⊙O于点G，连接CG，若∠BOD=3∠CFG，求证：∠DCG=2∠CFG；(3)如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥FG于点H，若sin∠DCF=328，19．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，AD=AC．(1)如图1，求证：∠DAC=2∠BAD；(2)如图2，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F，连接CF．求证：BD=CF；(3)如图3，在（2）的条件下，作∠ABC的平分线交AO于点G，连接FG并延长交AB于点M，交⊙O于点P，连接AP，若BM=2AM,OG=1，求线段AP长．20．已知：AB为⊙O的直径，AB=5，点C在⊙O上．联结OC、BC，过点O作OD∥BC，交⊙O于点(1)如图，联结DB，当∠ABC=60°时，求证：四边形OCBD是菱形；(2)作DE⊥OB，垂足为E．①如图，联结AC、DC，DC交半径OB于点F，当∠OCD=12∠CAB②如图，联结AC、AD、DB，设△ODE的面积为S1，四边形ACBD的面积为S2，如果S2参考答案1．（1）证明：如图，连接BD，设∠BAC=α，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥CE，∵CD=DE，∴BC=BE，∴∠BEC=∠C，∵∠ABC=90°，∴∠C=90°−∠BAC=90°−α，∴∠BEC=90°−α，∴∠CBE=180°−∠C−∠BEC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α，∴∠CBE=2∠BAC；（2）解：如图，连接AF，∵由（1）可得∠CBE=2α，∠ABC=90°，∴∠ABE=∠ABC−∠CBE=90°−2α，∵∠BAC=α，∴∠BOD=2∠BAC=2α，∴∠DGE=∠BGO=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠F=90°，∴∠F=∠BGO，∴OD∥AF，∴△OBG∽△ABF，∴OG∴OD∥AF，∴△DGE∽△AFE，∴DG∵EF=2EG，∴DG∴OG=DG，∵∠BGO=90°，∴DB=OB，∵OB=OD，∴DB=OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠ODB=60°，∴∠DBE=30°，∵DE=CD=3，∠BDE=90°，∴BE=2DE=6，∴BD=B∴OB=33即⊙O的半径为332．（1）证明：如图，连接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠C=∠ODB，∴AC∥∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，又∵OD是半径，∴DH是⊙O的切线（2）解：如图，连接BF，∵OA=1，∴AC=AB=2OA=2，OD=OA=1，∵AC∥∴△EGH∽△DGO，△BDO∽△BCA，∴HGOG=∴EH=23，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC，∵DH⊥AC，∴DH∥∴△CDH∽△CBE，∴CH∴CE=2CH，即点H是CE的中点，∴CE=2EH=4∴AE=AC−CE=2−4∵AC∥∴△FAE∽△FOD，∴AF∴AF∴AF=2．3．解：（1）连接OE，∵AD=10，CD=2，BC=3，∴AC=AD+CD=12，∴⊙O半径OE=OA=OC=6，OD=OC−CD=4，BD=CD+BC=5．∵ED⊥AB，∴∠ODE=BDE=90°在Rt△ODEED=O在Rt△BDEEB∵OE=6，∴OE2=36，OB=OC+BC=9∵OE∴在△OEB中，∠OEB=90°，即OE⊥BE．∵OE是⊙O的半径，∴BE为⊙O的切线．（2）解：连接OF，∵F为eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AC))中点，AC为直径，∴∠AOF=∠FOC=90°．∵DE⊥AB，∴∠EDG=90°，∴∠FOG=∠EDG=90°．∵∠OGF=∠DGE．∴△OFG∽△DEG．∴OGDG设OG=35t，则∵OD=OG+DG=4，即35t=4AG=OA+OG=6+35将t=3AG=15−354．（1）证明：连接OE，交BC于点G，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵D为△ABC的内心，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∴∠ACB=∠BGO，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BGO=90°∵BC∥EF∴∠BGO=∠FEO∴∠FEO=90°∵OE为⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线；（2）解：∵sin∠AEC=∴∠AEC=30°，∴∠ABC=∠AEC=30°，∴∠BOE=60°，∠EFO=30°，∴EF=OE⋅tan∴S阴影部分5．解：（1）∵PA,PB是⊙O的切线∴OA⊥AP,PA=PB∵∠BAC=25°∴∠ABP=∠BAP=90°−25°=65°∴∠P=180°−2×65°=50°．（2）根据题意，∠PAO=90°如图，连接OB，可得AO=BO∴∠OAB=∠OBA，∠DOB=2∠BAC又∵∠D+2∠BAC=90°∴∠D+∠DOB=90°∴∠DBO=90°∴PB是⊙O的切线∴PA=PB．6．解：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD∴∵∴∴∠KBD=∠KDB∴BK=DK（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°∴∠KHD+∠KBD=∠HDK+∠KDB=90°，∵∠KBD=∠KDB∴∠KHD=∠HDK∴BK=DK=HK∵DK=5，DH=6∴BH=10∵∴∠BAD=∠HBD∵∠ADB=∠BDH∴△ADB∽△BDH∴AB∴AB=（3）连接FH，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD∴CG=DG∵∴∠BDG=∠FCG∵∠CGF=∠DGB∴△CGF≌DGB∴BG=FG∵BK=HK∴GK是△BFH的中位线∴FH∥CD设OF=x，则OG=2x，∴BG=3x∴CG=DG=21x∵∴∠BAD=∠DCE∵∠AFE=∠CFG∴∠ANF=∠CGF=90°∵∠AFN=∠CFG∴△AFN∽△CFG∴FN∴FN=∵∴∠FAN=∠EAN∵AN=AN,∠ANF=∠ANE=90°∴△FAN≌△EAN∴NE=FN∴EF=∵∠ANF=∠ADB=90°∴FH∥CD∴EH∴EH7．（1）证明：如图，连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD，∵∠AOD=2∠ABD，∴∠AOD=∠ABC，∴OD∥∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，又∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，又∵∠ADB=∠DEB=90°，∴△ABD∽△DBE，∴AB∴BD∵AB=15，BE=48∴BD∴BD=12，∴DE=（3）解：如图，连接AC、OD交于点G，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DEB，∴AC∥∵OD⊥DE，∴OD⊥AC，∴AG=CG，∵∠DEC=∠GDE=∠DEC=90°，∴四边形CEDG是矩形，∴CE=DG，DE=CG=36∴AG=36∴BC=A∵点O、G分别为AB、AC的中点，∴OG是△ABC的中位线，∴OG=1∵OD=1∴DG=OD−OG=27∴EC=27∴BC8．（1）解：∵四边形ABPC是⊙O内接四边形，∴∠BAC+∠BPC=180°，∵∠BPF+∠BPC=180°，∴∠BPF=∠BAC=60°．（2）证明：如图，连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCA+∠OCA=90°．又∵在△OCA中，OC=OA,∠BAC=60°，∴△OCA是等边三角形，∴∠OCA=60°．∴∠DCA=30°，∴∠D+∠DCA=∠CAO=60°，∴∠D=∠DCA=30°，∴AD=AC，∴△DCA是等腰三角形．∵AE⊥CD，∴AE平分∠DAC．（3）解：由（2）得在Rt△DEA中，∠D=30°，AE=1∴AD=AC=2AE=2．∵AB是直径，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=60°．∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4，∴BC=A∴S如图，过点P作PG⊥CB于点G．在△CBP中，P为动点，BC为底边，当PG垂直平分BC时，PG的值最大，∵∠BAC+∠BPC=180°，∠BAC=60°，∴∠BPC=120°，∵PG垂直平分BC，∴CP=BP，CG=1∴∠BCP=30°，∴PG=CG×tan∴S∴S四边形9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠∵∠∴∠即BA⊥BG，∵AB是⊙O的直径，∴BG是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥AC，∴eq\o(\s\up4(⌒又∵AC=BD，∴∴∴∴∠AOD=60°，∴∠BAC=30°，∴BG=3（3）解：∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠∴OD∥∴∠∵DF=BF、∠DFE=∠BFC，∴△DFE≌△BFC，∴BC=DE、FC=EF，又∵AO=OB，∴OE是△ABC的中位线，设OE=t，则BC=DE=2t，∵DE=DO−OE=3−t，∴3−t=2t，解得：t=1，则DE=BC=2、AC=A∴EF=1∵OB=OD，∴∠则tan∠ABD=10．（1）解：∵⊙O是△ADF的外接圆，且圆心O在线段AD上，∴AD是⊙O的直径，点F在⊙O上，∴∠AFD=90°；（2）证明：如图1，连接OF，则OD=OF，在平行四边形ABCD中，AB∥∴∠BFE=∠DEF，∵∠DEF=∠ADF，∴∠BFE=∠ADF，∵∠OFD=∠ADF，∴∠BFE=∠OFD，由（1）得，∠BFD=90°，∴∠BFE+∠DFE=90°，∴∠OFD+∠DFE=90°，则∠OFE=90°，即OF⊥EF，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（3）解：如图2，当⊙O与CD相切时，⊙O与CD只有一个交点D，即D为切点，连接DO并延长DO与AB相交于点G，∴DG⊥CD，∵AB∥∴DG⊥AB，则DG=8，∴在Rt△ADG中，AG=由垂径定理得，AG=GF=6，∴AF=12；如图3，当⊙O与BC相切时，设切点为M，延长MO交AD于点N，过点D作DH⊥CB于点H，DG⊥AB于点G，连接DB，∴∠NMH=90°，∠DHM=90°，∵AD∥∴∠MND=90°，∴四边形MNDH是矩形，AN=DN=1∴MN=DH，∵S△BCD∴DH=16，则MN=16，设⊙O的半径为r，则ON=16−r，在Rt△ANO中，AN2+O解得：r=281∴ON=231连接OD，则OA=OD，∴∠AON=1∵∠AFD=1∴∠AON=∠AFD，∵∠ANO=∠DGF=90°，∴△ANO∽△DGF，∴GFNO=DG∴GF=231同前可得，AG=6，∴AF=AG+GF=6+231∵⊙O与AB有两个交点A和F，与AD有两个交点A和D，∴⊙O与AB和AD所在的直线都不相切，综上所述，当⊙O与平行四边形ABCD的某一边所在的直线相切时，线段AF的长为12或3512011．（1）解：∵AC=AD，∠CAD=70°∴∠ACD=∠ADC=180°−∠CAD∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BC=125°；（2）证明：如图，连接AP，∵AF是⊙O的直径，∴∠APF=90°，∵AQ∴AQ又∵∠AQP=∠FQA，∴△AQP∽△FQA，∴∠APQ=PAQ=90°，∴AF⊥AQ，又∵AF是⊙O的直径，∴直线AQ是⊙O的切线；（3）解：如图，连接DF，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∴∠ADC+∠CDF=90°，∵AC⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠ACD+∠CDE=90°，∵∠ACD=∠ADC，∴∠CDF=∠CDE，∵∠BAC=∠BDC，∠CAF=∠CDF，∴∠BAC=∠CAF，在△ABE和△AME中，∠BAE=∠MAEAE=AE∴△ABE≌△AMEASA∴BE=ME，在Rt△CED中，tan在Rt△CEB中，tan∵tan∴DE∴DE=4BE，∴DM=3BE，BD=5BE，∴m=BM∵AD2=A∴AD∴n=A∵mn=2∴2∴BC=3BE，∴DM=BC．12．（1）解：△DEP为等腰三角形；理由：由翻折得∠C=∠D，∵∠C=∠DEP，∴∠DEP=∠D，∴PD=PE，∴△DEP为等腰三角形；（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠AFP，∠ABC=∠APF，∴∠ABC=∠AFP，∠APF=∠AFP，∴FP∥BC，AF=AP，∴△AFP∽△ABC，∴APAC=又∵CP=DP=EP，∴BF=EP，∴BE=PF，又∵BD=BC，∴AP∴AP⋅BD=AC⋅BE；（3）解：过点A作AH⊥BC于点H，交PF于点M，连结OF，∵AB=AC，∴BH=CH=1∴AH经过圆心O，∵FP∥BC，∴AM⊥FP，∵AF=AP，∴FM=PM=1当DEBE=2时，

∵AP⋅BD=AC⋅BE，∴AC=3AP，由（2）知APAC∴PF∵BC=6，∴PF=2，∴FM=1，∵tan∴AH即AH3∴AH=5，∵△AFP∽△ABC，AM⊥FP，AH⊥BC，∴AM∴AM∴AM=5∴MH=5−5设OH=x，在Rt△FMO和Rt△BHO中，FM∵OF=OB，∴1解得x=7∴OH=7∴tan当DEBE=1

∵AP⋅BD=AC⋅BE，∴AP∴PF∵BC=6，∴PF=4，∴FM=2，同理AMAH求得AM=10∴MH=5−10设OH=x，则OM=5∴2解得x=2∴OH=2∴tan13．（1）解：在图①中，连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，∵BF是直径，∴∠BCF=90°．由题BF=10，∴∵∠A，∠F是eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(BC))所对的圆周角，∴∠A=∠F，∴（2）①证明：连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，在Rt△BCF中，BF=10CF=B∴eq\o(\s\up4(同理可证，AF=8，∴eq\o(\s\up4(则eq\o(\s\up4(∴∠ABF=∠CBF=∠DBE，即∠ABC=∠ABF+∠CBF=2∠DBE．②当点C与点D重合时，如下图，此时BE为直径，∴AC⊥BE于点N．由sin∠BAD=可得BN=3当点C与点D不重合时，如下图，作∠GBC=∠ABN，截取BG=BN，连接GC，∵BG=BN，∠GBC=∠ABN∴△BGC≌△BNA，∴GC=AN，由①∠ABC=2∠DBE∴∠CBD+∠ABN=∠DBE，又∠GBC=∠ABN，∴∠GBM=∠NBM，又BG=BN，∴△BGM≌△BNM∴GM=NM，又MN=AN∴GM=GC，∴∠GCM=∠GMC．设∠A=x，则∠BCA=x，∠GCB=∠A=x，∠GCM=∠GCB+∠BCA=2x，∠GMC=2x．∴∠AMB=1∴∠ABM=90°，由（1）知，sin设BM=3x，则AM=5x，AB=4x，∵AB=6，∴AM=15∵点N为AM的中点，∴BN=1综上所述，BN=185或14．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，AB⊥BC，∴AB是⊙O的切线．又∵AD是⊙O的切线，∴AB=AD．（2）解：如图，连结OD，∵AB=AD，AO=AO，BO=DO，∴△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD．∵DE∥BC，∴∠DEO=∠AOB．∵EO=DO，∴∠EDO=∠DEO=∠AOD．∴∠AOD=60°．∴cos∠AOD=∴AO=2DO=6，∴AE=AO−OE=6−3=3．（3）解：如图，连结OA，OD，FB，BD，∵BO=DO，且∠AOB=∠AOD，∴OA⊥BD．∴∠AOB+∠OBD=90°，∵AB⊥BC，∴∠BAO+∠AOB=90°，∴∠BAO=∠OBD．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCB=∠CBD，∴∠BAO=∠ACB，且∠ABO=∠CBA，∴△ABO∽△CBA，∴ABBO∴AB∴AB=32∴AC=3∴cos∠ACB=∵BC是⊙O的直径，∴∠CFB=90°，∴cos∠ACB=∴CF=26∴AF=3615．（1）证明：∵2∠CDB=∠ACD，设∠CDB=a，则∠ACD=2a，∵∴∠ACD=∠ABD=2a．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠ADC+∠CDB=90°，∴∠ADC=90°−a，∠BAD=90°−2a∵∴∠BDC=∠BAC=a．∴∠CAD=90°−2a+a=90°−a，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=DC．（2）证明：连接BC．∴ADBC为圆内接四边形，∴∠NBC=∠DAC，由（1）得．AC=DC，∴∠DAC=∠ADC，∵eq\o(\s\up4(∴∠ABC=∠ADC，∴∠NBC=∠ABC，∵BN=BH，BC=BC，∴△BNC≌△BHC，∴∠BNC=∠BHC∵CH⊥AB，即∠BHC=90°，∴∠BNC=90°，即CN⊥BD．（3）解：连接BC，交AN于点P，设CD与AN交于点M，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC+∠CDN=90°，∵AN⊥CD，交CD于M∴∠DMN=90°，∴∠MND+∠MDN=90°，∴∠MND=∠ADC，由（2）得∠NBP=∠ADC，∴∠PNB=∠NBP，∴PB=PN，∵∠BNC=90°，∴∠PNB+∠PNC=90°，∠NBC+∠NCB=90°，∴∠PNC=∠PCN，∴PN=PC，∴PB=PN=PC，延长PC到R使PC=CR，连接AR，∵∠ACB=90°，∴∠R=∠APR，∵∠BNP+∠NBP+∠NPB=180°，∠PNB=∠NBP=∠PBA，∵∠R+∠BAR+∠RBA=180°，∴∠RAB=∠RBA，∴AR=BR=3CR，在Rt△ACR中，AC=CD=2∴CR即CR∴CR=1，AR=3，∴BC=2，在Rt△ABCAB=A∴12AB×CH=1∴CH=2×216．（1）解：连接OE，∵EO=CO，∴∠OEC=∠OCE，∵PC=PO，∴∠PCO=∠POC，∴∠OEC=∠OCE=∠POC，∵∠C=∠C，∴△POC∽△OEC，∴OCCE∴CO（2）解：①过P作PH⊥OD于H，∵CD是直径，∴∠DEC=90°，∴DE⊥PC，∵点M是△PCD的重心，∴PE=CE，∴PD=DC=4，∵PA=2，半径为2，∴PO=4，∴PO=PD，，∵PH⊥OD∴OH=1∴cos∠BOC=②当BD=BE时，如图，∵BD=BE，∴∴OM⊥DE，由（1）知DE⊥PC，不符合题意；当ED=BE时，连接EO，EA，∵AB和CD是⊙O的两条直径，∴∠BEA=∠DEC=90°，∵ED=BE，∴∴OD⊥BD，∴∠BEO=∠DEO，∵OE=OB，∴∠EBO=∠BEO=∠DEO，∴∠EOP=∠DEB=2∠DEO，∵∠PEA+∠AED=∠BED+∠AED=90°，∴∠PEA=∠BED，∴∠EOP=∠DEB，∵∠P=∠P，∴△PEA∽△POE，∴EPOP∴PE∴PE∴PE=22当DE=DB时，连接EA，设CD与BE交于G，∵DE=DB，∴∴CD⊥BE，BG=EG，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BE，∴EA∥CO，∴PE∵PA=AO，∴PE=EC，∴AE是△POC的中位线，∴EA=1∵OA=OB,BG=EG，∴OG是△BAE的中位线，∴OG=1∴CG=2−1∴BE=A∴EG=1∴PE=EC=C综上所述，线段PE的长6或2217．（1）解：如图①，连结OD，OC，∵∠ACD=α，∴∠AOD=2α，∵ED=EO，∴∠D=∠EOD=2α，∵OD=OC，∴∠DCO=∠D=2α，∴∠CEO=∠EOD+∠EDO=2α+2α=4α，∴∠BAC=∠CEO−∠ACD=4α−α=3α．（2）证明：如图，连结CO，延长CO交DF于T，由（1）可知，∠AEC=180∵∠CDF=1∴∠CDF=90∴∠CDF+∠DCO=90∴CT⊥DF，∴DT=TF，∴CD=CF．（3）解：①∵DE=4，∴DC=DE+CE=15，连结OD，∠DOE=∠DCO，∴△DOE∽△DCO，∴ODCD∴OD2=DE⋅DC=60∴AB=2OD=415②由（2）可得，CT⊥DF，DT=FT，∴∠DCT=∠FCT=∠EDO=∠EOD=2α，即CT是角平分线，∴∠DCG=∠DCT+∠FCT=2α+2α=4α，且∠CEO=4α，∴∠ECG=∠CEG，∴CG=EG，已知DECE设CE=a，则OE=DE=xa，设CG=k，由面积法可求得OG=xk，则EG=CG=EO+OG=DE+OG=xa+xk=k，∴k=xa在等腰△CEG中，cos∠DCF=18．（1）证明：连接OC，∵BC⏜=∴∠BOC=2∠BAC，∵∠BOD=2∠BAC，∴∠BOD=∠BOC，∵OD=OC，∴OE⊥CD，∴AB⊥CD；（2）证明：连接OC，OG，设∠BOD=6α，则由（1）可知∠BOC=2∠BOD=6α，∴∠BAC=1∵∠BOD=3∠CFG，∴∠CFG=1∵GC⏜∴∠COG=2∠GFC=4α，∵∠COD=∠DOB+∠BOC=12α，∴∠GOD=∠DOC−∠GOC=8α，∴∠GCD=1∴∠DCG=2∠CFG；（3）解：如下图所示，过D作DK⊥FG于K，∴∠DKE=90∵CH⊥FG，∴∠CHE=90∴∠DKE=∠CHE，∵∠CEH=∠DEK，OB⊥CD于E，∴CE=DE，在△CEH和△DEK中，∠DKE=∠CHE∠DEK=∠CEH∴△CEH≌△DEK，∴CH=DK，EH=EK，连接DF，在FH上取点Q，使HQ=KF，∵∠CHQ=∠DKF=90°，在Rt△CHQ和Rt△DKF中，∴△CHQ≌△DKF∴CQ=DF，∴∠CQH=∠DFG，∵∠DFG=∠DCG=4α，∴∠CQH=4α，∵∠CFG=2α，∴∠FCQ=∠CQH−∠CFQ=2α，∴∠CFQ=∠FCQ，∴CQ=FQ，∴FQ=FD，∵FK+KQ=QH+KQ，∴FQ=KH=KE+EH=2EH，∵EH=6∴FQ=CQ=FD=KH=26延长DO交⊙O于M，连接FM，则∠MFD=90°，∵∠FMD=∠DCF，sin∠DCF=∴sin则FDDM=32∴⊙O的半径为8319．（1）证明：如图1，连CO，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=∠AOD=α，在△DAC中，∠DAC=180°−∠ADC−∠ACD=180°−2α，∵AO、CO为半径，∴AO=CO，∴∠OAC=∠OCA=180°−2α，在△AOC中，∠AOC=180°−∠OAC−∠OCA=4α−180°，∵eq\o(\s\up4(∴∠ABC=1在△ABD中，∠BAD=∠ADC−∠ABC=90°−α，∴∠BAD=1∴∠DAC=∠BAD；（2）证明：如图2，连AF，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=270°−3α，∵四边形BACF内接于⊙O，∴∠BFC+∠BAC=180°，∴∠BFC=180°−∠BAC=3α−90°，∵eq\o(\s\up4(∴∠AFC=∠ABC=2α−90°，∴∠BFA−∠BFC−∠AFC=3α−90°−2α+90°=α，∵AE⊥BCF，∴∠AEF=90°，在Rt△AEF中，∠AEF=90°∴∠EAF=90°−∠EFA=90°−α，∴∠FAC=∠EAC−∠EAF=90°−α，∴∠FAC=∠BAD，又∵∠ABD=∠AFC,