2024年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第2课时仰角俯角问题同步练习新版沪科版

PAGEPAGE423.2第2课时仰角、俯角问题知|识|目|标通过对实际问题的分析，了解仰角、俯角的定义，并能利用仰角、俯角的定义计算物体的高度．目标会运用解直角三角形解决仰角、俯角问题例1［教材补充例题］［2024·南通改编］热气球探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m．依据下列步骤，求这栋楼的高度(计算结果保留根号)．图23－3－4(1)由题意可知，在Rt△ABD中，∠BAD＝________，AD＝________m，则BD＝________m；(2)在Rt△ACD中，∠CAD＝________．依据正切的定义，tan∠DAC＝eq\f(CD,AD)，则CD＝AD·tan∠DAC＝________m，∴BC＝BD＋CD＝________m.综上所述，这栋楼的高度为________m.例2［高频考题］［2024·荆门金桥］学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高．如图23－2－5，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶的坡角为30°，且点E，F，D在同始终线上．求旗杆AB的高．(计算结果精确到0.1米，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)图23－2－5【归纳总结】视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和测量点到物体的水平距离，利用解直角三角形的学问就可以求出物体的高度．学问点一俯角和仰角的概念在进行高度测量过程中，视线与水平线会形成一个夹角，当视线在水平线______时这个夹角叫做仰角；当视线在水平线______时这个夹角叫做俯角.如图23－2－6所示，∠1是仰角，∠2是俯角．图23－2－6[点拨](1)仰角和俯角必需是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．学问点二解直角三角形——俯角、仰角问题利用解直角三角形的学问解决有关仰角和俯角的实际问题，通常借助视线、水平线、铅垂线构成的直角三角形进行解答．如图23－2－7所示，直升机在大桥AB上方的点P处，此时飞机离地面的高度为am，A，B，O三点在一条直线上且PO⊥AB于点O，测得点A的俯角为α，点B的俯角为β，求大桥AB的长度．图23－2－7解：在Rt△POA中，∵∠APO＝α，tan∠APO＝eq\f(OA,OP)，∴OA＝OP·tanα.在Rt△POB中，∵∠BPO＝β，tan∠BPO＝eq\f(OB,OP)，∴OB＝OP·tanβ，∴AB＝OA－OB＝OP(tanα－tanβ)＝a(tanα－tanβ)m.上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．

老师详解详析【目标突破】例1(1)45°100100(2)60°100eq\r(3)100(1＋eq\r(3))100(1＋eq\r(3))例2[解析]设AM＝x.过点C作CM⊥AB于点M，则MC＝AM.在Rt△AEF中，用含x的式子表示EF.在Rt△CFD中，求出FD，从而依据ED＝MC列方程求出x，由此可求出AB的长．解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则四边形CMED是矩形，且△AMC是等腰直角三角形．设AM＝x，则ED＝MC＝AM＝x，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝x＋3.在Rt△AEF中，EF＝eq\f(AE,tan∠AFE)＝eq\f(x＋3,\r(3)).在Rt△CFD中，FD＝eq\f(CD,tan∠CFD)＝3eq\r(3).∵ED＝MC，∴eq\f(x＋3,\r(3))＋3eq\r(3)＝x.解得x＝6eq\r(3)＋6，∴AB＝AM＋ME－BE＝6eq\r(3)＋6＋3－1＝6eq\r(3)＋8≈6×1.73＋8≈18.4(米)．答：旗杆AB的高约为18.4米．【总结反思】[小结]学问点一上方下方[反思]不正确．本题错在把从点P观测点A的俯角误认为是∠APO，从点P观测点B的俯角误认为是∠BPO，只有弄清俯角的定义才能避开这类错误．正解：依据题意，得∠CPA＝α，∠BPC＝β，∴∠PAO＝α，∠PBO＝β.在Rt△POA中，∵tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)，∴OA＝eq\f(OP,tan∠PAO)＝eq\f(a,tanα)m.在Rt△POB中，∵tan∠PBO＝eq\f(OP,OB)，∴OB＝eq\f(OP,tan∠PBO)＝eq\f(a,tanβ)m，∴AB＝OA－OB＝(eq\f(a,tanα)－eq\f(a,tanβ))m.课堂反馈(三十三)1．7tanα2．1200eq\r(3)[解析]由题意可知∠BAC＝60°，则BC＝AC·tan∠BAC＝1200×eq\r(3)＝1200eq\r(3)(m)．3．3(eq\r(3)－1)[解析]由题意可知，△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝3m．在Rt△ACD中，AC＝AD·tan∠CDA＝3×tan60°＝3eq\r(3)(m)，∴BC＝AC－AB＝3eq\r(3)－3＝3(eq\r(3)－1)m.4．解：过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BE＝CD＝5m，∴∠CBE＝60°.依据