低年级数学计算教学中融入“数形结合”思想的意义与策略

【摘要】运算知识序列的教学研究是小学数学教学的核心组块，因此，教学中不仅要关注学生的知识习得，更要促进学生向理解、迁移的深度结构化认知进阶。而运算教学存在概念不清、算理不明等各种认知障碍，利用“数形结合”可以为运算教学搭建支架，实现数量关系与空间形式之间的跨越。文章以数的运算主题学习为载体，结合具体教学，探索小学低年级数与运算主题教学中融入“数形结合”思想的研究意义和实践策略。【关键词】数形结合数学思想数与运算数学概念算理《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在第一学段有关数的运算方面明确指出，在具体情境中，了解四则运算的意义，感悟数的运算及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性；探索加、减、乘、除四则运算的算理及算法，能进行四则运算；在解决生活情境问题的过程中，形成初步的数感、符号意识、推理意识及运算能力等核心素养。因此，在计算教学中，不仅要关注学生对基本知识和基本技能的理解与应用，还要渗透数学思想，促进学生素养的发展。低年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们能够进行简单的计算，但对于有关数的运算概念本质的认识、算理的理解和算法的掌握都存在一定的难度。将数学图形与数量关系结合起来，通过相互转换分析、解决相应的数学问题，有助于学生把握数的运算本质，更好地建构知识结构。在实践中，教师以理解概念本质、探究算理算法、把握数量关系、建构知识结构为载体，以小棒、计数器、实物图、点子图、流程图等为表征，借助圈、摆、拨、画等手段，以数感、运算能力、推理意识等核心素养为导向，探索“数形结合”思想在小学低年级计算教学中的实施路径。一、融入“数形结合”思想的意义（一）契合新课程改革倡导的理念新课标确立了核心素养导向的课程目标，指出义务教育阶段在培养学生核心素养方面具有整体性、阶段性和一致性。在教学中，数学素养目标实现的关键途径是课程内容的选择和组织，而在小学数学计算教学中融入“数形结合”思想，借助“数”“形”梳理关联，有助于学生在网状的知识结构中把握知识本质，处理好结果和过程之间的关系；通过“视”“触”协同实践，注重数学内容的直观表述，处理好直观与抽象的关系，培养学生的几何直观。学生在观察、操作、直观想象等活动中经历数学“再发现”的过程，积累数学活动经验，初步形成有条理、讲道理的思维品质。总之，在小学数学计算教学中融入“数形结合”思想，可以使核心素养的培育有清晰的载体和明确的路径。（二）符合小学生的思维发展特点皮亚杰认为，人的发展分为四个阶段：感知运动阶段（从出生到2岁）、前运算阶段（2到7岁）、具体运算阶段（7到11岁）、形式运算阶段（11岁以后），小学中低年级学生正处在具体运算阶段，正处在具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期。从思维的本质来说，思维是具有意识的人脑对客观现实的本质属性、内部规律的自觉的、间接的和概括的反映。关于思维能力的培养，杜威认为，“活动对思维的训练有着重要的作用”“没有改变自然情境的活动进行，就没有有效的思维条件”。在小学数学教学中，数学运算是一个非常关键的环节。它是学生认识和应用数学问题的依据，直接关系到学生后续的数学学习成果。因此，从学生不同发展时期的思维特征来分析，将数形结合引入课堂，通过活动、操作等开展教学活动，不仅是为了训练学生的操作技能，更有助于启发学生的思维，让学生经历从具体到抽象的过程，体验知识的形成过程，从而促进学生能力的发展。（三）连通计算教学的算理和算法关于计算教学，很多教师只关注学生对算法的掌握，容易走向教师“讲解—示范—作业”、学生“听讲—模仿—练习”的单一模式，这种过程的简约化、步骤的程序化看似可以提升学生的运算准确率，但其实学生仅停留在知其然并不知其所以然的阶段，并没有内化知识本质。在小学低学段计算教学中融入“数形结合”，教师通过对教学内容、教学过程教学方式的精心设计，让学生利用小棒图、点子图、计数器等学习工具，经历“算法探究—算理解释—理法融合—形成映像”的过程，在活动和体验中感受知识的动态化。比如，在竖式的学习中，学生易于理解和掌握加法竖式、减法竖式、乘法竖式在计算道理和呈现形式上是一致的，但较难理解除法竖式，知识的相似性会导致负迁移。因此，在教学中，教师在学生经历了用摆一摆、画一画、写一写探索平均分的过程后，以“你能结合刚才摆、画、写的过程，说一说在分的过程中有什么相同的地方吗？”为驱动性问题，让学生在说理的过程中明晰除法的本质：分—取—再分—再取。学生通过“数形结合”和关键性问题，搭建算理和算法之间的桥梁，在变式中追寻数学知识的本质。二、融入“数形结合”思想的策略（一）聚焦概念意义，建构运算关联1.以图促思，促进概念理解数学概念的理解是数学学习的基石，而学生已经会算的事实和四则运算概念的概括性使得学生对概念的理解存在壁垒。在解决实际问题时，当不同条件和问题混合在一起，部分学生会随便选择条件直接计算。究其原因还是学生对四则运算理解得不透彻。新课标指出，要使学生了解四则运算的意义。因此在实践中，教师以图促思，让学生经历圈、数等实践活动，直观理解运算的意义。如图1，想知道图中有多少个圆片，学生有不同的思考路径。有学生横着数出5个8相加，也有竖着数出8个5相加，列式分别是8+8+8+8+8=40或5+5+5+5+5+5+5+5=40。学生在对比中感受到5×8=40的简便，也深入感知乘法的本质是相同加数的和。同样，除法是分的过程，也就是减少的过程。借助数形结合，学生在直观图示的思辨活动中，感知各种运算及符号存在的价值，发展了符号意识及数感。同时，学生在数数的实践活动中体会数的运算，感悟数与运算的一致性。2.以图建联，明确运算关系四则运算不是单独存在的，它们之间存在密切关系。教师要借助有效的教学活动体现运算知识之间的逻辑关系，使学生能用联系的眼光思考数学。为了让学生深刻感知乘法、除法运算是加法、减法运算的简便计算，减法和除法分别是加法和乘法的逆运算，教师尝试利用数形结合的可视化手段，以图建联，构建“一图三数四式”认知模型，构建四则运算关系网。如图2，“一图”即一幅直观图形，“三数”分别是4、5和20这三个数字，“四式”是四则运算表达算式。其以形助数，通过圆片帮助学生直观建构数的运算的意义；以数解形，用数的运算分别解释形的内涵。学生通过有形的操作理解抽象的关系，从规律结论记忆到实例自然迁移，有效探索出通往四则运算联结的思维路径。（二）深入运算本质，融通算理算法1.以形明法，感知计数原理新课标把“数的认识”和“数的运算”统一成“数与运算”主题，强调要感悟数与运算的一致性。在数的认识的教学中，教师基于十进制计数原理让学生认识数的产生。同样，教师在教学数的运算算理的形成时，也要把握这一核心要素，这也是进一步深刻领会一致性的关键。教师在数的运算教学中关注数形结合的介入，以形明法，让学生在多元活动中感知计数原理。如在教学两位数加一位数的进位加法中，如图3，探究问题“24里明明只有2个十，为什么得数有3个十？多的1个十从哪儿来的”。学生尝试借助直观学具模型小棒和半抽象学具模型计数器，再到用分解式记录计算过程，层层递进，借操作促进算法、算理的融合，将“10个一是1个十”的认知经验与“满十进一”的进位本质进行有效关联和沟通，从而实现从数的认识到数的运算的跨越，深入认知十进制计数原理。2.以形明理，算理算法相融新课标指出，要让学生感知运算须在相同数位上进行，感悟计数单位的意义，了解数的运算的一致性。计算教学绕不开算理和算法，算法是对算理的有效总结，算理是对算法的合理解释。教学中，以形明理，借助数形结合，可以有效实现理法融合。如图4，用摆小棒图或计数器解释45+31的竖式计算道理，直观的根与根、捆与捆相加的本质就是各数位上“一”和“十”的个数相加。借助形，可以有效呈现提炼的计算法则背后简化复杂的思维路径，引导学生理解加法的计算其实就是相同数位上计数单位个数的累加。学生在说理的过程中不仅深刻感悟数与运算的一致性，也培养了推理意识。（三）表征数量关系，构建运算模型1.以做引思，建立数量关系数量关系的研究也是数学学习的重要内容，数量的呈现是具象的，而数量与数量之间关系的表达却是抽象的。基本的数量关系有相等关系和不相等关系，即等于、大于或小于的关系，很多学生不能基于等量关系解决实际问题就是因为没有构建清晰的概念表象。教学中，教师以做引思，用形的直观构造关系模型。如图5，在理解大、小关系时，利用小方块图的数量比较，搭建大于和小于关系的支架，形成大于和小于的符号。2.以做类推，感悟模型问题解决中也存在各种数量关系，对问题进行归总，形成普适性的模型认知是学生深度学习的重要体现。新课标指出，教师要通过创设简单的情境，让学生认识常见的数量关系。新课标中特别增加“总量=分量+分量”的数量关系，旨在使学生在解决实际问题的过程中逐步建构加法模型。在教学中，教师关注实践应用课和解决实际问题中的同质梳理，形成“一图二式四型”的认知策略，“一图”是一幅直观图，“二式”是加法和减法的模型关系式，“四型”指四类解决实际问题的类型，如图6，利用数形结合思想，让学生利用学具摆一摆或画图圈一圈等方式，直观认知总量等于各分量之和的加法模型；随着实际问题的变式，学生自然迁移总结“分量=总量-分量”的减法模型，并在操作活动中发现“求原来有多少”“求减数的实际问题”等四种实践应用课的问题本质都是加法模型的变式，在类推中深刻感悟模型的应用价值与意义。（四）建立知识联系，拓展学生思维1.以点连线，全课梳理新课标指出，要整体把握教学内容，关注教学内容的结构化。除每课时需要有意识地把握结构化的核心外，复习总结课是学生整体梳理所学知识的有效场域。学生在教师的引导下搭建从点连线、由线连网的学习支架，借助数形结合的思维导图，以有形的方式把获取的知识技能由随处的散落到吸附的聚集，促进联系，生成结构，看见生长。在教学除法学习之后的复习建构课时，如图7，教师使用分圆片的操作让学生进入平均分的学习，不管是除法中的包含除还是等分除，平均分时减少的过程对应的减法算式都是一样的。学生从中深刻感知除法与减法只是表达形式不同，但本质是一致的。这里以除法为基，让学生眼中见联结，心中有梳理，建构四则运算的结构脉络，提升运算能力。2.以迁构型，延伸思维教师的教和学生的学统一组成有效的教学活动，这是学习的基础。学生的学习还应是一个主动的过程，沿着既定目标能到达所想的地方，自行建构知识联结。当学生理解了四则运算的意义，初步感受到运算之间的关系后，教师应用数形结合，引导学生观察数轴（图8），引导学生思考该如何