北京市朝阳区2021-2022学年度第一学期期末质量检测高三数学试卷

北京市朝阳区2021-2022学年度第一学期期末质量检测

高三数学试卷2022.1

（考试时间120分钟满分150；｝）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.

l.（1+i）2=

A.-2B.2C.-2iD.2i

2.双曲线工-二=1的渐近线方程为

169

3439

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±—x

,43516

"在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1

次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为

A.\B•得D4

4.已知抛物线）3=4x上一点M与焦点F的距离为4,则点M到x轴的距离是

A.2&B.2x/3C.4D.12

g)\xWl,若/⑸W2,

5.设函数/。）=«则实数x的取值范围是

log2X,X>\.

A.[-!.+»)B.(0,4]C.[-1,4]D.F4]

6.在直角坐标平面」内，O为坐标原点，已知点苧），将向量OA绕原点按逆时针

方向旋转］得到04,则04的坐标为

1.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%,若耍使水中杂质减

少到原来的10%以下，则至少需要过滤

（参考数据：lg2=0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

X.若函数f（x）=asinx+"osx的最大值为2,则下列结论不一定成立的是（）

2

A.a1+h2=4B.abW2C.(a+b)2W8D.(a-b)^4

9.已知平面向量n,b满足同=2,。与a-b的夹角为12。,记次=/a+（I-/）瓦QwR）,则同的取值范围

为

A.[A/3,+OO）B.[后,+8）C.[l,+8）

10.如图.将半径为1的球与楼长为1的正方体组合在一起,使正方冰的一

个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为

A.—71+1B.—71+—C.—n+1D.冗+1

6668

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.

11.在（X+」）5的展开式中，K的系数为.

X

12.己知圆。:/十丁='（「＞（））,直线/：），=”+&,则使“圆C上至少有3个点到直线/距离都

是1”成立的一个充分条件是“，='

13.如图，正方形ABC。的边长为2,取正方形ABCQ各边的中点及AG,",作第2个正方形EAG”,

然后再取正方形EFGH各边的中点/作第3个正方形IJKL，依

此方法一直继续下去.则第4个正方形的面积是：从正方形

开始，连续8个正方形面积之和是.

14.如图，在四棱锥--A4c”中，底面A8C?）为止方形，R1_L底面

ABCD,PA=AB=2,£为线段P8的中点，厂为线段AC上的动点,

平面与平面PBC〔填“垂直”或“不垂直”）；

^AEF的面积的最大值为.

B

15.已知函数/(x)=sin(®r+*)(0>Oja<g)的部分图象如图所示，设g*)=|/(刈,

给出以下四个结论：

©函数g(x)的最小正周期是:：

函数g。)在区间(福,粤)上单调递增:

②

1X9

函数g(x)的图象过点(0,立)：

2

直线、=害为函数g(.r)的图象的一条对称轴.

④

IO

其中所有正确结论的序号是

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(本小题满分13分)

记△/$(?的内角AaC的对边分别为已知a=2/-l,Z?=4/,c=4/+l(r>l).

(I)当1=3时，求cos8；

(II)是否存在正整数/,使得角C为钝角？如果存在，求出/的值，并求此时△ABC的面积；如果

不存在，说明理由.

17.(本小题满分13分)

“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向

所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新

培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人

作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情

况如下：

了蓼加活动天数

1天2~4天5天

课后服务活动

仅参加学业辅导10人1：人4人

仅参加体育锻炼5人12人1人

仅参加实践能力创新培养3人12人1人

（I）从全校学生中随机抽取I人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；

（II）从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的

人数，求X的分布列和数学期望；

（III）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有〃（0〈〃勺4）人在本月选择仅参加学业辅导，样

本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化.从全校学生中隧机抽取3人，以频率估计概率,

以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以丫表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，

试判断方差"（X）,现丫）的大小关系（结论不耍求讦明）.

18.（本小题满分14分）

刍变（chumeng）是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有袤有广,

而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条核「

如图，在刍盥ABCDEF中,四边形A8cz）是正方形，平面所正和平面交于.

（I）求证：CD〃平面WE;

（II）若/止=4,EF=2,ED=FC，人尸=36,再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知,

使得刍要ABCDEF存在，并求平面ADE和平而BAE夹角的余弦值.

条件①：BF±FC,AF±FC.

条件②：平而COEJ■平面48a）：

条件③：平面C8k_L平面

19.（本小题满分15分）

22

己知曲线W：——+—=1（阳eR,inw0.且m#3）.

3-inm

（I）若曲线W是焦点在x轴上的椭圆，求，〃的取值范围;

（H）当小=1时，过点印,0）作斜率为4（女工0）的直线/交曲线W于点A8（AB异于顶点），交直

线x=2于。.过点P作），轴的垂线,垂足为Q，直线4Q交x轴于C,直线BQ交x轴于D,求线段CD

中点M的坐标.

20.(本小题满分15分)

已知函数/(x)=21nx-x-l