高中数学函数及其表示知识点

函数及其表示

(-)知识梳理

1.函数的概念

(1)函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则对于集合A中的尤，在集合8

中都有的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到8的一个函数，通常记为

(2)函数的定义域、值域

在函数y=/(x),xeA中，x叫做自变量，xA叫做y=/(x)的定义域；与尤的值相

对应的y值叫做函数值，{/(x)|xeA}称为函数y=f(x)的值域。

(3)函数的三要素：、和

2.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

3.分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

4.映射的概念

设A、3是两个集合，如果按照某种对应法则对于集合是中的任意元素,在集合B中都

有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为了:AfB,f

表示对应法则

注意：(1)A中元素必须都有象且唯一；(2)B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

(二)考点分析

考点1：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1)/(x)=V?>g(x)=V?;

Ixlfl

⑵/⑴g⑴=3x>0,

x<0;

(3)f(x)=VxJx+1，g(x)=ylx2+x；

(4)f(x)=x2-2x-l,g(t)=t2-2t-\

(5)/(X)=2闻//I,g(x)=(2"祗)2"T"GN*)；

考点2:映射的概念

例1.下述两个个对应是A到B的映射吗？

(1)A=R,B={_y|y>0},/:xfy=|x|；

(2)A={x|x>0},B={y\yeR},f:x^y-±\/x.

例2.若A={1,2,3,4}，B={a,b,c],a,b,c&R,则A到B的映射有一个，B到A的映射有一个

例3.设集合M={-1,0,1},TV={-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对M中的

每个元素x与它在N中的象/(x)的和都为奇数，则映射/的个数是()

(A)8个(3)12个(。)16个(018个

考点3：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

(1)方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际

操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零

指数幕中，底数不等于0；⑤负分数指数嘉中，底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成，则定

义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研

究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.函数“力=/2一4+」一的定义域为()

x3

A.[2,+oo)U(-oo，-2]B.[2,3)U(3,+8)

C.(TO,-2]U[2,3)U(3,+8)D.(-oo,-2]

(+1)

例2、函数/(x)=f°的定义域是()

TkR

A.{xIx<O}B.{xIx>O}C.{X|%<0且工力一1}D.{%|彳70且1k一1}

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1.已知y=/(x+2)的定义域是[a,b],求函数y=/(x)的定义域

例2.已知y=/(2x—1)的定义域是(-2,0),求y=/(2x+l)的定义域

例3、已知函数y=/(x+l)的定义域为卜2,3],则y=—的定义域是一

考点4：求函数解析式

方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；

(2)若已知复合函数/Ig(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；

(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(x)

题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1.己知函数〃力是一次函数，且/"(x)]=9x+4,求“X)表达式.

例2.已知/(x)是一次函数且2/(2)—3〃l)=5,2/(O)—/(—1)=1,贝叭x)=()

A.3x+2B.3x—2C.2x+3D.2x—3

例3.二次函数f(x)满足f(x+l)-f(x)=2x,且f(O)=l.

⑴求f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x)>2x+5.

例4.己知g(x)=-f—3,/U)是二次函数，当xG[—1,2]时，/U)的最小值为1,且f(x)+g(x)为奇函

数，求函数的表达式.

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1.已知二次函数/(x)满足/(2》+1)=4/-6x+5,求/(*)

例2.己知/+1)=%一1,则/(x)=。

1Y1_y2

例3.已知/(一)=匕二，则/(x)的解析式可取为________

1-X1+X

题型3：求抽象函数解析式

例1.已知函数/(x)满足f(x)+2/(3=3x,求f(x)

X

例2、己知：2/(x)+3/(-x)=x1,求表达式.

例3.设函数/(灯与g(x)的定义域是xeR且xw±l,/(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且

J(x)+g(x)1,求/(尤)和gQ)的解析式

1.2函数及其表示

一、选择题

1、函数y=/(x)的图象与直线x=〃z的交点个数为()

A.可能无数个B.只有一个C.至多一个D.至少一个

2、设乂=何与《》42},汽={)，0WyW2},函数/(x)的定义域为M,值域为N,则/(x)的图

4、已知“X)是一次函数且2/(2)-3/⑴=5,2/(0)-/(-1)=1,贝犷(力=()

A.3x+2B.3x—2C.2x+3D.2x—3

1_Yx<]1

5、设函数"一，则/—7-r的值为()

x~+x—2,x>l/(2)

-58

-ca8

--27一-

A.16B.9

116

6、一个面积为100。/的等腰梯形，上底长为xcm,下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示

成x的函数为()

A.y=50x(x>0)B.y=100x(x>0)

50/八、100z八、

C.y——(x>0)D.y-(x>0)

7、函数〃x)=Jf—4+上的定义域为()

A.[2,+oo)U(e-2]B.[2,3)U(3，+8)

C.[2,3)U(3，+8)US，-2]D.(-oo,-2]

x+l,(x>0)

8、设/(尤)=«肛(尤=0),则/{/[/(一1)]}的值是()

0,(x<0)

A.7T4~1B.0C.7tD.—1

二、填空题

9、已知函数/(X)、g(x)分别由下表给出：

X123X123

“X)211“X)321

则/[g。)]的值为___________，当g[/(x)]=2时，x=

10^已知了(6+1)=》一1,贝炉(*)=

11、函数/(x)=20[3：二2的定义域为

三、解答题

12、若函数y=/(x)=f+(a+2)x+3,x€[a,。]的图象关于直线x=l对称，求b的值。

13、已知/(x)是一次函数，且/{/[./■(x)]}=8x+7,求/(x)的解析式。

考点5：求函数的值域

1.求值域的几种常用方法

(1)配方法：对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,

例1、y=-x2-2x+3

2

例2、y=-2x+8x-5(1)xG[-1,1](2)xe[1,4J(3)xG[4,8J

(3)换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数

例5、y=x-\-—2x例6、/(x)=2x-3+V4x-13

(4)分段函数分别求函数值域，

例7、y=+3|+—5]

[2x—x2(0<x<3)

例8、函数/(x)=<,的值域是()