高中数学易错题举例解析学生版

高中数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容

易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。下面通过几个

例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。

•忽视等价性变形，导致错误。

［言？｛：；07>°，但｛常与｛：；/>3不等价。

V

【例1】已知f(x)=ax+石，若一3〈/(1)40,3</(2)<6,求/(3)的范围。

•忽视隐含条件，导致结果错误。

【例2】

(1)设a、，是方程一一2日+左+6=0的两个实根，则(。一1尸+(尸一1尸的最小值是

49

(A)---(B)8(C)18(D)不存在

4

(2)已知(x+2)，?=1,求x'+yz的取值范围。

•忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

【例3］已知：a>0，b>0,a+b=l,求(a+《)、(b+；¥的最小值。

・不进行分类讨论，导致错误

【例4】(1)已知数列｛4｝的前九项和S“=2"+1,求

(2)实数。为何值时，圆/+/一2℃+。2-1=0与抛物线>2=。》有两个公共点。

・以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案,

从而表现出思维的不严密性。

【例5】⑴设等比数列｛凡｝的前〃项和为S,,.若S3+S6=2Sg,求数列的公比q.

(2)求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点。

《章节易错训练题》

1、已知集合M=｛直线｝,N=｛圆｝,则MCN中元素个数是

(A)0(B)0或1(C)0或2(D)0或1或2

2、已知A=｛x|V+tx+1=0｝,若ADR*=?,则实数t集合T=—。

3、如果kx、2kx—(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是

(A)-iWkWO(B)-Kk<0(C)-ICkWO(D)-l<k<0

4、命题—1|<3,命题B:(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要条件，则。的取

值范围是

(A)(4,+oo)(B)[4,-Fw)(C)(-oo,-4)(D)(-oo,-4]

5、若不等式—一log；<0在(0,内恒成立，则实数。的取值范围是

(A),1](B)(1,+?)(0(+，1)(D)(1,l)U(l,2)

6、若不等式(-1)7<2+-(二？-对于任意正整数n恒成立，则实数。的取值范围是

(A)[-2,13](B)(-2,]3)(C)[-3,3](D)(-3,3)

7、已知定义在实数集R上的函数/(x)满足：/(1)=1;当x<0时，/(x)<0；对于任意的

实数X、3都有/(*+丫)=/(%)+/(加。证明：/(x)为奇函数。

1—2x

8、已知函数f(x)=YTI,则函数/(x)的单调区间是o

9、函数y=d/耍《2—1)的单调递增区间是。

flog2(X+2)X>0

10、已知函数f(x)=(x,f(x)的反函数Ff(x)=o

[才一]

11、函数f(x)=logL(/+己*+2)值域为R,则实数a的取值范围是(A)(-

2

2^2,2^2)(B)[-272,2^2]

(C)(-?,一2乖)U(272,+?)(D)(-?,-2y)2)U[2^2,+?]

12、若x20,yNO且广2片1,那么2A+3/的最小值为

39

(力)2(5)(O-5)0

x2+4Y+3

13、函数尸土2士2的值域是。

x~+x-6

X

14、函数y=sinx(1+tanxtan-)的最小正周期是

?

(A)Q(B)?(02?(D)3

15、已知f(x)是周期为2的奇函数，当x?[0,1]时，F(才)=2则f(logi23)

2

,、23/、16/、16/、23

(A)而⑻药(C)一云⑻-正

16、已知函数/。)=公3+加2-3%在》=±1处取得极值。

(1)讨论/⑴和/(一1)是函数/(X)的极大值还是极小值；

(2)过点4(0,16)作曲线y=/(x)的切线，求此切线方程。(2004天津)

j\/3…sin?cos?

17、已知tan(?-3)=-则tan?=；----———~7—=

35——3cos/—zsmZ——o

18、若3sin2?+2sin2?-2sin?=0,则cos2?+cos27的最小值是

19、已知sin?+cos?=7,??(0,小、贝ljcot?=。

5

20、在aABC中，用a、b、。和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2、

b=叵、4=工，则NB=

4

.TC_p,57c,、乃f11万

(A)—(B)—(C)—或一(D)一或一

126661212

b>0,a+b=l,则(a+'¥+(b+1)2的最小值是_______。

21、已知a>0,

a

4

22、已知xWk?(k?Z),函数y=sin2x+s必的最小值是一_____O

2Q

23、求丁=——+—厂的最小值。

sinxcos~x

24、已知a1=1,ap=a1+2n-I(n^2),则an二。

25、已知一9、功、/、-1四个实数成等差数列，一9、从、民、县、-1五个实数成等比

数列，则bz(a—3)=

9Q

(A)—8(B)8(C)—­(D)-

oo

26、已知｛a„｝是等比数列，S.是其前n项和,判断S”S2k-Sk,Sw-S”成等比数列吗？

27、己知定义在R上的函数/(x)和数列｛。“｝满足下列条件：

<2,=a,an=/(a“_])(〃=2,3,4,-),a2^ax,f(a„)—f(a„-i)=k(a„—a„-i)(n=2,3,

—),其中a为常数，k为非零常数。(1)令a=6用-a”(〃eN*),证明数列｛。,,｝是等

比数列；(2)求数列｛七｝的通项公式；(3)当|左|<1时，求lima,,。

〃一KC

28、不等式而一面一3m)又(m2-4m+3)/+10成立的实数m的取值集合是。

(2+2)

29、/是虚数单位，(-—--1-+-jJ)r-1的虚部为()

(A)-1(B)-i(C)-3(D)-3i

30、求实数m,使方程/+(机+4i)x+l+2加=0至少有一个实根。

31、和a=(3,-4)平行的单位向量是；和a=(3,—4)垂直的单位向量是

_________O

32、将函数y=4x-8的图象£按向量a平移到/,£的函数表达式为y=4x,则向量F。

33>已知|。|=1,b=V2,若〃〃万，求。B。

34、在正三棱锥A-BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF±DE,若BC=a,则正三棱锥A-

BCD的体积为。

35、在直二面角？一AB—?的棱AB上取一点P,过P分别在？、?两个平面内作与棱成

45°的斜线PC、PD,那么NCPD的大小为

(A)45?(B)60?(C)120?(D)60?或120?

36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDL底面ABCD,PD=DC,E是

PC的中点，作EFLPB交PB于点F。

(1)证明PA〃平面EDB；

(2)证明PB_L平面EFD；

(3)求二面角C—PB—D的大小。

V2

37、若方程二+/=1表示椭圆，则勿的范围是_______。

HI

v2

38、已知椭圆—+y2=1的离心率为、分彳，则加的值为。

39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点8与两焦点£、氏组成的

9，

三角形的周长为4+273且NRBR=彳，则椭圆的方程是。

40、椭圆的中心是原点0,它的短轴长为2贬,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线/与

x轴相交于点A,|0F|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若丽•丽=0,求直线PQ的方程；

(3)设赤=4而(2>1),过点P且平行于准线/的直线与椭圆相交于另一点M,

证明前=一之而。

41、已知双曲线的右准线为x=4,右焦点厂(10,0),离心率e=2,求双曲线方程。

42、求与y轴相切于右侧，并与。C:/+：/一6x=0也相切的圆的圆心

的轨迹方程。

43、(如图3—2—2),具有公共y轴的两个直角坐标平面a和夕所成的二面角轴一，

等于60°.已知夕内的曲线C'的方程是丁=2px'(p>0),

的曲线方程。

44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率6=立

2

已知点P(0,g)到这个椭圆上的最远距离是近，求这个椭圆

的方程。

图3~2~2

《章节易错训练题》参考答案（注意事项）

1、A（集合元素的确定性）

2、｛*>—2｝（空集）

3、C（等号）

4、C（等号）

5、A（等号）

6、A（等号）

7、（特殊与一般关系）

8、递减区间（一?，-1）和（—1,+?）（单调性、单调区间）

9、［一/，-1）（定义域）

r2'—2x>l

（漏反函数定义域即原函数值域）

11、D（正确使用△》（）和△<（））

12、B（隐含条件）

22

13、（-8,-）U（-,l）U（l,+o°）（定义域）

14、C（定义域）

15、D（对数运算）

16、（求极值或最值推理判断不充分（建议列表）；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）

17、噂-、雪-（化齐次式）

/O

14

18、g（隐含条件）

19、（隐含条件）

20、B（隐含条件）

21.y（三相等）

22、5（三相等）

23、Omin=18.

24、2"—1（认清项数）

25、A（符号）

26、当4=-1,k为偶数时，Sk=0,则Sk,Szk-Sk,Ssk-S2k不成等比数列；

当qW-l或q=-l且k为奇数时，贝!ISk,S2k-Sk,SSLS2k成等比数列。

（忽视公比q=