2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题3　基本初等函数（2份打包原卷版+含解析）

2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题3基本初等函数（2份打包，原卷版+含解析）一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=2\sqrt{3x-1}$的定义域为$(a,b]$，则$a$的取值为：（A）$\frac{1}{3}$（B）$\frac{2}{3}$（C）$1$（D）$2$2.函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$的图像为：（A）（B）（C）（D）二、填空题要求：请直接写出各小题答案。3.函数$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$的值域为______。4.已知函数$y=\sin^2x-\cos^2x$，则$y=\sin2x$的值为______。三、解答题要求：请写出解答过程。5.（1）若函数$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$的定义域为$[a,b]$，求$a+b$的值。（2）若函数$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$在$(0,1)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。6.已知函数$h(x)=2^x-2^x\cos2x$，求证：$h(x)$在$R$上为增函数。7.已知函数$F(x)=x^3-3ax^2+3x-a$在$(0,2)$上单调递减，求实数$a$的取值范围。四、解答题要求：请写出解答过程。8.（1）若函数$y=\frac{x}{x+1}$的图像与直线$y=kx+b$相交于点$A$和点$B$，其中点$A$在$x$轴上方，点$B$在$x$轴下方，且$AB$的中点坐标为$(2,0)$，求直线$y=kx+b$的方程。（2）若函数$y=\sqrt{1-x^2}$的图像与直线$y=mx$相交于点$C$和点$D$，且$CD$的长度为$\sqrt{3}$，求实数$m$的取值范围。五、解答题要求：请写出解答过程。9.（1）已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$的极值。（2）若函数$g(x)=ax^2+bx+c$在区间$[-1,2]$上单调递增，且$g(0)=3$，$g(1)=2$，求实数$a$、$b$、$c$的值。六、解答题要求：请写出解答过程。10.（1）已知函数$h(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$，求$h(x)$的导数。（2）若函数$F(x)=e^x-\ln(x+1)$在区间$[0,2]$上存在两个不同的零点，求实数$x$的取值范围。本次试卷答案如下：一、选择题1.答案：（B）$\frac{2}{3}$解析：函数$f(x)=2\sqrt{3x-1}$的定义域要求根号内的表达式非负，即$3x-1\geq0$，解得$x\geq\frac{1}{3}$。因此，定义域为$[\frac{1}{3},+\infty)$，所以$a=\frac{1}{3}$。2.答案：（C）解析：函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$的底数小于1，所以函数是递减的。当$x=0$时，$y=\log_{\frac{1}{2}}(1)=0$，所以图像过点$(0,0)$。由于底数小于1，图像在$x$轴的右侧，故选C。二、填空题3.答案：$[0,+\infty)$解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$可以重写为$f(x)=\sqrt{(x-2)^2-1}$，由于平方根内的表达式非负，所以$x^2-4x+3\geq0$，解得$x\leq1$或$x\geq3$。因此，函数的值域为$[0,+\infty)$。4.答案：$-1$解析：由于$\sin^2x-\cos^2x=\sin2x$，所以直接代入$\sin2x$的值即可得到$y=\sin2x$的值为$-1$。三、解答题5.答案：（1）$a+b=2$解析：由$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$的定义域可知，$x-1>0$且$x-2>0$，解得$x>1$且$x>2$，所以$a=2$。又因为定义域为$[a,b]$，所以$b$是定义域的上界，即$b$是$x$的最大值，所以$b=3$，因此$a+b=2+3=5$。（2）$a\leq0$解析：函数$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$在$(0,1)$上单调递增，意味着其导数$g'(x)$在$(0,1)$上非负。计算导数得$g'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，由于$x^2$和$(x+1)^2$在$(0,1)$上都是正数，所以$g'(x)>0$，即$a\leq0$。6.答案：$h(x)$在$R$上为增函数解析：函数$h(x)=2^x-2^x\cos2x$的导数为$h'(x)=2^x\ln2-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$。由于$2^x$总是正数，而$\ln2$也是正数，因此$h'(x)$的符号取决于$-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$。由于$\cos2x$和$\sin2x$的取值范围在$[-1,1]$之间，所以$-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$总是非负的，从而$h'(x)\geq0$，即$h(x)$在$R$上为增函数。四、解答题8.答案：（1）$y=2x-2$解析：由于$AB$的中点坐标为$(2,0)$，所以$A$和$B$的横坐标之和为$4$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则有$x_1+x_2=4$。又因为$A$和$B$在函数$y=\frac{x}{x+1}$的图像上，所以$y_1=\frac{x_1}{x_1+1}$，$y_2=\frac{x_2}{x_2+1}$。由于$AB$的中点坐标为$(2,0)$，所以$y_1+y_2=0$，即$\frac{x_1}{x_1+1}+\frac{x_2}{x_2+1}=0$。解这个方程组得到$x_1=2$，$x_2=2$，所以$A$和$B$的坐标都是$(2,0)$，因此直线$y=kx+b$的方程为$y=2x-2$。（2）$m\in[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$解析：函数$y=\sqrt{1-x^2}$的图像是单位圆的上半部分，直线$y=mx$与单位圆相交于点$C$和点$D$。由于$CD$的长度为$\sqrt{3}$，所以$C$和$D$到原点的距离都是$1$。这意味着$C$和$D$的坐标满足$x^2+y^2=1$和$y=mx$。将$y=mx$代入$x^2+y^2=1$得到$(1+m^2)x^2-mx=0$。由于$C$和$D$是不同的点，所以$x$不能为$0$，因此$m^2=1$，解得$m=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。五、解答题9.答案：（1）极大值$f(1)=0$，极小值$f(-1)=-3$解析：函数$f(x)=x^3-3x+1$的导数为$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$得到$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。由于$f'(x)$在$x=-1$时由负变正，所以$x=-1$是极小值点，$f(-1)=-3$；在$x=1$时由正变负，所以$x=1$是极大值点，$f(1)=0$。（2）$a=1$，$b=-2$，$c=3$解析：由于$g(x)=ax^2+bx+c$在区间$[-1,2]$上单调递增，所以$a>0$。又因为$g(0)=3$，$g(1)=2$，所以$c=3$，$a+b+c=2$。又因为$g(2)=2a+2b+c$，且$g(x)$在$[-1,2]$上单调递增，所以$g(2)>g(1)$，即$2a+2b+c>2$。结合$a+b+c=2$，解得$a=1$，$b=-2$。六、解答题10.答案：（1）$h'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$解析：函数$h(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$的导数为$h'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$。将两个分数合并得到$h'(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{-2}{x^2-1}$。（2）$x\in(0,1)\cup(1,2)$解析：函数$F(x)=e^x-\ln(x+1)$的导数为$F'(x)=e^x-\frac{1}{x+1}$。由于$e^x$总是正数，而$\frac{