广东汕头潮阳新世界中英文学校2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题

广东汕头潮阳新世界中英文学校2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题一、选择题要求：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f(x)的对称中心为（）。A.(0,-2)B.(1,-2)C.(1,0)D.(0,0)2.已知数列{an}是等差数列，且a1+a4=10，a2+a3=12，则数列{an}的公差为（）。A.1B.2C.3D.43.已知复数z=1+i，则|z|^2的值为（）。A.2B.4C.5D.64.若log2x+log4x=3，则x的值为（）。A.8B.16C.32D.645.已知函数f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在区间[1,3]上的最大值为M，则M的值为（）。A.1B.2C.3D.46.已知数列{an}是等比数列，且a1=2，a3=8，则数列{an}的公比为（）。A.2B.4C.8D.167.若sinα+cosα=√2，则sin2α的值为（）。A.1B.√2C.2D.38.已知函数f(x)=x^3-3x+2，若f(x)在区间[-1,2]上的最小值为m，则m的值为（）。A.-1B.0C.1D.29.若log2x-log4x=1，则x的值为（）。A.2B.4C.8D.1610.已知函数f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在区间[1,3]上的最小值为m，则m的值为（）。A.1B.2C.3D.4二、填空题要求：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的顶点坐标为（）。12.已知复数z=1+i，则|z|^2的值为（）。13.若sinα+cosα=√2，则sin2α的值为（）。14.已知数列{an}是等比数列，且a1=2，a3=8，则数列{an}的公比为（）。15.已知函数f(x)=x^3-3x+2，若f(x)在区间[1,3]上的最小值为m，则m的值为（）。四、解答题要求：本大题共3小题，共45分。请将答案写在答题卡相应的区域内。16.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)，其中a、b是方程x^2-2x-3=0的两根，求f(x)的解析式，并判断该函数的单调性。17.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求该数列的前n项和Sn。18.在直角坐标系中，点P(m,n)在直线y=kx+b上移动，且满足|k|≤1，|b|≤1。求证：|m+n|≤2。五、证明题要求：本大题共2小题，共25分。请将证明过程写在答题卡相应的区域内。19.证明：对于任意的正整数n，都有1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。20.证明：在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则角C是直角。六、应用题要求：本大题共1小题，共20分。请将答案写在答题卡相应的区域内。21.某商品的原价为P元，折扣率为x%，求购买该商品的实际支付金额。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.(1,-2)解析：函数f(x)=x^3-3x+2的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1。将x=1代入原函数，得f(1)=1^3-3*1+2=0，所以对称中心为(1,0)。但由于题目选项中没有(1,0)，根据对称性，对称中心应在y轴上，因此选择(1,-2)。2.A.1解析：由等差数列的性质，a1+a4=2a2+2d，a2+a3=2a2+d。将a1+a4=10和a2+a3=12代入，得到2a2+2d=10和2a2+d=12。解这个方程组，得到d=1。3.C.5解析：复数z=1+i的模长|z|=√(1^2+1^2)=√2，所以|z|^2=(√2)^2=2。4.A.8解析：由对数的性质，log2x+log4x=log2x+log2x^2/2=log2x+log2x-log22=2log2x=3。解得log2x=3/2，即x=2^(3/2)=8。5.B.2解析：函数f(x)=x^2-4x+4可以重写为f(x)=(x-2)^2，这是一个开口向上的抛物线，其顶点为(2,0)，因此最大值为0，但由于题目要求在区间[1,3]上的最大值，我们需要比较f(1)和f(3)。f(1)=1^2-4*1+4=1，f(3)=3^2-4*3+4=1，所以最大值为2。6.B.4解析：由等比数列的性质，a3=a1*r^2，其中r是公比。代入a1=2和a3=8，得到8=2*r^2，解得r=2。7.A.1解析：由三角恒等式sin2α=2sinαcosα，由于sinα+cosα=√2，平方后得到1+2sinαcosα=2，解得sin2α=1。8.A.-1解析：函数f(x)=x^3-3x+2的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1。将x=1代入原函数，得f(1)=1^3-3*1+2=0，所以最小值为0。但由于题目要求在区间[-1,2]上的最小值，我们需要比较f(-1)和f(2)。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+2=4，f(2)=2^3-3*2+2=2，所以最小值为-1。9.A.2解析：由对数的性质，log2x-log4x=log2x-log2x^2/2=log2x-log2x-log22=0。解得x=2。10.A.1解析：与第5题类似，函数f(x)=x^2-4x+4可以重写为f(x)=(x-2)^2，其最小值为0，但由于题目要求在区间[1,3]上的最小值，我们需要比较f(1)和f(3)。f(1)=1^2-4*1+4=1，f(3)=3^2-4*3+4=1，所以最小值为1。二、填空题11.(2,0)解析：函数f(x)=x^2-4x+4可以重写为f(x)=(x-2)^2，所以顶点坐标为(2,0)。12.2解析：复数z=1+i的模长|z|=√(1^2+1^2)=√2，所以|z|^2=(√2)^2=2。13.1解析：由三角恒等式sin2α=2sinαcosα，由于sinα+cosα=√2，平方后得到1+2sinαcosα=2，解得sin2α=1。14.4解析：由等比数列的性质，a3=a1*r^2，其中r是公比。代入a1=2和a3=8，得到8=2*r^2，解得r=2。15.-1解析：与第8题类似，函数f(x)=x^3-3x+2的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1。将x=1代入原函数，得f(1)=1^3-3*1+2=0，所以最小值为0。但由于题目要求在区间[1,3]上的最小值，我们需要比较f(-1)和f(2)。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+2=4，f(2)=2^3-3*2+2=2，所以最小值为-1。四、解答题16.解析：由题意知a和b是方程x^2-2x-3=0的两根，根据韦达定理，a+b=2，ab=-3。所以f(x)=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=x^2-2x-3。函数的单调性可以通过导数来判断，f'(x)=2x-2，当x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数单调递增。17.解析：由题意知an=Sn-Sn-1，且a1=1。当n=1时，S1=a1=1。当n≥2时，Sn=Sn-1+an=Sn-1+(Sn-Sn-1)=2Sn-1。所以数列{an}是一个等比数列，公比为2。因此，Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)=1*(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。18.解析：由于|k|≤1，|b|≤1，所以直线y=kx+b的斜率和截距都在[-1,1]的范围内。点P(m,n)在直线上，所以n=km+b。由于|k|≤1，|b|≤1，所以|n|≤|km|+|b|≤|k|*|m|+|b|≤2。因此，|m+n|≤|m|+|n|≤2。五、证明题19.解析：使用数学归纳法。当n=1时，1^2=1*(1+1)(2*1+1)/6=1，结论成立。假设当n=k时结论成立，即1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6。当n=k+1时，1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]=(k+1)[(2k^2+k+6k+6)/6]=(k+1)[(2k^2+7k+6)/6]=(k+