第04讲 导数中构造函数比大小问题题型总结-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第04讲导数中构造函数比大小问题题型总结-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）一、选择题要求：在下列各题中，每个选项都有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将其选出。1.已知函数f(x)=x^3-3x，则f(x)在x=1处的导数为：A.-2B.0C.2D.32.设函数f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=2处取得极值，则该极值为：A.-3B.1C.3D.53.已知函数f(x)=e^x-x，则f(x)的单调递增区间为：A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(0,+∞)和(-∞,0)4.设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(x)的对称轴为：A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=-25.已知函数f(x)=ln(x)在x=1处的导数为：A.1B.0C.-1D.不存在二、填空题要求：请将下列各题的答案填入空白处。6.函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数值为______。7.设函数f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=2处取得极值，则该极值为______。8.函数f(x)=e^x-x的单调递增区间为______。9.函数f(x)=x^2+2x+1的对称轴为______。10.函数f(x)=ln(x)在x=1处的导数值为______。三、解答题要求：请将下列各题的答案详细写出。11.已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的导函数f'(x)，并求f(x)在x=1处的导数值。12.设函数f(x)=2x^2-3x+1，求f(x)的导函数f'(x)，并判断f(x)在x=1处的极值类型。13.已知函数f(x)=e^x-x，求f(x)的导函数f'(x)，并判断f(x)的单调性。14.设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的导函数f'(x)，并求f(x)的对称轴。15.已知函数f(x)=ln(x)，求f(x)的导函数f'(x)，并求f(x)在x=1处的导数值。四、证明题要求：证明下列各题中的结论。16.证明：若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)存在。17.证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内恒大于0，则f(x)在(a,b)内单调递增。五、计算题要求：计算下列各题中的导数。18.计算函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=2处的导数。19.计算函数f(x)=(x-1)^3在x=0处的导数。20.计算函数f(x)=e^(2x)在x=ln2处的导数。六、综合题要求：结合所学知识，解决下列综合问题。21.已知函数f(x)=x^2+3x-4，求f(x)的导函数f'(x)，并判断f(x)在x=1处的极值类型。22.设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(x)的导函数f'(x)，并求f(x)在区间(-∞,+∞)上的最大值和最小值。23.已知函数f(x)=ln(x^2+1)，求f(x)的导函数f'(x)，并求f(x)在x=1处的切线方程。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.0解析：f(x)=x^3-3x的导数f'(x)=3x^2-3，将x=1代入得f'(1)=3*1^2-3=0。2.A.-3解析：f(x)=2x^2-3x+1的导数f'(x)=4x-3，将x=2代入得f'(2)=4*2-3=5。由于f'(x)在x=2处从负变正，故f(x)在x=2处取得极小值，f(2)=2*2^2-3*2+1=-3。3.B.(0,+∞)解析：f(x)=e^x-x的导数f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得e^x=1，即x=0。当x>0时，e^x>1，f'(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增。4.C.x=1解析：f(x)=x^2+2x+1是一个完全平方公式，其对称轴为x=-b/2a，即x=-2/(2*1)=-1。5.A.1解析：f(x)=ln(x)的导数f'(x)=1/x，将x=1代入得f'(1)=1/1=1。二、填空题6.0解析：f(x)=x^3-3x的导数f'(x)=3x^2-3，将x=0代入得f'(0)=3*0^2-3=0。7.-3解析：与选择题2解析相同。8.(0,+∞)解析：与选择题3解析相同。9.x=1解析：与选择题4解析相同。10.1解析：与选择题5解析相同。三、解答题11.f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0解析：f(x)=x^3-3x的导数f'(x)=3x^2-3，将x=1代入得f'(1)=3*1^2-3=0。12.f'(x)=4x-3，f(x)在x=1处取得极小值解析：f(x)=2x^2-3x+1的导数f'(x)=4x-3，令f'(x)=0得x=3/4。由于f'(x)在x=3/4处从负变正，故f(x)在x=3/4处取得极小值。13.f'(x)=e^x-1，f(x)在(0,+∞)上单调递增解析：f(x)=e^x-x的导数f'(x)=e^x-1，由于e^x总是大于1，故f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增。14.f'(x)=2x+2，对称轴x=-1解析：f(x)=x^2+2x+1的导数f'(x)=2x+2，对称轴为x=-b/2a，即x=-2/(2*1)=-1。15.f'(x)=1/x，f'(1)=1解析：f(x)=ln(x)的导数f'(x)=1/x，将x=1代入得f'(1)=1/1=1。四、证明题16.证明：若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)存在。解析：由导数的定义知，f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h，由于f(x)在x=a处可导，故存在该极限，即f'(a)存在。17.证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内恒大于0，则f(x)在(a,b)内单调递增。解析：由导数的定义知，若f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增。因为f'(x)恒大于0，所以f(x)在(a,b)内单调递增。五、计算题18.f'(2)=16-24+12-4=0解析：f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的导数f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，将x=2代入得f'(2)=4*2^3-12*2^2+12*2-4=0。19.f'(0)=(-1)^3=-1解析：f(x)=(x-1)^3的导数f'(x)=3(x-1)^2，将x=0代入得f'(0)=3*(-1)^2=-1。20.f'(ln2)=2e^(2ln2)=4解析：f(x)=e^(2x)的导数f'(x)=2e^(2x)，将x=ln2代入得f'(ln2)=2e^(2ln2)=4。六、综合题21.f'(x)=2x+3，f(x)在x=1处取得极大值解析：f(x)=x^2+3x-4的导数f'(x)=2x+3，令f'(x)=0得x=-3/2。由于f'(x)在x=-3/2处从正变负，故f(x)在x=-3/2处取得极大值。22.f'(x)=6x-2，f(x)在x=1/3处取得最小值，f(x)在x=1/3处取得最大值解析：f(x)=3x^2-2x+1的导数f'(x)=6x-2，令f'(x)=0得x=1/3。由于f'(x)在x=1/3处从负变正，故f(x)在x=1/3处取得最小值，f(1/3)=3*(1/3)^2-2*(1/3)+1=1/3。同理，f(x)在x=1/3处取得最大值。23.f'(x)