广东省广州市天河区2021-2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（无答案）

广东省广州市天河区2021--2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（无答案）一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），若$\Delta=b^2-4ac=0$，则函数图像与$x$轴的交点情况是（）。A.两个不同的交点B.一个交点C.两个相同的交点D.没有交点2.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点为$B$，则$B$的坐标是（）。A.$(-1,-2)$B.$(-2,-1)$C.$(1,-2)$D.$(2,-1)$3.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1+a_5+a_9=24$，则$a_5$的值为（）。A.6B.8C.10D.124.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cosA$的值为（）。A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$5.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=27$，$a_4+a_5+a_6=81$，则$q$的值为（）。A.2B.3C.4D.6二、填空题要求：将正确答案填入空格中。6.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1=2$，$a_5=10$，则$a_{10}$的值为______。7.在直角坐标系中，点$P(1,2)$关于原点的对称点为$Q$，则$Q$的坐标为______。8.若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1=3$，$a_3=9$，则$q$的值为______。9.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，则$\cosB$的值为______。10.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(3,0)$，则$f(2)$的值为______。三、解答题要求：解答下列各题。11.（1）已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求$f(-1)$的值。（2）若函数$g(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(3,0)$，求$g(2)$的值。12.（1）已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1=2$，$a_5=10$，求$a_{10}$的值。（2）已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1=3$，$a_3=9$，求$q$的值。13.（1）在直角坐标系中，点$P(1,2)$关于直线$x+y=1$的对称点为$Q$，求$Q$的坐标。（2）在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于原点的对称点为$B$，求$B$的坐标。14.（1）在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\cosB$的值。（2）在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\cosA$的值。四、应用题要求：解答下列各题，要求步骤完整，格式规范。15.（1）某商店为促销，对购买某种商品实行满100元返10元现金的活动。如果小王同学原计划花费600元购买这种商品，那么他可以省下多少钱？（2）如果小王同学想要通过这个活动获得最大的现金返还，他至少需要花费多少钱？16.（1）某工厂生产一批产品，前三天生产了80件，之后每天比前一天多生产20件。求第5天生产的产品数量。（2）如果这个工厂每天生产的产品数量形成一个等差数列，且首项为80，公差为20，求第10天生产的产品数量。五、证明题要求：证明下列各题，证明过程要求严谨，步骤清晰。17.证明：在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，则$\angleC=90^\circ$。18.证明：等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。六、综合题要求：解答下列综合题，综合运用所学知识。19.（1）某城市计划修建一条从市中心到郊区的地铁线路。已知市中心到郊区的直线距离为15公里，地铁线路需要穿过一片森林和一片农田。森林内的地形复杂，不适合修建地铁，农田内修建地铁需要占用耕地。如果地铁线路的宽度为5米，每公里地铁线路的成本为1000万元，那么修建这条地铁线路的总成本是多少？（2）为了减少对农田的占用，设计师提出了一种优化方案：在市中心修建一个地铁换乘站，然后在换乘站附近修建一条地下隧道，最后再修建一条地铁线路连接到郊区。已知地下隧道的长度为10公里，每公里地铁线路的成本为1500万元，其他成本保持不变。请计算优化方案的总成本，并与原来的方案进行比较，说明哪种方案更经济。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：当$\Delta=b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，即函数图像与$x$轴有一个交点。2.A解析：点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点$B$的坐标可以通过以下步骤求得：-首先，找到直线$x+y=1$的斜率，即$-1$。-然后，找到直线$x+y=1$的法线斜率，即$1$。-接着，通过点$A$和法线斜率写出法线方程：$y-3=1(x-2)$，即$y=x+1$。-找到法线与直线$x+y=1$的交点$M$，解方程组$\begin{cases}x+y=1\\y=x+1\end{cases}$，得$M(0,1)$。-最后，通过点$A$和点$M$找到对称点$B$，由于$A$和$B$关于$M$对称，所以$B$的坐标为$(-1,-2)$。3.B解析：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，所以$a_5=a_1+4d$。由$a_1+a_5+a_9=24$得$2a_1+8d=24$，解得$a_5=8$。4.A解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$\cosA=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{3}{5}$。5.A解析：等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，所以$a_3=a_1q^2$。由$a_1+a_2+a_3=27$得$a_1(1+q+q^2)=27$，由$a_4+a_5+a_6=81$得$a_1q^3(1+q+q^2)=81$。将两个等式相除，得$q=2$。二、填空题6.18解析：由等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_{10}=2+9d$。由$a_5=10$得$2+4d=10$，解得$d=2$，代入得$a_{10}=2+9\times2=18$。7.(-1,-2)解析：点$P(1,2)$关于原点的对称点$Q$的坐标为$(-1,-2)$，因为对称点的横坐标和纵坐标都是原点坐标的相反数。8.3解析：由等比数列的通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$，得$a_3=a_1q^2$。由$a_1=3$，$a_3=9$得$q^2=3$，解得$q=3$。9.$\frac{3}{5}$解析：由余弦定理，$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。代入$a=5$，$b=7$，$c=8$，得$\cosB=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\times5\times8}=\frac{3}{5}$。10.8解析：由一元二次方程的根与系数的关系，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。已知$x_1=1$，$x_2=3$，所以$a+b+c=0$。代入$f(2)$得$f(2)=4a+2b+c=8$。三、解答题11.（1）$f(-1)=2(-1)^2-3(-1)+1=2+3+1=6$解析：直接代入$x=-1$到函数$f(x)=2x^2-3x+1$中计算。12.（2）$q=3$解析：由等比数列的通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$，得$a_3=a_1q^2$。由$a_1=3$，$a_3=9$得$q^2=3$，解得$q=3$。13.（1）$Q(-1,-2)$解析：点$P(1,2)$关于直线$x+y=1$的对称点$Q$的坐标可以通过以下步骤求得：-找到直线$x+y=1$的斜率，即$-1$。-找到直线$x+y=1$的法线斜率，即$1$。-通过点$P$和法线斜率写出法线方程：$y-2=1(x-1)$，即$y=x+1$。-找到法线与直线$x+y=1$的交点$M$，解方程组$\begin{cases}x+y=1\\y=x+1\end{cases}$，得$M(0,1)$。-通过点$P$和点$M$找到对称点$Q$，由于$P$和$Q$关于$M$对称，所以$Q$的坐标为$(-1,-2)$。14.（1）$\cosA=\frac{4}{5}$解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$\cosA=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{4}{5}$。四、应用题15.（1）小王可以省下$60$元。解析：小王原计划花费$600$元，每满$100$元返$10$元，所以可以省下$600\div100\times10=60$元。16.（1）第$5$天生产的产品数量为$120$件。解析：由等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_5=80+(5-1)\times20=120$。五、证明题17.证明：在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，则$\angleC=90^\circ$。解析：由勾股定理的逆定理，若$a^2+b^2=c^2$，则$\angleC=90^\circ$。18.证明：等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。解析：由等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-1)d)$。将$S_n$乘以$2$，得$2S_n=2a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-1)d)$。将$2S_n$与$S_n$相减，得$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。六、综合题19.（1）修建地铁线路的总成本为$1.5$亿元。解析：地铁线路的长度为$15$公里，每公里成本为$1000$万元，所以总成本为$15\times1000=15000$