云南省迪庆州藏文中学2024-2025学年高二下学期期中检测数学试题（解析）

第页，共页迪庆州藏文中学2024-2025学年下期中试卷高二数学考试范围：人教A版2019必修第一．二册和选择性必修第一，二册；考试时间：120分钟，总分：150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，则.故选：C.2.数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数列的前项进行猜想，由此求得正确答案.【详解】将，，，可以写成成，，，所以的通项公式为.故选：C3.已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数导函数，代入计算可得.【详解】由，可得，又，所以，解得.故选：A.4.在等比数列中，若，，则（）A.4 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等比数列下标和性质运算求解即可.【详解】因数列为等比数列，且，，则，所以.故选：D.5.下列函数中，是偶函数的是（）A.（） B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解.【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误；对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误；对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确；对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误.故选：C.6.已知函数，则最小值为（）A.2 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式，求得，进而求得函数的最小值，得到答案.【详解】因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故选：D.7.已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的概念求解即可.【详解】因为参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，所以按分层抽样，老年人被抽到人数是人，故选：A8.圆与圆的公共弦所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】两圆方程相减即可求解；【详解】由圆与圆方程相减可得：，所以公共弦所在的直线方程为，故选：A二、多选题9.如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（）A.在区间上是增函数B.是的极小值点C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.是的极小值点【答案】BC【解析】【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解.【详解】根据图象知当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误.故选：BC.10.已知无穷等差数列的前项和为，，，则（）A.数列单调递减 B.数列没有最小值C.数列单调递减 D.数列有最大值【答案】ABD【解析】【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】由题意，对于无穷等差数列，,因为，所以数列单调递减，且无穷递减，所以没有最小值，故选项A、B均正确；对于数列，，为关于二次函数，其对称轴为，因为，，所以该二次函数的图象开口向下，则有最大值，所以选项C错误，选项D正确.故选：ABD11.已知双曲线，则下列结论正确的是（）A.双曲线离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为C.双曲线的实轴长为2 D.双曲线的右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线方程先求出，，，然后逐项分析即可.【详解】由双曲线的方程可得，，，，所以，，，离心率，A正确；因为渐近线方程为，B正确；实轴长，C错误；因为右焦点为，不妨取渐近线，即，所以点到渐近线的距离，D正确.故选：ABD.三、填空题12.记等差数列的前项和为，若，，则_________．【答案】14【解析】【分析】根据等差数列的通项求出首项与公差，再根据等差数列前项和即可得解.【详解】设公差为，由，，得，解得，所以，所以．故答案为：13.曲线在点处的切线方程为_____.【答案】（或）【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程.【详解】易得，，故曲线在点处的切线方程为.故答案为：（或）14.设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为___________.【答案】【解析】【分析】由已知条件可证是二面角的平面角，在中，，即可求出的大小．【详解】平面，，又是正方形，，平面，平面，，是二面角的平面角．在中，，，二面角的大小为，故答案为：．四、解答题15.已知函数在处取得极值.（1）求的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）.（2）单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】【分析】（1）利用极值点处导数为0求解.（2）利用导数与函数单调性的关系进行求解.【小问1详解】由题可得，在处的值为0.则有，解得.经检验满足题意.【小问2详解】由（1）有：，所以，令，解得.由有：，由有：，所以x0小于00大于0单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.16.已知抛物线：的焦点坐标为．（1）求的方程；（2）直线：与交于A，B两点，若（为坐标原点），求实数的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标即可求解，进而可得抛物线方程，（2）联立直线与抛物线的方程，得，，进而根据向量数量积的坐标运算即可求解.【小问1详解】由抛物线的定义可得，所以，所以抛物线的方程为．【小问2详解】设，．联立方程组得消去得，由，得．所以，．所以，解得或（舍去）．故实数的值为7．17.已知直线过点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为2，求.【答案】（1）（2）或20【解析】【分析】（1）先由题意，设直线的方程为，再由直线过点，即可求出结果；（2）先由题意，设直线的方程为，再由直线过点，求出，根据两平行线间的距离公式，即可求出结果.【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以设所求直线的方程为，∵直线过点，∴，即.所以的方程为：；（2）因为直线与直线平行，所以可设所求的直线的方程为，因为直线过点，则有，得.又与直线间的距离为2，∴，解得或20.【点睛】本题主要考查求直线的方程，以及由两平行线间的距离求参数的问题，熟记直线的斜截式与一般式，以及两平行线间的距离公式即可，属于常考题型.18.等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项．（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由题意，利用等差数列通项公式将，用，表示，联立方程组解得，，可得通项公式，进而可求得，的值，可求得的通项公式；（2）由于，可用分组求和算得的前n项和.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得：，解得，，所以，；又且，，所以，所以．【小问2详解】因为，所以.19.已知向量，函数.（1）求的最小正周期T；（2）求函数在的单调增区间；（3）求函数在的值域．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角