浙江省新力量联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析）

第页，共页2024学年第二学期温州新力量联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位,若复数z满足,则=A.-2i B.2i C.-2 D.2【答案】A【解析】【详解】由得,即,所以,故选A.【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.2.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据数量积的定义结合充分条件、必要条件的概念可得结果.【详解】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故不能得到.综上得，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长．【详解】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，底边长，高，所以，直角三角形的周长为．故选：A．4.“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由点线面的关系把文字语言翻译成符号语言即可.【详解】平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内，符号表达为：，，故选：C5.在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【详解】因为O是AC的中点，，又由可得E是DO的中点，.故选：B.6.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D.【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；对于B，根据正弦定理得，，又，，B有两解，故B符合题意；对于C，由正弦定理：得：，C只有一解，故C不符合题意.对于D，根据正弦定理得，，又，，D只有一解，故D不符合题意.故选：B7.设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量夹角余弦公式得到，由同角三角函数关系得到正弦值，进而代入公式求出答案.【详解】，故，所以，故.故选：D8.已知点为外接圆的圆心，角所对的边分别为，且，若，则当角取到最大值时的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设的中点为，运用向量的线性运算和向量的数量积运算律表示，求得，再由余弦定理和余弦函数的性质可求得答案.【详解】如下图所示：设的中点为，，因为，所以，由知，角为锐角，所以，当且仅当，即时，取得最小值，因为在上是减函数，所以此时，角取得最大值，此时恰有，此时三角形是直角三角形，所以.故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（

）A.直线与是相交直线 B.直线与是异面直线C.与平行 D.直线与共面【答案】BD【解析】【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D.【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上，A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误；对于B，三点在平面内，不在直线上，M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确；对于C，取的中点E，连接，又N为的中点，则有，，所以四边形是平行四边形，所以，，则与不平行，故C错误；对于D，连接，因为M，N分别为棱的中点，所以，由正方体的性质可知：，所以，则有四点共面，所以直线与共面，故D正确.故选：BD10.已知复数，下列结论正确的有（）A. B.若，则C. D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘法运算及共轭复数的概念判断选项D.【详解】设，对于A，，，故选项A正确；对于B，因为，则，则或，所以中至少有一个0，即或，故选项B不正确；对于C，由复数模的运算性质可知，，=，所以，故选项C正确；对于D，当，则，可得，解得，即，所以，故选项D正确.故选：ACD.11.已知内角所对的边分别为内一点满足与交于点，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理即可判断A；由平面向量线性运算即可判断D；由平面向量线性运算及数量积的运算律即可判断B；由三角形面积公式即可判断C．【详解】因为，所以由正弦定理得，故A正确；所以，所以，故D正确；所以，故B错误；由D知，是的平分线，所以，整理得，故C错误；故选：AD．非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角A，B，C所对边分别为的面积__________.【答案】##【解析】【分析】由三角形的面积公式求解即可.【详解】，故答案为：13.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求得，利用直角三角形求得树高.【详解】在中，由正弦定理得：，即，即又，则，则树高m，故答案为：14.在中，为内一点，且，若，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】先根据向量数量积的运算性质，结合已知条件得出与的关系式，再利用基本不等式求解的最大值.【详解】因为，根据向量垂直的性质可知，那么.对两边同时平方由可得.展开可得：.将，，，代入上式可得：，即，化简得.设，，则.根据基本不等式（当且仅当时取等号），可得：.所以，当且仅当时取等号.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角为，且，.（1）求；（2）；（3）求向量与向量的夹角.【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）由数量积公式直接得答案；（2）由，再结合（1）的结论可求得答案；（3）由向量夹角公式结合数量积公式即可求得答案.【小问1详解】因为向量与的夹角为，且，，则.【小问2详解】.【小问3详解】设向量与向量的夹角，可得，且，则，所以向量与向量的夹角为.16.正四棱锥中，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.（1）求四棱锥的表面积（2）求四面体的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，因为，所以，然后计算出四个侧面三角形的面积，计算表面积即可；（2）由于为上靠近的三等分点，所以，由体积公式求解即可.【小问1详解】取的中点，连接，所以，因为，所以，所以，，所以四棱锥的表面积为；【小问2详解】因为，所以，又为上靠近的三等分点，所以，17.在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位.（1）求；（2）当为何值时，关于的二次方程有一个实根.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）需要先计算和，再求它们差的模；（2）设出实根，代入方程，根据复数相等的条件求解.【小问1详解】【小问2详解】设是二次方程的一个实根，将代入方程得：由复数相等的意义得：，解得：所以当时，原方程有一实根18.已知分别为锐角三个内角的对边，且.（1）求；（2）若；（i）求周长的取值范围.（ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合三角函数求角即可；（2）（i）先根据正弦定理得出2R的值，把转化为含的三角函数式.利用将化为，化简得到.再根据锐角三角形条件确定范围，进而得到范围，求出范围，最后得出周长范围.（ii）当周长最大时三角形是等边三角形，建立直角坐标系确定、坐标，得出向量、，计算数量积，通过配方求最小值.【小问1详解】.由正弦定理得在中，代入上式化简得：sinC因为，所以，即为锐角，【小问2详解】（i）由正弦定理得所以是锐角三角形，即所以周长的取值范围为.（ii）当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，由题意可知，设，则所以，当时，取最小值所以的最小值是19.据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为.（1）类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；（直接写结果）（2）在该“球锥”中，当球缺的体积是圆锥的体积2倍时，求的值；（3）已知一个棱长为正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，结合锥体体积公式得“球锥”的体积.（2）根据球缺体积是圆锥体积的2倍这一条件，结合球缺和圆锥体积公式列出等式，通过化简求解的值.（3）根据正四面体与“球锥”的内接关系，利用正四面体的外接圆半径和高的性质，分析得出存在棱长唯一的正四面体内接“球锥”时的取值范围.【小问1详解】把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积，所有小