2024-2025学年初中几何真题巩固提升：经典例题 模型分析（含解析）

模型01侧M型【模型分析】模型一“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD例1．（2020·辽宁大连市·七年级期末）如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此可解答．如图，过点C作CF∥AB∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°，选B【小结】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.

例2．（2020·湖北武汉市·七年级期末）如图，，平分，，，则__________．【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解过E点作EM∥AB∴∠B=∠BEM∵AB∥CD∴EM∥CD，∴∠MED=∠D∴∠BED=∠B+∠D∵EF平分∠BED∴∠DEF=∠BED∵∠DEF+∠D=66°∴∠BED+∠D=66°∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°∵∠B-∠D=28°∴∠B=54°，∠D=26°∴∠BED=80°（）【小结】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．例3．（2020·洛阳市第五中学九年级期中）已知：如图1，，．（1）判断图中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；

（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．（1）AB∥CD，EF∥HL，

证明如下：∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；

延长EF交CD于F1，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；（2）∠P=3∠Q，

证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，

∴∠RM=∠QMB，RQ∥CD，

∴∠RQN=∠QND，

∴∠MQN=∠QMB+∠QND，

∵AB∥CD，PL∥AB，

∴AB∥CD∥PL，

∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，

∴∠MPN=∠PMB+∠PND，

∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，

∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，

∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q；【小结】本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．

【巩固提升】1．（2020·广西柳州市·七年级期末）如图所示，如果AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．过点E作EF∥AB，

∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），

∵∠β=∠AEF+∠FED，

又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，选C【小结】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．

2．（2020·河南郑州市·七年级期末）如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（）A．101° B．103° C．105° D．107°【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．如图，∵直线a∥b，

∴∠AMO=∠2；

∵∠ANM=∠1，∠1=43°，∴∠ANM=43°，

∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，

∴∠2=∠AMO=103°，选B．【小结】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．

3．（2020·浙江绍兴市·七年级期末）如图，已知AB//CD，，，，则____度．如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，，，又∵，，∴，，∴，，∴，即：，∴．【小结】本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．

4．（2015·山西九年级专题练习）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠=_________.【分析】延长CB交直线m于D，根据根据两直线平行，内错角相等解答即可，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两（）个内角的和列式求出∠α．如图，延长CB交直线m于D，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵l∥m，∴∠1=40°．∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°．

5．（2020·辽宁辽阳市·七年级期末）请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．（1）在图（1）中，与有何关系？（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º；（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，即∠B+∠A+∠C=360º；（4）如图（4），设BE与AC相交于D，∵与平行，∴∠C=∠ADE，∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；（5）如图（5），设CF与AB相交于D，∵与平行，∴∠B=∠ADF，∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．【小结】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．6．（2020·云南昆明市·七年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接问题提出:（1）请直接写出点的坐标，，及四边形的面积﹔拓展延伸:（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由.迁移应用:（3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.【分析】（1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标，可证四边形ABDC是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解；

（2）先计算出S△MAC=2，然后分M在x轴或y轴上两种情况，根据三角形面积公式列方程求解，从而确定M的坐标；

（3）作PE∥AB，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．（1）由题意可知：C点坐标为，D点坐标为（4，2），∴AB=4，OC=2S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8（2）存在，且，①当点在轴上时，令，或，点坐标为②当点在轴上时，令，或b=1，此时点坐标为综上，点M的坐标为（3）结论①正确，过点作交与点∵AB∥CD，，，【小结】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，也考查了坐标与图形性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．专题02笔尖型【模型分析】模型二“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD【经典例题】例1．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，已知，则的度数是（）A． B． C． D．【分析】由题意过点C作CF//AB，可得CF//ED，进而利用平行线性质进行分析计算即可过点C作CF//AB，∵CF//AB，，∴CF//ED，∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°∵∠2=∠FCD+∠ACF，∴=∠1+∠ACF+∠FCD+∠3=180°+180°=360°，选C【小结】本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行时，巧妙构造辅助线，熟练运用平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．

例2．（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小如图，根据题意可知：AB∥EF分别过点C，D作AB的平行线CG，DH所以AB∥CG∥DH∥EF则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°【小结】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．

例3．（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍

（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度过E作EH∥AB（如图②）

∵原四边形是长方形

∴AB∥CD

又∵EH∥AB

∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

∵EH∥AB

∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵CD∥EH

∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°

又∵∠1+∠2=∠AEC

∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°

（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度

【小结】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．

【巩固提升】1．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（）.A．30° B．40° C．50° D．65°【分析】过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．如图，过点B作直线，∵直线m//n，，∴，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B=90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵，∴∠1=∠4=40°，选B【小结】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．2．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（）A． B． C． D．【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．【小结】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．

3．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，已知，那么_______度．【分析】分别过E、F作AB的平行线，运用平行线的性质求解．作EM∥AB，FN∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥EM∥FN∥CD．

∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，

∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．

故答案为540°．【小结】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．

4．（2020·辽宁大连市·七年级期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知点分别在上，．求的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现，由可求出的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”小华：∵如图4，也能求出的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．（）（1）由图中虚线可知PQ//AC，∴小明同学辅助线的做法为过点作，（2）如图2，过点作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，（3）如图，设，过点作，∵，即．【小结】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

5．（2020·山西吕梁市·七年级期末）综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．【分析】（1）过作，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；（2）过作，过点作，根据两直线平行，内错角相等性质解得，再根据角平分线性质，求得，最后再用平行线定理解题，证明，进而计算的值即可．（1）如图1，过作，，，图1（2）如图2，过作，过点作设，，，，，平分，平分，，，平分，，，，，，，图2【小结】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

6．（2020·湖南岳阳市·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．【分析】（1）过点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得和的度数，进一步可以得到的度数；（2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以：，所以，所以，；（2）①，理由如下：如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：，∵，∴；②分两种情况讨论：第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：；第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：【小结】本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．

7．（2020·江苏淮安市·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；（）小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β【小结】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．模型03和角平分线有关的图形【模型分析】模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部·“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD

【经典例题】例1．（·石家庄润德学校八年级期中）如图，O是的，的平分线交点，交BC于点D，交BC于点E．若，则周长是（）A．16 B．10 C．8 D．以上都不对【分析】根据题意判断出和是等腰三角形，再转化的边长即可平分，，是等腰三角形，同理可得：是等腰三角形，，选A【小结】考查等腰三角形判定与性质，能够从平行线与角平分线中辨别出等腰三角形是关键例2．（2020·余干县第六中学八年级月考）如图，中，，与分别是与的平分线，，．则的周长是__________．【分析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，显然△ODE的周长即为BC的长度∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠BOD∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD，∴∠ABO＝∠BOD，∴BD＝OD则同理可得CE＝OE，∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6【小结】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键例3．（·河南商丘市·八年级期中）（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F．图中有________个等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有_____个等腰三角形．它们是_____________．EF与BE、CF间的关系是___________________．（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F．这时图中有_______个等腰三角形．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【分析】（1）根据题意易得∠ABC=∠ACB，由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分线可得∠ABO=∠OBC，∠OCB=∠ACO，进而可根据等腰三角形的判定可进行求解（2）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解（3）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解（1）∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形∵EF∥BC∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB∴∠AEF=∠AFE，∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO∴AE=AF，EB=EO，FO=FC∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形∴故答案为5（2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB∵EF∥BC∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO∴EO=EB，同理可得FO=FC∴△EBO、△FOC都是等腰三角形∴故答案为2，，（3），理由如下,如图∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠1=∠2∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，∴∠EOB=∠EBO，∴EO=EB同理可得FO=FC∴△EBO、△FOC都是等腰三角形∴故答案为2【小结】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这题属于“双平等腰”的经典模型【巩固提升】1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在钝角△ABC中，延长BA到D，AE是∠DAC的平分线，AE//BC，则与∠B相等的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解依据角平分线的性质和平行线的性质可知∠B=∠DAE=∠CAE=∠C选C【小结】此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质2．（2020·河南开封市·九年级二模）如图，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．70°【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数∵BM平分∠ABC∴∠MBA＝∠ABC＝35°∵BM∥AD∴∠A＝∠MBA＝35°选B【小结】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键3．（2020·江苏盐城市·八年级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为_________．【分析】由题意易得BE=EG，DF=DC，然后由线段的数量关系可求解∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠GBC，∴∠ABG=∠EGB∴BE=EG，同理可得DF=DC∵BE=3，ED=5∴GD=ED-EG=5-3=2，∴FG=FD-DG=4-2=2【小结】本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定，数量掌握角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这属于典型的“双平等腰”模型4．（2014·陕西九年级专题练习）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于_________【分析】根据平行线和角平分线得到等腰三角形进行解题.∵AB∥CD，∴∠BEG=∠2又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠2又∵AB∥CD，∴∠1+2∠2=180°∵∠1=50°，∴∠2=65°5．（2020·沈阳第一二七中学七年级期中）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于C，D（1）①∠ABN的度数是；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠CBD的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是．【分析】（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；（2）由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；（4）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．（1）①∵AM//BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，（2）∵AM//BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，∵AM//BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∴∠CBD＝58°，∴∠ABC+∠DBN＝58°，∴∠ABC＝29°，【小结】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．

6．（·四川资阳市·七年级期末）阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为180°”，在学行线的性质之后，可以对这一结论进行推理论证．请阅读下面的推理过程：如图①，过点A作DEBC∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即：三角形三个内角的和为180°．阅读反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系．方法运用：如图②，已知ABDE，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CFAB）深化拓展：如图③，已知ABCD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，且点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．【分析】方法运用：过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；深化拓展：过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求∠BED的度数．

方法运用：过点C作CF∥AB∴∠B=∠BCF∵CF∥AB且AB∥DE∴CF∥DE∴∠D=∠DCF∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°∴∠B+∠BCD+∠D=360°深化拓展：过点E作EF∥AB∴∠BEF=∠ABE又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠BEF=∠ABE=∠ABC=30°∵EF∥AB，AB∥CD∴EF∥CD∴∠DEF=∠EDC又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°∴∠DEF=∠EDC=∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°【小结】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键．模型04数字变化类【模型分析】1．需要熟记的数字规律：（1）正整数：1,2,3，···，n（n≥1，且n为整数），前个数的和为；（2）奇数：1,3,5,7,9，··．，2n-1（n≥1，且n为整数），前n个数的和为；（3）偶数：2,4,6,8，···，2n（n≥1，且n为整数），前n个数的和为n（n＋1）．2．解决数字规律题的策略：具体策略：①分别观察分子、分母的特征；②注意相邻项的变化特征，如递增时可考虑以an＋b（a，b为常数）的形式递增或以，等形式递增；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值的特征；⑤对于分式可考虑化异分母为同分母，还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于正负号交替出现的情况，可用或（n为正整数）来处理．3．等式变化规律题：（1）先找到等式左边变化特点；（2）再找打等式右边变化特点；（3）最后看看等式左右两边的内在联系；

【经典例题】例1．（2020·宁波·七年级期末）如图，平面内有公共端点六条射线，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…则数字“2020”在（）A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上【分析】通过观察已知图形，发现共有六条射线，数字依次落在每条射线上，因此六个数字依次循环，算出2020有多少个循环即可．通过观察已知图形，发现共有六条射线，∴数字1-2020每六个数字一个循环．∵2020÷6=336…4，∴2020在射线OD上．选C．【小结】本题考查了数字的变化类，通过考察数字的所在线段，考查学生观察和总结能力，解决问题的关键是计算出6个数字一个循环．题目整体较为简单，适合随堂训练．

例2．（2020·武汉一初慧泉中学七年级月考）观察下面三行数：2、－4，8、－16、32、－64、……①1、－5、7、－17、31、－65、……②－3、9、－15、33、－63、129、……③取①、②、③行的第9个数分别记为，，，则的值为______．【分析】先观察三行数，总结出第①行数的规律，再把第①行与第②行，第③行联系在一起，发现它们的内在联系，从而分别表示三行数中的第9个数，求解，再代入求值即可得到答案．由规律可知：第①行第n个数为：，第②行第n个数为：，第③行第n个数为：，①、②、③行的第9个数分别记为，，，，，，【小结】本题考查数字的变化规律探究，同时考查了有理数的加减运算，乘方运算，去括号，整式的加减运算，掌握利用由具体到一般的探究方法找出题目中数字的变化规律是解题关键．

例3．（2020·福州华南实验中学七年级月考）观察下面三行有规律的数：-2，4，-8，16，-32，64，……①-4，2，-10，14，-34，62，……②4，-8，16，-32，64，-128，……③（1）第一行数的第10个数是__________；（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n个数是_____________；（3）取每行的第100个数，计算这三个数和．【分析】（1）通过观察可知第一行数据的规律是，进而可以得出答案；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，便可得出答案；（3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可．（1）∵-2，4，-8，16，-32，64，……，∴该组数据的规律是：，，，，，，……，∴第一行数的第10个数是；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，则第二行的第10个数是，第三行的第n个数是，（3）∵第一行数的第100个数是，第二行的第100个数是，第三行的第100个数是∴，即这三个数的和为－2．【小结】本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键．【巩固提升】1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）观察下面一组数：，2，，4，，6，…将这组数排成如图的形式，按图中规律排下去，则第6行中从左边数第3个数是（）第1行第2行24第3行68第4行10121416……A． B．28 C． D．34【分析】观察这组数的排列规律，第n行有n个数，且第n行的最后一个数的绝对值为，且奇数行为负，偶数行为正，据此先推出第5行的最后一个数，即可解题．由图可知，第n行的最后一个数的绝对值为，且奇数行为负，偶数行为正，因此第5行的最后一个数是-25，故第6行的第一个数为26，第二个数为-27，第三个数为28，选B【小结】本题考查数字类的规律题，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

2．（2020·武汉一初慧泉中学七年级月考）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…以此类推，则的值为（）A．－1007 B．－1008 C．－1009 D．－2018【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值从而得到的答案…以此类推，发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值是其顺序数的一半的相反数，即则选C【小结】本题考查的是数字的变化规律型，同时考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，乘法运算，掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．

3．（2020·四川成都市·棠湖中学七年级月考）将正偶数按下表排列成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行32302826……根据上面的规律，则2020应在第________行，第_______列．【分析】根据图表中的信息可得出：表中每一行4个连续偶数，奇数行第一列空，从左到右增大；偶数行第五列空，从左到右减小，利用算式与，即可得出2020在第253行第3列．观察图表知：正偶数的排列规律是：每一行排列4个连续偶数，奇数行第一列空，从左到右增大；偶数行第五列空，从左到右减小，∵，，∴2020是第1010个正偶数，排在第253行，而253是奇数，∴2020应在第253行，第3列．【小结】本题主要考查了数字变化类的一些规律问题，能够找出其内在规律，从而熟练求解．

4．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学七年级月考）对于每个正整数n，设表示的末位数字．例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），……则__________，的值是__________．【分析】首先根据已知得出规律，f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，进而求出即可．∵（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），，，，，，，…，∴每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0…．∵，则，∵，∴．【小结】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．5．（2021·辽宁大连市·八年级期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2021年1月份的日历，任意选择图中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的2倍作差，例如：3×l9+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不难发现，结果都是﹣100．（1）如图2，设日历中所示图形中间的数字为x，请用含x的式子表示发现的规律；（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．【分析】（1）根据中间数字为x，分别表示出题中所述的四个数字，再按照题意列式即可；（2）利用乘法公式计算所列式子，验证即可．（1）设图形中间的数字为x，则周围四个数字可依次表示为：，则规律表示为：，故；（2）对于上式，左边==右边，故规律成立．【小结】本题考查整式乘法相关的规律问题，仔细审题，准确用代数式表示出各位置上的数是解题关键．

6．（2020·河南省直辖县级行政单位·八年级月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律例如（如图），在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．（1）根据上面的规律，写出的展开式；（2）利用上面的规律计算：．【分析】（1）由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n-1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）3的各项系数依次为1、3、3、1，因此（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；

（2）将25-5×24+10×23-10×22+5×2-1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．（1）根据杨辉三角，（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．

故；（2）各项系数依次为：1、5、10、10、5、1．故原式．【小结】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．模型05算式变化类【模型分析】1．需要熟记的数字规律：（1）正整数：1,2,3，···，n（n≥1，且n为整数），前个数的和为；（2）奇数：1,3,5,7,9，··．，2n-1（n≥1，且n为整数），前n个数的和为；（3）偶数：2,4,6,8，···，2n（n≥1，且n为整数），前n个数的和为n（n＋1）．2．解决数字规律题的策略：具体策略：①分别观察分子、分母的特征；②注意相邻项的变化特征，如递增时可考虑以an＋b（a，b为常数）的形式递增或以，等形式递增；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值的特征；⑤对于分式可考虑化异分母为同分母，还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于正负号交替出现的情况，可用或（n为正整数）来处理．3．等式变化规律题：（1）先找到等式左边变化特点；（2）再找打等式右边变化特点；（3）最后看看等式左右两边的内在联系；

【经典例题】例1．（2020·河南洛阳市·九年级月考）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（）A．351 B．350 C．325 D．300【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解①＝1②＝3＝1+2③＝6＝1+2+3④＝10＝1+2+3+4；∴＝1+2+3+…+25＝325选C【小结】本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解例2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）观察下列算式：第1个算式：；第2个算式：；第3个算式：……按照上面的规律则第4个算式为：_________．第1个算式到第个算式结果的乘积是________．（用含的代数式表示）

【分析】（1）根据已知算式得出第4个算术即可（2）将结果乘积列式计算即可（1）第4个算式为：（2）由题意得：=【小结】此题考查代数式的计算规律探究，有理数的混合运算，发现式子的运算规律并运用规律解决问题是解题的关键例3．（2020·浙江金华市·七年级期末）观察下列各式：；；请根据这一规律计算：（1）（2）【分析】（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解

（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可（1）（2）【小结】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键【巩固提升】1．（2020·太原市育英中学校七年级期中）观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（）A． B．C． D．【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得归纳类推得：，其中n为正整数则选B【小结】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键

2．（2020·赵集中学七年级期中）“数形结合”是一种重要数学思维，观察下面的图形和算式；解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（）A．901 B．900 C．961 D．625【分析】观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可观察以下算式：发现规律：∵2n-1=59解得n=30∴，选B【小结】本题考查了规律型——图形的变化类，有理数的乘方．解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律3．（2021·全国八年级）阅读下文，寻找规律，并填空：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝___【分析】根据平方差公式和已知条件特点，便可归纳出来即可（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1故1﹣xn+1【小结】本题考查多项式乘多项式、规律型：数字的变化类、平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键4．（2020·张掖·大成中学七年级期末）观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________【分析】根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数乘法运算即可．由已知等式可知：归纳类推得：，其中n为正整数则因此【小结】此题考查是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键

5．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）阅读下列简化过程：；；；……解答下列问题：（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律________；（2）计算；（3）设，，，比较a，b，c的大小关系．【分析】(1)根据已知可得：两个连续正整数算术平方根的和的倒数，等于分子分母都乘以这两个连续正整数算术平方根的差，化简得这两个连续正整数算术平方根的差；(2)利用分母有理化分别化简，再合并同类二次根式得解；(3)将a、b、c分别化简，比较结果即可．（1）（2）（3），，，，又，，【小结】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．6．（2021·广东潮州市·八年级期末）有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；对任何正整数，第个数与第个数的和等于（1）经过探究，我们发现：，，设这列数的第个数为，那么①；②，③，则正确（填序号）．（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示（用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；（3）利用上述规律计算：的值．【分析】（1）根据题干知道即可得到结果；

（2）根据题干中的规律总结出第个数表示为，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可；

（3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以即可，再提取公因数合并各项计算即可．

（1）∵，∴；

故填：（2）第个数表示为：，证明：第个数表示为：，第个数表示为：（3）原式【小结】此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键．

模型06坐标变化类【模型分析】在解答坐标变化规律题时，应先列出变化前后一系列的坐标值，然后分别形成横、纵坐标的两个数列，以前后数之间的符号循环变化、数量关系变化、数量循环变化为观察对象，从而得出结论；【经典例题】例1．（2021·合肥市第四十五中学八年级期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点的坐标是（）A． B． C． D．【分析】根据已知分析得出横坐标为运动次数的相反数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而计算即可．根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（−1，1），第2次接着运动到点（−2，0），第3次接着运动到点（−3，2），第4次运动到点（−4，0），第5次接着运动到点（−5，1），…，∴横坐标为运动次数的相反数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∴经过第2021次运动后，动点P的纵坐标为：2021÷4＝505……1，故纵坐标为四个数中第1个，即为1，∴经过第2021次运动后，动点P的坐标是：（−2021，1），选C【小结】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．例2．（2020·成都双流中学实验学校八年级月考）如图，已知直线上，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则的坐标为_________，的坐标_________．【分析】先求出点B的坐标为（，1），得到OA=1，AB=，求出∠AOB=60°，再求出∠得到，求出(0，4)；同理得到，，（0，）；由此得到规律求出答案．将y=1代入中得x=，∴B（，1），∴OA=1，AB=，∴tan∠AOB=，∴∠AOB=60°，∵∠A1BO=90°，∴∠，∴，∴，∴(0，4)；同理：，，∴16，∴（0，），，∴点的坐标为，【小结】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键．

例3．（2020·吉林吉林市·）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示：（1）填写下列各点的坐标：A5( ， )，A9( ， )，A13( ， )；（2）写出点的坐标（n是正整数）；（3）指出蜗牛从点到点的移动方向．【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n+1的坐标（n为正整数）；（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向．（1）根据点的坐标变化可知：各点的坐标为：A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）；故2，1；4，1；6，1；（2）根据（1）发现：点A4n+1的坐标（n为正整数）为（2n，1）；（3）因为每四个点一个循环，所以2021÷4=505…1．所以蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是向上．【小结】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律．

【巩固提升】1．（2020·河南郑州市·八年级期中）育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是（）A．1009 B． C．505 D．【分析】先根据点的坐标归纳类推出一般规律，从而可得点的坐标，再根据点的坐标可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．由题意得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，归纳类推得：点的坐标为，其中n为正整数，，点的坐标为，即，又，，且的边上的高为1，则的面积为，选D【小结】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律，求出点的坐标是解题关键．

2．（2020·陕西西安市·西安高新第一学校八年级月考）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B2C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（）A．（2n﹣1，2n﹣1） B．（2n﹣1，2n﹣1）C．（2n﹣1，2n﹣1） D．（2n﹣1，2n﹣1）【分析】由的规律写出的坐标．∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴点B3的坐标为（7，4），∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．则Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1），选D．【小结】本题考查点的坐标规律探索，观察图形前面某些点的坐标，找出规律后再写出图形一般点的坐标．3．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2020的坐标为______．【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OABC，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1）连接OB，由勾股定理得：OB=，由旋转得：OB=OB=OB=OB=…=；∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB=∠BOB=…=45°，∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…余4，∴点B的坐标为（-1，1）．【小结】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。也考查了坐标与图形的变化、规律型，点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．4．（2020·黑龙江伊春市·九年级期末）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是______________．【分析】先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A18的坐标．正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．AB=1-（-1）=2，A1与B平行y轴，A1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A1（-1，-3）CA1=1-（-3）=4，A2与C平行x轴，A2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A2（-5，1）DA2=1-（-5）=6，A3与D平行y轴，A3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A3（1,7）AA3=7-（-1）=8，A4与A平行x轴，A4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A4（9，-1）A(1，﹣1)，A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），A5（-1，-11，A6（-13，1），每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，相应变化的坐标一周差8，18÷4=4…2，A18在第二象限，4×8=32，四周差32，A18的横坐标为：-5-4×8=-37，A18（-37，1），【小结】本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．5．（·广东阳江市·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，，，，，．（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形变换成三角形，求和的坐标；（2）若按第（1）题的规律将三角形进行了次变换，得到三角形，请推测和的坐标．【分析】(1)据图，A4横坐标是A3的横坐标的2倍，纵坐标相同，B4横坐标是B3的2倍，纵坐标是0；(2)由（1）知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，即可写出An、Bn的坐标．（1），它们的纵坐标都是3，而横坐标依次为．因此，，即，它们的纵坐标都是0，而横坐标依次是，因此，，即；（2）由上题规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1．所以An（2n，3），Bn（2n+1，0）．故答案分别为，．【小结】本题考查了坐标与图形性质，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数幂是解题的关键.6．（·安徽九年级零模）在直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，以与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到图形所示的图形（1）观察以上图形并填写下列各点坐标：，，，（为正整数）（2）若是这组图形中的一个三角形，当时，则，【分析】（1）结合图形，先写出、的坐标，然后结合图形可发现规律，，，的横坐标依次多4，纵坐标没变从而可得的坐标；

找出图中A、B、C的角码变化规律，然后根据可得m、k得到值．（1）由图可得，，，

由图可得，，的纵坐标不变，横坐标多一个就多4，

的坐标为，即，

故答案为2，2；6，2；，2；

（2）因为，所以当n为奇数时，

由图可得，对应，对应，对应，对应，

对应，故当时，；

对应C，B3对应，对应，，

对应，故当时，，

故答案为1010，1009．【小结】本题主要考查了轴对称与坐标的变化关系，解答此题的关键是弄清向右翻折只变横坐标，纵坐标不变．

模型07图形变化类【模型分析】解决图形规律题的步骤：（1）标序数——按图号标序；（2）找规律——观察图形，随着序号增加，后一个图形与前一个图形相比，找出图形变化规律，注意变量与不变量，将每个图中所求量的个数表示成与序数有关的式子；（3）验证——代入序号验证所归纳的式子是否正确；【经典例题】例1．（2021·重庆渝北区·八年级期末）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……，依此规律，第⑧个图案中有（）个三角形．A．19 B．21 C．22 D．25【分析】由题意可知：第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n＋1）个三角形，代入n＝8即可求得答案．∵第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…∴第n个图案有（3n＋1）个三角形．当n＝8时，3×8＋1＝25，选D．【小结】考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题．

例2．（2021·北京东城区·八年级期末）如图，，点，…在射线上，点，…在射线上，且，…均为等边三角形，以此类推，若，则的边长为_______．【分析】根据，，是等边三角形，得，进而得，，可得，以此类推即可求解．∵，，是等边三角形，∴∴∴∴同理：，，…均为等边三角形，，…则的边长为．【小结】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．

例3．（2021·安徽芜湖市·七年级期末）如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式．（1）第个图形中对应的等量关系是______．（2）根据（1）的结论，求的值．【分析】（1）根据前三幅图可知右边的式子等于左边括号内最大的数与比它大1数的积；（2）先逆用乘法分配律变形，然后根据（1）中结论计算即可；（1）∵，，，…，∴（2）【小结】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．也考查了有理数的混合运算．

【巩固提升】1．（2020·浙江台州市·七年级期末）如图，用大小相等的黑色三角形按一定规律拼成如图的图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…，依照此规律，第⑩个图案中黑色三角形的个数为（）A．50 B．55 C．58 D．61【分析】根据前3个图案中黑色三角形的个数找出规律，利用规律解题即可．第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，，第③个图案中有6个黑色三角形，，……第⑩个图案中黑色三角形的个数为，选B【小结】本题注意考查图形类规律探索，找到规律是解题的关键．2．（2021·北京房山区·八年级期末）如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（）A．2， B．4， C．， D．2，【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可．由题意可得：，，∵为等腰直角三角形，且“直角三角形三边a，b，c，满足关系”，∴根据题意可得：，∴，∴，，∴总结出，∵，，，∴归纳得出一般规律：，∴，选A【小结】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．3．（2021·山东青岛市·七年级期末）下列图形均是用长度相同的火柴棒按一定的规律搭成，搭第1个图形需要4根火柴棒，搭第2个图形需要10根火柴棒，…，依此规律，搭第10个图形需要________根火柴棒．【分析】由题意，分别求出前面几个的火柴棒数量，然后得到数量的规律，再求出第10个图形的数量即可．根据题意可知：第1个图案需4根火柴，，第2个图案需10根火柴，，第3个图案需21根火柴，，……，第n个图案需根火柴，则第10个图案需：（根）．【小结】此题考查了平面图形，图形变化规律，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．4．（2021·全国七年级）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2020＝__．【分析】先计算出C1、C2的长，进而得到规律，最后求出C2020的长即可．∵E是BC的中点，ED∥AB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，∵EF∥AC，∴四边形EDAF是菱形，∴C1＝4×，同理C2＝4××=4×，…Cn＝4×，∴．【小结】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．

5．（2021·山东青岛市·七年级期末）（问题提出）以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？（问题探究）为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手：（探究一）以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形．（探究二）以长方形ABCD的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形ABCD分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形ABCD的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况是，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PB上（如图②）；另一种情况是，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部（如图③）．显然，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形．（探究三）长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形请在图④中画出一种分割示意图.（问题解决）以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成_