抽屉原理例题

抽屉原理

抽屉原理又称鸽巢原理，最先由德国数学家狄利克雷明确地提出来的。因此，也

称为狄利克雷原理。

原理1：如果把x+k（k2l）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或

2个以上的元素。

原理2:如果把mx+k（x>k21））个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1

个或更多的元素。

例1：六年级有367名学生，①有没有两个学生的生日是同一天?②至少有多少名同学是

在同一个月出生？

［分析］①把一年的天数看成抽屉，把学生人数看成元素。一年最多有366天,把367

个元素放到366个抽屉中至少有一个抽屉中有两个元素，就是至少有两个学生的生日

是同一天。

②把一年的月份数看成抽屉，把学生数看成元素。一年有12个月，把367个元素放入

12个抽屉中,根据原理2可以求出：367+12=30……7,,即至少有31名同学是同一个

月出生。

解:①平年有365天，闰年有366天。把367名同学放入366个抽屉中，至少有一个抽

屉里有两个人，因此肯定有两个同学的生日是同一天。

②367+12=30（个）...73（名））30+1=31（名）

答:肯定有两个同学在同一天出生；至少有31名同学在同一个月出生。

［温馨提示］利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是抽屉，哪些是元素，区分清楚后按

照①构造抽屉，指出元素；②把元素放入（或取出）拍屉；③说明理由，得出结论。

练习一：

1.37只鸽子飞回6个鸽舍，至少有几只鸽子飞回同一个鸽舍？

2.从一副扑克牌（去掉大小王）中任意取出14支牌，至少有儿支是同一个花色？至少

有几支是同一个点数？

例2：夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。

规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？

［分析］本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全

相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问

题是应当搞清有多少个抽屉。因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动,

所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、

参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。

解:2000+6=333....2

333+1=334（件）

答:至少有334名营员参加的活动项目是相同的。

练习二:

1.五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学

生的绩在60分以下,其余学生的成绩均在75-95分之间。问：至少有几名学生的成绩相

同？

2.把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班

最多有多少人？

3.五⑴班张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，

做错得0分。张老师说可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同，那么，

这个班最少有多少人？

例3：一个袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球2。个，白

球10个，黑球10个,现在从袋中任意摸球出来，如果要使模出的球中，至少有15个

球的颜色相同，问至少要摸出几个球才能保证满足要求？

［分析］题目中有六种不同颜色球，其中黄球白球黑球都不到15个，红球、绿球、蓝球

多于15个。要保证15个司色球，只可能是红、绿、蓝三种球中的一种。做最坏打算,

先摸出的全是黄、白、黑球，那么把它们都摸完，即摸出10+10+12个后开始摸出有效

球。然而后面有三种颜色，为了保证一定能满足条件，再次做最坏打算，只有余下的

三种球每种达到14个，再任意摸出一个，就有某种颜色球有15个，即再次摸出14X

3+1=43（个）。

解：10+10+12+14x3+1=75（个）答:至少要摸出75个球。

［温馨提示］在解答抽屉原理问题时，除了两个基木原理外，还要遵循“最不利原则”，

即做最坏打算。如摸球时,①需要摸出同色球，最不利的是尽量摸到不同色球还能保证

一定满足条件，那么球的颜色数是抽屉;②需要摸出不同颜色球的最不利情况是老是摸

到同色球，那么每种颜色球的个数就是抽屉③要摸出某种颜色球时，最不利的情况是

摸完其他颜色球后，才能保证一定摸出需要的颜色球。

练习三：

1.有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有三粒颜色

相同，应至少摸出几粒？

2.在一个口袋里有10个黑球,6个白球,4个红球，至少取出几个球才能保证其中有白

球？

3.3.从一副扑克牌（没有大小王）中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有3张牌的花

色不同？

4.盒子里有白球12个，红球15个，黄球10个，黑球18个，蓝球9个。至少摸出多少

个球才能保证有11个球的颜色相同？

例4：有红色、黑色、白色、绿色筷子各10根混放在起。让小明闭上眼睛去拿。

①他一次至少拿几根才能保证有两双同色的筷子?②至少拿几根才能保证有两双筷

子?③至少拿儿根才能保证有两双不同色的筷子？

［分析］①要保证两双同色的筷子，就要把筷子的颜色数看作抽屉，使每种颜色模子都

有3根，再加上一根就可以了。②要保证有两双筷子，只考虑每双筷子的颜色相司，不

考虑两双是否同色，要先把筷子的颜色数看成抽屉，每种颜色一根，再加上一根就有

了第一双；此时，做最坏打算，某种颜色没有，又拿一根是缺少的那种颜色，再取一

根就有了第二双；如此反复，以后每取2根,就有了一双。③要保证有两双不同颜色的

筷子,做最坏打算，拿出的都是同一种颜色，当把某种颜色全部取完，就有了第一种颜

色的筷子，还需要另一双余下颜色的筷子，不管是余下的哪种颜色，都有了两双不同颜

色的筷子，因此第二双只要余下颜色筷子各一根，再加一根就可以了。

解:①（4-l）x4+l=13（根）

②4+1+2=7（根）

③10+3+1=14（根）

答:他一次拿13根才能保证有两双间色的筷子；②拿7根才能保证有两双筷子；③拿

14根才能保证有两双不同色的筷子。

［温馨提示］取筷子（或手套）的抽屉问题一定要认真分析题目的要求，一般有以下三

种要求:①相同颜色的筷子，就要以颜色数做抽屉，用颜色数x（双数X2-D+1解答；②

不分颜色的几双筷子，以颜色做抽屉，每种颜色一根，再加一根就有一双筷子，以后每

取2根，就增加一双筷子，即颜色数+1+（双数-1）x2；③不同颜色筷子，先取完其中一

种颜色筷子,再按余下颜色数各取一根,再加一根得到又一一双不同颜色的筷子。

练习四：

1.有五种不同颜色的筷子各20根混合在一起。①闭着眼睛至少取出多少根才能保证有

三双相同颜色的筷子?②取出多少根才能保证有3双筷子？

2.已知口袋中装有大小相同但颜色不同的手套,有黑、红、白、蓝、黄、花六种各12

只，最少要摸出多少只手套才能保证有两双不同颜色的？

3.现在有64个乒乓球，18个乒乓球盒,每个盒子最多可以放6个乒乓球（最少也要放1

个乒乓球），至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同？

综合练习

1.张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为

什么？

2.有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的有5粒相同，应

该至少摸出几粒？

2.从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同？

4.新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸2个球,这些球给人

的手感相同,有红、黄、白、蓝、绿之分，结果发现总有3个人取的球颜色相同。由此

可知，参加取球的至少有多少人？

5.某校有35名同学参加数学竞赛，如果把参赛者任意分成四个组，必然有一组的女生

多于2人，又知道参赛者任意10人中必有男生,参褰男生有多少人？

6.一个布袋于子里有红黄蓝色袜子各15只，至少要拿出多少只才能保证其中至少有2

双颜色不同的袜子？

答案

［一］

1.37+6=6……16+1=7（只）

2.同一花色：14+4=3...23+1=4（支）

同一点数：14+13=1...11+1=2（支）

（二］

L成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75~95

分之间，75~95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学

生作为物品。44+21=3……22+1=3,这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。

2.125-（4-1）=41……2,这个班最多有41人。

3.得分有（2,2）,（2,1）,（2：0）,（1,2）,（1,1）,（1,0）,（0,2）,（0,1）,（0,0）9种情况,即有

9个抽屉。已知9个抽屉中至少有一个抽屉至少有6件物品，求至少有多少件物品。至

少有9x（67）+1=46（人）。

［三］

1.（3-l）x4+l=9（粒）2.10+4+1=15（个）3.13x（37）+1=27（张）

4.9+10+（117）x3+1=50（个）

［四］

1.①（3x2-l）x5+l=26（根）②5+1+（3-1）乂2=10（根）

2.12+5+1=18（只）

3.1+2+3+4+5+6=21（个）64-21x3=1（个）3+1=4（个）前面1-6个乒乓球盒子里的乒乓球

个数互不相同。分别是1,2,3,4,5,6个乒乓球（最少1个,最多6个），一共装了21个球。

第7-12个和第13-18个盒子也一样。这样装完以后，一共装了63个球，此时有3个

盒子装的乒乓球教量是一样多的。而第64个乒乓球算上以后，则应该有4个盒子装的

乒乓球数量一样多。

综合练习：

1.成绩41环看作元素,5镖看作抽屉41-?5=8...18+1=9

2.4x（57）+1=17（粒）

3.4x（6-1）+2+