《导数及其应用》水平测试2

9/9《导数及其应用》检测题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．A．B．C．D．2．若一质点按规律运动，则在一段时间中相应的平均速度是（）．A．B．C．D．3．如果曲线在点处的切线方程为，那么（）．A．B．C．D．不存在4．函数的导数为（）．A． B．C． D．5．如果曲线在点处的切线过点，则有（）．A． B． C． D．不存在6．已知函数,则下列判断中正确的是（）A．奇函数,在R上为增函数 B．偶函数,在R上为增函数C．奇函数,在R上为减函数 D．偶函数,在R上为减函数7．在内是在内单调递增的（）A．充要条件B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．既非充分又非必要条件8．若函数恰有三个单调区间,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知函数(),则下列结论中正确的是（）A．的极小值是B．的极大值是C．的最大值是D．的最小值是10．如图1所示,墙上挂有一块边长为2的正方形木板,上面画有抛物线型的图案(阴影部分).某人向此板投镖,假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．11．设，函数的图像可能是（）12．设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数取函数=。若对任意的，恒有=，则A．K的最大值为2B.K的最小值为2C．K的最大值为1D.K的最小值为1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上）13.设的导函数存在，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是_________．14．根据定积分的几何意义,计算:.15．函数的递增区间是.16．函数的极大值为正数,极小值为负数,则实数的取值范围是.(用区间表示)三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知自由落体的运动方程为．⑴落体在到这段时间内的平均速度；⑵落体在到这段时间内的平均速度．18．已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限.（1）求的坐标；（2）若直线,且也过切点，求直线的方程.19．设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.20．如图,设由抛物线与过它的焦点F的直线所围成平面图形的面积为(阴影部分),试求的最小值.21．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？22．已知函数(其中为自然对数的底).(1)求函数的最小值;(2)若,证明:;(3)若,证明:.

参考答案一．选择题：1．答案：B解析:．2．答案：B解析:．3．答案：A解析:由知切线的斜率为，所以．4．答案：A解析:．5．答案：C解析:的几何意义是在点处的切线的斜率，由．6．答案A解析:由及时,知A正确.7．答案B解析:单调递增,如,反之则成立,选B.8．答案C解析:可得必有两个相互的实根,∴.9．答案B解析:,当时,,当时,,当时,,∴有极大值(也是最大值).10．答案A解析:以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系,则抛物线的方程为,阴影部分的面积为,∴所求概率为.11．答案：C解析：可得的两个零解.当时,则当时,则当时,则选C。12．答案：D解析：由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。二、填空题：13．答案：解析：∵，∴，∴曲线在点处的切线的斜率．14．答案：解析:设,将所求面积分为一个扇形面积与一直角三角形面积之和.15．答案：(或)解析:由及,得(填也可).16．答案：解析:由得两极值点,结合题意及的大致图象知解得.三、解答题：17．解：⑴⑵当，时，由上式得平均速度（m/s）．18．解：（1）由，得，由已知得，解之得，当时，；当时，，又∵点在第三象限，∴切点的坐标为；（2）∵直线，的斜率为，∴直线的斜率为，∵过切点点的坐标为，∴直线的方程为，即.19．（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.20．解:可得的焦点F,设直线的方程为(必存在),且设抛物线与直线相交于A,B两点,它们的横坐标分别为,由,得,有,,且,∴.所求的面积:====令,则,有,==.在上为单调递增函数,∴当,即时,有最小值.21．解（Ⅰ）设需要新建个桥墩，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得，所以=64当0<<64时<0，在区间（0，64）内为减函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当时，>0.在区间（64，640