《数乘向量》参考课件2

2.1向量的线性运算

2.1.4数乘向量

学习目标1.掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义．2．掌握数乘向量的运算律．3．了解向量线性运算性质及其几何意义．课前自主学案温故夯基1．平行四边形法则适用于____________向量求和，而_____________适用于任意向量求和．2．实数运算满足乘法对于加法的分配律，即λ(a＋b)＝____________，其中λ，a，b∈R.3．实数乘法满足结合律，即λ(μa)＝________，其中λ，a，b∈R.两个不共线三角形法则λa＋λb(λμ)a知新益能1．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个_______，记作________.(2)它的长度与方向规定如下：①|λa|＝___________；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．向量λa|λ||a|2．实数与向量的积的运算律设λ、μ∈R，则：(1)λ(μa)＝________；(2)(λ＋μ)a＝__________；(3)λ(a＋b)＝___________.3．向量的线性运算向量的________、减法和___________的综合运算，通常叫做向量的线性运算．(λμ)aλa＋μaλa＋λb加法数乘向量思考感悟1．数乘向量与数乘数的积有何不同？提示：数乘向量λa仍是向量，既有大小，又有方向，与向量a同方向或反方向，即a∥λa；而实数的乘积仍是实数，只有大小，没有方向．2．实数与向量可以进行加减法运算吗？提示：不可以．如λ＋a，λ－a是无法运算的．课堂互动讲练考点突破向量数乘运算的概念对于数乘运算，要把握好方向，任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量，另外应弄清数乘向量的模之间的关系．例1【思路点拨】根据数乘向量与相反向量的定义即可判断．(3)正确．按照相反向量的定义可以判断．(4)错误．法一：因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，故a－b与－(b－a)为相等向量．法二：∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等向量．【点评】首先要意识到向量线性运算的结果仍是向量，然后要明确判断两向量的关系，应从两个方面入手，一是方向，二是长度．变式训练1试判断下列说法的正误，并说明理由．(1)若λa＝0，则λ＝0；(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ＞0，则λa与μb同向；(3)对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b；(4)对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n.解：(1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.(2)错误．由|a－b|＝|a|＋|b|知a与b反向．由λμ＞0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．(3)错误．当m＝0时，虽有0a＝0b＝0，但a与b不一定相等．(4)错误．当a＝0时，虽有m0＝n0＝0，但m与n不一定相等．向量的线性运算可类比实数、代数式运算，但要注意它们的意义的差别．

(1)化简：①8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；②(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．(2)设x是未知向量，①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；②解方程(x－a)－(a－x－2b)＝0.向量的线性运算例2【思路点拨】根据向量加、减、数乘的运算法则和运算性质即可得到答案．【解】

(1)①原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.②原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b.【点评】

(1)向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段．(2)向量方程的解法可类比于代数方程的解法，解题过程中应注意向量线性运算的综合应用，特别是不应忽视符号问题．数乘向量在平面几何中的应用数乘向量的主要应用是将平面几何问题和实际问题转化为向量问题，通过向量的运算来解决．例3【点评】向量线性运算几