《导数及其应用》水平测试1

9/9《导数及其应用》水平测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数的单调递增区间是（）(A)(B)和(C)(D)2.已知函数,则下列判断中正确的是（）(A)奇函数,在R上为增函数 (B)偶函数,在R上为增函数(C)奇函数,在R上为减函数 (D)偶函数,在R上为减函数3.在内是在内单调递增的（）(A)充要条件(B)必要非充分条件(C)充分非必要条件(D)既非充分又非必要条件4.若函数恰有三个单调区间,则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)5.已知函数(),则下列结论中正确的是（）(A)的极小值是(B)的极大值是(C)的最大值是(D)的最小值是6.如图所示,墙上挂有一块边长为2的正方形木板,上面画有抛物线型的图案(阴影部分).某人向此板投镖,假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是（）(A) (B) (C) (D)7.函数的最大值是（）(A) (B) (C) (D)8.设函数的导函数为,在同一坐标系中,它们的图象可能是（）9.若函数（） (A)2 (B)—2 (C)8 (D)1010.已知,则函数的最大值为（）(A)1 (B) (C)2 (D)011.已知函数在上单调递增,则的取值范围是（）(A)(B) (C) (D)12.已知x,y满足,且,则以x为自变量的函数y的最小值为（）(A)1(B)2 (C)3(D)4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上）13.抛物线在点处的切线方程为.14.根据定积分的几何意义,计算:.15.函数的递增区间是.16.函数的极大值为正数,极小值为负数,则实数的取值范围是.(用区间表示)三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(12分)求函数的最大值与最小值.18.(12分)已知函数的图象过点,且在点P处的切线与直线垂直.求函数的单调区间与极值.19.(12分)已知函数在上是单调函数,求实数的取值范围.20.(12分)如右图,设由抛物线与过它的焦点F的直线所围成平面图形的面积为(阴影部分),试求的最小值.21.(12分)已知函数(其中为自然对数的底).(1)求函数的最小值;(2)若,证明:;(3)若,证明:.22.(14分)设直线.若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有.则称直线l为曲线S的“上夹线”．（1）已知函数．求证：为曲线的“上夹线”．（2）观察下图：根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．

参考答案一．选择题：1.答案D解析:由函数的图象知D正确.2.答案A解析:由及时,知A正确.3.答案B解析:单调递增,如,反之则成立,选B.4.答案C解析:可得必有两个相互的实根,∴.5.答案B解析:,当时,,当时,,当时,,∴有极大值(也是最大值).6.答案A解析:以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系,则抛物线的方程为,阴影部分的面积为,∴所求概率为.7.答案D解析:令则,,由,得,判断的单调性及求.8.答案C解析:不妨设曲线为,则,A不合题意;不妨设上曲线为,则,它是位于第四象限的双曲线,B不合题意;不妨设曲线为,则，C合题意;不妨设上曲线为,则,不是直线,D矛盾.9.答案C解析:得,∴,得∴.10.答案B解析:由得,,∴,有.11.答案A解析:当时,恒成立,即.12.答案D解析:由原方程得,解得∴,令,得,判断的单调性知当时,.二、填空题：13.解析:,,切线方程为.14.解析:设,将所求面积分为一个扇形面积与一直角三角形面积之和.15.(或)解析:由及,得(填也可).16.解析:由得两极值点,结合题意及的大致图象知解得.三、解答题:17.解:可得,令,得或.=1\*GB3①当时,,为增函数;=2\*GB3②当时,,为减函数,当时,,也为减函数.又当时,;时,.∴,.18.解:由函数的图象过点,知.又,在点P处的切线与直线垂直,有.解得,∴,.令得,.当或时,;当时,.所以的单调增区间为和,单调减区间为.于是当时,有极大值;当时,有极小值.19.解:=1\*GB3①当时,在上单调递增;=2\*GB3②当时,,又在上为单调函数,(=1\*romani)若在上单调递增,则恒成立,得;(=2\*romanii)若在上单调递减,则恒成立,得;这时的取值范围是或.综=1\*GB3①,=2\*GB3②所述,实数的取值范围是.20.解:可得的焦点F,设直线的方程为(必存在),且设抛物线与直线相交于A,B两点,它们的横坐标分别为,由,得,有,,且,∴.所求的面积:====令,则,有,==.在上为单调递增函数,∴当,即时,有最小值.21.解:(1)因为,所以．显然,当时,;当时,.因此,在上单调递减,在上单调递增．因此,当时,取得最小值;(2)证明:由(1)知:对任意的实数均有,即,令,则,∴.(3)由(2)知,且.∴.∴.22.解(1):由得，当时，，此时，，，所以是直线与曲线的一个切点；当时，，此时，，，所以是直线与曲线的一个切点；所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；对任意x∈R，，所以因此直线是曲线的“上夹线”.(2)推测:的“上夹线”