湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（解析版）

湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得故选：D.A.1B.2C.1D.2【答案】C【解析】).故选：C3.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB丄AD，AB=4，CD=2，AD=2，用斜二测出的水平放置的梯形ABCD的直观图为四边形ABCD，则四边形ABCD的面积为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意可得直观图，进而可得面积.所以S四边形故选：C.4.在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B.C.D.或【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.由余弦定理得故选：B．-c=-A.B.C.D.2【答案】A【解析】EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(-),c)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(-),c)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(-),c)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(-),c)解得所以，故选：A.6.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD—A1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1和O，B.【答案】B【解析】【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求.【详解】取BC、B1C1的中点F、E，连接O1E，EF，OF，则由题意可知上EFO为侧面与底面所成锐二面角，则tan上B1则正四棱台的体积为故选：B7.如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30O，沿直线DB前进51米达到E点，此时看点C点的仰角为45O，若2BC=3AC，则该八角观A.8米B.9米C.40米D.45米【答案】D【解析】【分析】设AC=x，得到可得，在直角△ABD中，根据tan30。=列出方程，求得x的值，即可求解.所以故选：D.动点P在长方体的表面上，且EP丄CF，则点P的轨迹的长度为()B.2D.【答案】A【解析】【分析】作出过点P，点E的平面α,使得CF丄平面α,此时P的轨迹即为平面α与长方体表面的交线，据此可求解出轨迹的长度.【详解】连接EF，过F作FG丄CF交B1C1于G点，过G点作GH//A1B1交A1D1于H点，连接HE，如下图所示：因为E,F为AA1,BB1的中点，所以EF//AB，又因为FG丄CF，且EFUFG=F，所以CF丄平面EFGH，所以P的轨迹为EF,FG,GH,HE，所以所以所以又因为GH//AB,GH=AB，所以四边形EFGH为平行四边形，所以GH=EF=1，所以P的轨迹长度为故选：A.【点睛】本题考查线面垂直的综合应用，涉及到求解点的轨迹的长度问题，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难.9.若α,β,Y是三个不同的平面，l,m,n是三条不同的直线，下列说法正确的是().【答案】BD【解析】【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A；对于B,由面面平行的性质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若m//β,则m不在平面β,但题目所给条件没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D.对于B，若α//β,β//Y，由面面平行的性质定故选:BD.i为虚数单位则()A.z1C.z1>z2D.在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AC【解析】【分析】AB选项，由共轭复数和虚部概念进行判断；C选项，分别求出两复数的模长，比较大小；D选项，利用复数除法法则计算出得到对应的点坐标，进行判断.B选项，z2=12i的虚部为-2，B错误；C选项故z1>z2，C正确；D选项故在复平面内对应的点坐标为位于第二象限，D错误.故选：ACm的最小值为4【答案】BCD【解析】【分析】利用向量坐标运算求出m,n判断A；利用数乘向量结果求出m,n，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D.b-，则与同向的单位向量为正确；EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(r),a)故选：BCD+a=0，a∈R有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为2，则a=________．【答案】4【解析】【分析】直接解二次方程得到两个虚数根，从而利用复数的几何意义得到关于a的方程，注意检验Δ<0，从而得解.所以x22x+a=0的两个虚数根分别为它们在复平面上对应的点分别为故答案为：4.13.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB.AF=4，EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(-),A)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(-),A)【答案】6【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用向量坐标的运算公式进行计算.【详解】以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(4,0),E(4,1)，设F(n,2)，----------------故答案为：614.在底面为正方形的四棱锥P—ABCD中，PD平面EAC，则λ=___________，四面体ACDE的外接球的表面积为______.【答案】①.##0.5②.54π【解析】【分析】根据线面平行的性质定理可得PB//OE，即可求解E为PD的中点，即可得利用补形法，即可根据长方体的外接球的半径求解.【详解】连接BD交AC于点O，连接OE，因为PB，OE共面，且PB//平面EAC，PB平面PBD,平面PBD∩平面ACE=OE，所以PB//OE.由于O为BD的中点，所以E为PD的中点，所以.四面体ACDE可以补形为一个长方体，所以四面体ACDE的外接球的半径故四面体ACDE的外接球的表面积为4πR2=54π.故答案为54πEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(-),c)-EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(-),c)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(-),c)-【解析】EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(-),c)(λ,2λ)，根据题意得到方程:λ2+(2λ)2=20，解出即可；代回验证即可.【小问1详解】EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(-),c)(λ,2λ)，EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(r),c)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(r),c)故EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(r),c)=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(r),c)【小问2详解】x2x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．（1）若f(x)=8，且x>0，求复数iz在复平面内对应的点的坐标；（2）当f(x)取得最小值时，求复数的实部．【解析】【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得f(x)=x2+2x，再结合题意可得x=2，再确定iz在复平面内对应的点的坐标即可；（2）先求出函数取最小值时x对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.因为f(x)=8，所以iz在复平面内对应的点的坐标为(2,6)．（2）因为f(x)=(x+1)2—1，所以当x=—1时，f(x)取得最小值，所以的实部为．【点睛】本题考查了复数的乘法、除法运算，重点考查了复数的实部、虚部的运算，属基础题.17.如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.当时，求三棱锥P-EFD的体积.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）由线线垂直证DP丄平面PEF，再证PD丄EF；（2）由等体积法求VD-PEF.【小问1详解】又PE平面PEF，PF平面PEF，PE∩PF=P，∴DP丄平面PEF，【小问2详解】由已知得则在PEF中，EF边上的高18.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°,PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(一),AB)上，且OM//AC．（1）求证：平面MOE//平面PAC；（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）先证明OE//平面PAC，OM//平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE//平面PAC；（2）利用线线垂直证明线面垂直；（3）由（2）知BC丄面PAC，可得上BPC为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结【小问1详解】证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE//PA，因为PA平面PAC，OE丈平面PAC，所以OE//平面PAC，因为OM//AC，因为AC平面PAC，OM丈平面PAC，所以OM//平面PAC，因为OE∩OM=O，OE平面MOE，OM平面MOE，所以平面MOE//平面PAC.【小问2详解】即BC丄AC，因为PA丄平面ABC，BC平面ABC，所以PA丄BC，因为PA∩AC=A，P