2025年九年级中考数学冲刺练习：利用矩形的性质求角度

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级中考数学冲刺练习：利用矩形的性质求角度1．已知，在矩形中，，动点M从点A出发沿边向点D运动．(1)如图1，当，点M运动到边的中点时，请证明；(2)如图2，当时，点M在运动的过程中，是否存在，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由．2．如图，正方形和正方形，连接，．易得线段（数量关系），（位置关系）．(1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是；位置关系是；(2)[探究]：如图，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由．3．如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．

4．综合与实践如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且．数学思考：（1）求的值．类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值．拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长．5．如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数．6．如图，矩形的对角线，相交于点，若，求的度数．7．如图，矩形的对角线相交于点O，平分，交于点E，，求的度数．8．在矩形中，，平分，连接．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，点F是延长线上的一点，与交于点G，于点H，的延长线交于点P，连接，探究之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，取的中点Q，连接，求的最小值．9．如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求度数．10．如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点．(1)若，求的度数；(2)求证：为的中点；(3)若，求矩形的周长．11．已知：如图，的对角线、相交于点O，E、F是上的两点，且．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若四边形是矩形，，求的度数．12．如图，，P为中点，点M为射线上（不与点A重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点N，连接，设．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当四边形是矩形时，求a的度数．(3)当时，a的取值范围是______．（直接写出答案）13．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且．(1)求证：；(2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______．14．如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点．数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示）深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：．15．如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接．(1)求证：平分．(2)求证：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级中考数学冲刺练习：利用矩形的性质求角度》参考答案1．(1)见详解(2)存在，理由见详解【分析】（1）根据，点M是的中点，可得，再由矩形的性质，即可求证；（2）假设，则，可先证得，从而得到，然后设，则，可得到，再由，可得到，进而得到方程有两个不相等的实数根，且两根均大于0，即可求解．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵，，，点M是的中点，∴，∵∴，∴；（2）解：存在，理由如下：若，则，又∵，∴又∵，∴，∴，设，则，整理得：，∵，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于0，符合题意，∴当时，点在运动的过程中，存在．2．(1)，(2)，，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．（1）证明得，，又，，得，所以，既可求解；（2）延长交于，交于，证明得，，所以，结合，可得，所以，即可求解．【详解】（1）解：如图，延长交于，交于，四边形和四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）解：，，理由如下：如图，延长交于，交于，四边形与四边形都为矩形，，，即，，，，，，，，，，，，，．3．【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质．先由矩形的对角线相等且互相平分推知，结合三角形外角的性质和等腰三角形的性质即求解．【详解】解：四边形是矩形，对角线与交于点，，，，，∴．．，．，．．4．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据矩形的性质证明，可得，即可求出；（2）如图，在上取点Q，使得，连接，根据平行四边形的性质可证，可得，即可求出；（3）过A作于H，则，由平行四边形的性质和含的直角三角形的特征求出，再根据勾股定理求出，根据（2）的结论求值即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，，，，，，，；（2）解：如图，在上取点Q，使得，连接．，∵四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，；（3）解：过A作于H，则，，，，∵四边形是平行四边形，，，，在中，，在中，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，综合运用以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．5．【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，；∴的度数为．6．【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键．证明是等边三角形，则，进而可求．【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴的度数为．7．【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，矩形的性质，平行线的性质，能识别其中的特殊图形是解此题的关键．根据矩形的性质和角平分线的定义得到，根据等边三角形的判定和性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．【详解】解：在矩形中，，，∵，平分，∴，∴，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，，∴，又∵，∴．8．(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据矩形的性质，角平分线的定义，推出均为等腰直角三角形，再利用平角的定义，求出的度数即可；（2）延长交于点，先证明，得到，，进而证明，得到，再根据，结合等量代换，即可得出结论；（3）取的中点，连接，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长，根据，求出的最小值即可．【详解】（1）解：∵在矩形中，，∴∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2），理由如下：延长交于点，由（1）知：，，，∴，∴，，∵矩形，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴；（3）取的中点，连接，则：，∵为的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∵为的中点，∴，∵，∴的最小值为．【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．9．(1)见解析(2)【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质：（1）证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；（2）矩形，得到，平行四边形的性质，推出，，再利用角的和差关系求解即可．【详解】（1）证明：∵，

∴∵四边形是矩形

∴∵在△AOF和△COE中∴

∴∴四边形是平行四边形；（2）∵四边形是矩形

∴∵在中，

又∵

∴∵，

∴∵在中，∴．10．(1)；(2)证明见解析；(3)．【分析】（）根据矩形的性质可得，进而由旋转的性质可得，即可求解；（）过点作于点，证明得到即可求证；（）证明得到，设，则，，即得，求出即可求解；本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：在矩形中，，是由旋转所得，，，；（2）证明：过点作于点，如图，由（）知，，又∵，∴，在和中，，，，即为的中点；（3）解：，为的中点，，∴为等腰三角形，又∵，∴为等腰三角形，∵两个等腰三角形有公共底角，，由（）知，，设，则，，，解得，∴，，∴，在中，，，，∴，矩形的周长为．11．(1)见解析(2)【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，熟记特殊四边形的性质是解本题的关键；（1）先证明，，再证明，从而可得结论；（2）证明，再进一步利用等腰三角形的性质与内角和定理可得答案．【详解】（1）证明：在中，，，∵，∴，即，∴四边形是平行四边形．（2）∵四边形是矩形∴，∴，∵，∴，∴；12．(1)见解析(2).(3)或，【分析】（1）根据平行线的判定可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后根据平行四边形的判定即可解答；（2）根据矩形的性质可知是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解答即可．（3）根据菱形的性质和三角形内角和定理进行分析即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵为中点，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴是等腰三角形，∴，∴在中，，即．（3）∵，四边形是平行四边形∴四边形不可能是菱形，∴不可能是直角，即不可能是直角三角形，当时，，此时是钝角三角形，当时，，此时是锐角三角形，当时，，此时是钝角三角形，综上可知，当时，a的取值范围是或，故答案为：或，【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，菱形的性质、矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．13．(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键．（1）根据题意得，结合即可求解；（2）根据题意可得，据此即可求解．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，，的周长，故答案为：．14．（1）；（2）见解析【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据旋转得到，结合矩形对边平行即可得到答案；（2）证明即可得到答案．【详解】解：（1）∵矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，故答案为：；（2）证明：∵点在对角线的垂直平分线上，边经