高中数学：圆锥曲线解答题突破

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高中数学：圆锥曲线解答题突破!

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1.已知椭圆U万+，=1(。＞b＞0)的左、右焦点分别为七，弓，过点尸】的直线与椭圆。交于M,N两点QGMN

a2b2

4平

的周长为8,直线丫=碰椭圆。截得的线段长为三

(1)求椭圆。的方程；

(2)设4"是桶图上两动点，线段"E的中点为P，的斜率分别为小俨2(。为坐标原点)，且伙|勺=-3,

求1。户的取值范围.

【答案】⑴；+；-⑵im

1解析】

(1)根据题意卜―B，,■•a=2.

x2y224/

把＞'=x代入摊圆方程*+^=1得，xJ

4bz4+h

4V42

因为直线丫-x被椭圆,截得的线段长为

7

4bz菽4J47

所以1审+3=＞'解勘3，

所以椭圆，的方程为：+＞：-1.

43

(2)设府必)以，匕)，P(v,).yJ,由卜此=-：,得3*产2+外科=0,

当,1/?的斜率不存在时，，=々，yt=-y2,3x：-4y：=0,J^3xj+4yJ-12

•••*；=2,这时iOP：=、Z

当A"的斜率存在时，设直线"：1'=""+小，由得卜彳士也：入屋：

(3+4火％2+8kmx+4m?-12=0,

由d＞嘛/v44+3®

^km4mz_此

X1+X2=',”,23产2=,，结合吗、+4yM=。得

3+4〃3+4二

2m2=4八3之3②

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,3x、+x22k3

由①②知m#0且mz'而，%=k%+m=2元,

,??4〃z92m2-3933

1。"|=9+几=—2+2=---2-J=2----2N7

m4m*m4m_4m2

展

综上的取值范围为.；、£

v2X21,

2.已知椭圆'：*7+尸=1（。>b>0J的离心率为/短轴长为2\,5

CD求椭圆°的方程;

（2）设过点MO用的直线,与椭圆。交于M、，V两点，「是椭圆。的上焦点祠：是否存在直线,，使得

LM"=SdM"?若存在，求出直线/的方程；若不存在，清说明理由.

/X2

【答案】（1）彳+丁=1

C）存在直线'：6X,,卢y+4/=I域6x+、0，-4、寿=啥题意.

【解析】

（1）•r：=2，6=\口，且有1=卜2+。2,

解得J=4,/=3,

•♦•楠圆'的方程为'：+：:1.

43

（2）由题可知’的斜率一定存在，设/为丫=心+4,设必），"（X必）,

y=h+4

y*X2n(3〃2+4)x2+24kx+36=0

联立4+3=1

A(2+fc)Z-144(3kZ+4)>0I

24k

3",为线段4V的中点,

/.X2=2XI.....®

Qk

将④代入②解得、=-：,>+1……⑤

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218

将@代入⑤得，=中]4…®

,36

将⑤代入⑥解得k=于……⑦

将⑦式代入①式检场成立，

•-•k=±；，即存在直线，：6*、：5y+4/=0或"+、5y"5=喑题意

V2

3.已知椭图C。+正=l(a>b>0)的左，右焦点分别为点M在椭圆。上滑动，若/MFJ湎租的最大

值是1且有且仅有2个不同的点时使得为直角三角形.

(1)求椭圆’的方程；学一科网

(2)过网°』)的直线'与椭副关于点华与雌交于点<?。设6=加加="而京证：'+“为定值，并求

该定值.

/y3

t答案】(D；|+'l=1!<2)证明见解析

1解析】

(D由对称性知，M在短轴端点时，AA巧用为化△且4M尸2=90二

1

S

=rfimAX-22c力二加=4,b=c=2，。2=8，

椭圆方程为：[+[=】•

84

(2)显然/斜率不为0,设直线Lx=l(y-l),联立方程组得：

?(y-l)3+2/=8=>(?+2)/-2?y+/-8=0

2?尸—8

设为(孙乃),362J])，=乃+乃=尸+2J必=；'+.

令尸=0=X=T=Q(T,0)

QA=XPA=>[=431-1)=4=—■—

升1

话:夕丽=必=—)=〃=金二

必7

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[+〃=且_+2_=2M乃-5+R=8

>1-1%-1乃乃-(乃+R+13

x2y21

4.已知椭圆0：/+庐=l(a>b>0)的焦距为2、仇且经过点｛g-»

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)斜率为k的直线，与椭圆。交于不同的两点M、N,若椭圆上存在点P，使得四边形OMPN为平行四边形

(其中。是坐标原点)，求平行四边形。MPN的面积

[答案】(1)不+/=1(2)S=Q

1解析】

(1)由题意可知椭圆的左、右焦点分别为"「、3期，七(、区°)，

又椭副经过点小M-；),所以i"J+|%|=2%

即卜尸一乡一:二.3-厂广+小二？.，

71

斫以2a七十2=4,即c=2,

2

又广—。?-J=1，所以椭图的标;隹方程为4+y^-1.

y=fcx+m

(2)设直线钠方程为>'=kx+m,由』+/=1，消去.,得

4J

(41c2+1*+8Amz+4m2-4=0.设见”“',,

则有4=(8am'/-4(4/+l)(4m2-4)>0,即4炉+1>m2,

4m2-4

叉,+4k■

-8/fm

因为四边形。MPN为平行四边形，所以nr="M+DW,故,=，+\=".一，，

伙+I

-8km2m

卜(kx..+m)=h~-42m=------.

4k2+14k1+1

-Bfrm2m

所以+1疗+/，

-8km2

由点.在椭圆上可得I小工」,2m2j化简得4m2=4公+1

——%——+(一一)=1

4蚀,+1

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22-8fcm24m2-416（4lf2-mz11•1）

而（~72广二%+々）-a产2=（£n）-4XTH—T=--------;-------

伙+1快+1（4fc2+1）

2

,7216x3m3

又因为4nT—4K+1,所以勺）=--1―=~2,

16mm

斯以及_叼1=［「

所以IMM=、i+％x2|.

Iml

又点倒直线，的距离"

y1十A

11-------2J3|m|13

故」°MN的面积、」OMN=21MMd=八I.Q向］+.广