高中数学人教A版必修四15【教学设计】《1 .5 产Asin（①x+o）的图象》

《1.5产Asin（①x+o）的图象》

第一课时

一、讲什么批注［yl］：宋体小四加粗

1.教学内容：

批注：宋体小四加粗

（1）概念原理：y=Asin（〃zr+0）的图象。［y2］

（2）思想方法：元的思想、坐标法。

（3）能力素养：数学建模、直观想象。］批注［y3］：正文主体使用宋体五号

2.内容解析：

“丫=八§皿（3+8）的图象（1）”是新课标人教A版《数学》必修4第一章第五节第二

课时，是《三角函数》这一章的核心内容之一，引导学生研究“函数丫=4立11（8+0）的

图象”是使然。要研究它就得探索每一个参数0、A对其影响，使学生领会元的思想

和坐标法是自然。函数y=Asin（的+夕）是解决实际问题的重要模型，研究函数

y=Asin（3+°）的性质又必须研究它的图象，培养学生数学建模和直观想象能力素养是

必然。

二、为何讲

1.教学目标：

（1）引导学生探索。、/、A对y=Asin（ox+e）图象变化的影响，理解具体函数

y=Asin（s:+0）图象之间变化的数学原理。

（2）通过各个参数的研究，以及函数丁二45m（5+0）解析式与图象之间的对应关系，

使学生领会元的思想和坐标法。

（3）通过本节课的（1）中内容研究与学习，以及（2）中思想与方法的掌握，培养学生

的数学建模和直观想象能力。

2.目标解析:

借助信息技术研究探索0、①、人对），=44!1（5+8）图象的影响，同时结合具体函

数图象的变化，使学生领会元的思想，进而培养数学建模的能力。理解函数），=sinx与

y=Asin（5+0）图象间的变换关系，运用并领会坐标法，进而培养学生的直观想象能力。

本节课的重点是通过探索0、co、A对函数y=Asin（s+e）图象的影响，领会元的思想，

培养数学建模的能力。

三、怎样讲

教学准备

1.教学问题：

如何让学生理解夕、0、A对函数y=Asin（（yx+e）图象的影响，以及与几何变换中

的伸缩变换、平移变换之间的对应关系是本节课的第一个教学问题。

一节课除了让学生研究三种参数对函数y=Asin（s:+0）图象的影响，还要让学生掌握

背后的多种思想方法，培养多个能力索养，这是第二个教学问题。

而通过引导学生借助信息技术手段解决这两个教学问题的有效途径。

2.教学支持条件：

学生学完三种正弦函数、余弦函数的图象及性质后，来研究函数>=44。（3：+8）的图

象，让学生理解各类三角函数），=Asin（©x+e）之间的联系是顺利进行本节课教学的不可

缺少的支持条件。借助图形计算器动手操作探究其几何变换，可以使学生充分理解夕、切、

A对y=Asin（〃zr+0）图象的影响,因此为学生准备人手一台TLNspireCAS（便于学生操

作），老师使用几何画板或超级画板（便于演示）。

（-）教学过程设计

【问题1】物体作简谐运动时，位移s与时间，的关系为s=Asin（&+°）

（r>0,A>0,口>0）,它与函数y=sinx有何关系？

【设计意图】使学生从物理学的简谐振动进行数学抽象，研究•般性的数学模型三角函

数丁=45也（的十0）;通过问题及后面的师生活动引导学生，用数学的眼光观察世界，感

受客观世界中的周期现象，体会研究函数y=Asin（如+0）的必要性和重要性，引起学生

的兴趣，激发学生的求知欲。

【师生活动】

(I)老师提问函数s=Asin(/y，+o)与函数y=sinx的解析式有何关系，学生回答；

接着提问现实生活中存在哪些可以用函数y=Asin(5+e)来刻画的周期现象，学生思考

并举例。

(2)师生看完模拟的简谐振动后，再•起听其函数的声音，利用几何画板听

y=Asin(@x+°)函数的声音，感受①、4对声音的影响。

【问题2］在同一坐标系中，画出y=sinx,y=sin(x+—),y=sin(x-X)的简

44

图，思考y=sin(x±—)与y=sinx的图象有什么关系？

4.

［设计意图］引导学生借助图形计算器TI-NspireCAS探索并理解0对y=sin"+0)图

象的影响。其次要求学生理性地弄清问题的本质，从理论上说明其平移的依据，事实上，我

们把函数y=sin(x+-)图象上的任意一点设为户(x',/),其对应的函数)，=sinx上的点

4

为Pfr,。),则有G+'=x,y'=y，故有=x-乙,y,=y»由此可知点P(My')是

44

由点P(x,y)的横坐标减小-个单位得到，即函数y=sin(x+色)的图象是由函数y=sinx

4'4

上所有的点向左平行移动四个单位而得到。

4

【师生活动】

(1)引导学生借助图形计算器TI-NspircCAS画)，=$皿1，y=sin(x+-),

4

y=sin(x-C)的简图，讨论y=sin(x土色)Vy=sinx的图象有什么关系。

44

(2)然后借助图形计算器TI-NspireCAS研究y=sinx,)，=sin(x+。)的图象关系，

学生通过插入变量°,移动游标改变其值，探索与发现，然后师生讨论并得出夕对

y=sin(x+e)图象的影响的结论。

【问题3】y=sin3xy=sin(gx)与y=sinx的图象有什么关系？

【设计意图】引导学生探索并理解口对)=411(8)图象的影响。其次要求学生理性地

弄清问题的本质，从理论上说明其横向收缩的依据。

【师生活动】

(1)引导学生借助图形计算器TI-NspireCAS画y=sin3x、y=sin(gx)与y=sinx

的简图，讨论它们图象之间有什么关系。

(2)借助图形计算器TI-NspireCAS研究y=sinx,y=sin(以r)的图象关系，学生通

过插入变量移动游标改变其值，探索与发现，然后师生讨论并得出①对y=sin(©x)图

象的影响的结论。

7T17T

【问题4】y-sin(3x---)、y=sin(-x---)与y=sinx的图象有什么关系？

434

【设计意图】引导学生探索并理解切对y=sin(8+0)图象的影响。

【师生活动】

(1)借助图形计算器TI-NspireCAS研究y=sin犬，y=sin(④r+。)的图象关系，学

生通过插入变量①、9,移动游标改变其值，探索与发现，然后师生讨论并得出外。对

y=sin(s+⑺图象的影响的结论。

(2)练1用几何变换的方法画出》=5皿(；工一?)和y=sin(2x+()的图象，然后用

借助图形计算器TI-NspireCAS验证。

TTTT

【问题5]y=3sin(2x+y),y=35由(2X一彳)与y=sinx的图象有什么关系？

【设计意图】引导学生探索并理解A对)，=Asin(血十°)图象的影响.其次要求学生

理性地弄清问题的本质，从理论上说明其横向收缩的依据。

【师生活动】

(1)借助图形计算器TI-NspireCAS研究y=sinx,y=Asin(wx+夕)的图象关系，学生

通过插入变量A,移动游标改变其值，探索与发现，然后师生讨论并得出A对

y=Asin(@x+0)图象的影响的结论。

（2）练2用几何变换的方法画出丁=!$皿（'工±色）的图象，然后用借助图形计算器

234

TI-NspireCAS验证。

四、讲怎样

1.教学反思：

略

2.目标检测：

完成《1.5产Asin（cox+0）的图象⑴同步练习》。

第二课时

一、讲什么：'批注[y4]:宋体小四加粗

1.教学内容：

（1）概念原理：y=Asin（〃zx+e）的图象。

（2）思想方法：化归思想、数形结合思想。

（3）能力素养：数学建模。

2.内容解析：

“y=Asin（w+0）的图象（1）”是新课标人教A版《数学》必修4第一章第五节第二

课时，是《三角函数》这一章的核心内容之一，三角函数了=/^①（5+0）是解决实际问

题的重要模型。本节课借助信息技术继续探索由），=sinx图象得到丁二40!1（3+0）图象

的各种方法过程，使学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想以及数形结合思想，

建立与物理知识的联系，了解常数A、。、夕与振幅、周期、频率、相位、初相等物理量

的关系，并培养学生的数学建模等能力。

二、为何讲

1.教学目标：

（I）使学生了解常数A、S、°与振幅、周期、频率、相位、初相等物理量的关系。

（2）通过引导学生探索并掌握由y=sinx图象得到丫二人$出（3+0）图象的各种方法，

使学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，以及数形结合思想。

（3）通过本节课的（1）、（2）研究与学习，培养学生的数学建模等能力。

2.目标解析：

通过物理中简谐运动的复习，使学生可以建立与物理知识的联系，了解常数A、0、（p

与简谐运动的振幅、周期、频率、相位等物理量的关系。通过引导学生探索并掌握由y=sinx

图象得到y=4sin（@v+e）图象的六种方法，使学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的

化归思想，通过应用例题的设置，使学生体会数形结合思想，培养学生的数学建模等数学核

心素养。

其中，重点是引导学生探索并掌握由旷=$3/图象得到丁=人0也（5+o）图象的各种

方法，使学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

三、怎样讲

（-）教学准备

1.教学问题：

如何让学生从新认识几何变换中的伸缩变换、平移变换与振幅变化、周期变化、相位变

化的对应关系。探索并掌握由y=sinx图象得到丫=4411（5+0）图象的各种方法，而通

过引导学生借助信息技术手段实现动态几何变换是解决这一教学问题的有效途径。

2.教学支持条件：

上节课已经简单研究函数y=Asin（5+0）的图象，并使学生理解了°、A对

y=Asin（Gx+°）图象的影响，使得继续探索与发现由y=sinx图象得到

y=Asin（&x+e）图象的各种方法提供了必要与重要的条件。借助图形计算器动手操作探

究其几何变换，从而使学生在一节课内探索出所有方法，以及理解几何变换和物理量变化之

间的关系成为可能，因此为学生准备人手一台TI-NspireCAS,老师使用超级画板。

（二）教学过程设计

【问题I】你能回忆一下物理中描述简谐运动的函数关系吗？振幅、周期、频率、相位、

初相等概念与A、0、°有何关系？

【设计意图】通过一个轻松的问题，让学生建立与物理知识的联系，了解常数A、①、

0与简谐运动的某些物理量的关系。

【师生活动】学生I可顾相关的物理知识，解释振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、

3、0的关系。老师说明函数旷=Asin3xr+夕）（A>0,G>0）中，A叫做函数的振幅,

T=竺为函数的周期，f='=色为频率，ox+e称为相位，当x=0时的相位9称为

(DT2n

初相。老师再一次让学生听函数y=Asin(5+e)(4>0,G>0),并改变其中的参数，感

受不同频率与振幅声音的异同。

【问题2］怎样由函数y=sinx变换得到函数)，=3sin(2x+1)的图象？你能否用多

种方法进行变换？并说明出由函数j=sinx图象变换得到函数

y=Asin(6yx+e)(A>0,3>0)图象的变化规律。

【设计意图】在上一节课的学习基础上，让学生自主理性地研究此问题，让学生自主获

取问题的答案，可借助于信息技术工具进行探索与发现。并在此基础上作如下归纳：

变换方法一：先画出函数y=sinx的图象：再把正弦曲线y=sinx向左(右)平移

个单位长度，得到函数y=sin(x+p)的图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍，

(0

得到函数'=g1(5+G的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲

线就是函数y=Asin(/x+0)的图象。

变换方法二：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线y=sinx各点的横坐标变为

原来的•!•倍得到函数y=sinox的图象；然后把曲线向左(右)平移|义卜个单位长度，得

(DCD

到函数y=sin(Gx+⑼的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线

就是函数>=Asin(〃>+0)的图象。

变换方法三:先画出函数)，=sinx的图象；再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，

得到函数)，=Asinx的图象；正弦曲线)，=4$桁工向左(右)平移|9卜个单位长度，得到

函数y=Asin(x+G的图象：然后使曲线上各点的横坐标变为原来的,倍，最后这时的曲

3

线就是函数y=Asin(3+°)的图象。

变换方法四：先画出函数y=sinx的图象；再把曲线上各点的纵坐标变为原来的4倍，

得到函数丫=4$皿彳的图象；再把正弦曲线y=Asinx各点的横坐标变为原来的L倍得到

CD

函数y=sinox的图象；然后把曲线向左（右）平移|?|个单位长度，这时的曲线就是函

（0

数），=Asin（g+e）的图象。

变换方法五：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线），=sinx向左（右）平移|°|

个单位长度，得到函数y=sinG+Q的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，

得到函数》=4$析6:+夕）的图象；最后使曲线上各点的横坐标变为原来的，倍，这时的曲

（0

线就是函数y=Asin（Gx+Q）的图象。

变换方法六：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线y=sinx各点的横坐标变为

原来的­!■倍得到函数），=sins的图象：然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，得

（0

到函数y=Asin（ox）的图象：最后把曲线向左（右）平移送|个单位长度，这时的曲线就

G）

是函数y=Asin（〃zr+e）的图象。

TT

【师生活动】学生先动手用图形计算器画出了=麻51和y=3sin（2x+1）的图象，然

后思考如何通过三种变换且不限定顺序，使丁=5m入的图象得到），=3sin（2x+g）的图象？

然后师生一起总结各种方法（一共六种），并分析最易错的是先横坐标伸缩变换后水平平移

变换。

【问题3】怎样由函数y=3sin（2x+1）变换得到函数y=sinx的图象？是否也可以有

六种方法得到？并说明出由函数y=sinx图象变换得到函数

y=Asin（69x+（p）｛A>0,6?>0）图象的变化规律。

【设计意图】在前一问题的研究基础上，让学生自主理性地研究此问题，让学生自主获

取问题的答案，并在此基础上依然得到六种方法，因为纵坐标的伸缩变换放在哪一步都不造

成困难，所以只列出其中两种方法：

变换方法一：先把函数），=Asin（@x+*）的图象，上各点的纵坐标变为原来的‘倍，

A

得到函数丫=$皿（5+夕）的图象；再把正弦曲线y=sin（ox+G上各点的横坐标变为原

来的。倍，得到函数〉=$皿（工+9）的图象；然后使曲线的各点向右（左）平移|°|个单位

长度，最终得到函数y=sin工的图象。

变换方法二：先把函数），=Asin（3+e）的图象，上各点的纵坐标变为原来的L倍，

A

得到函数丁=5皿（的+0）的图象；再把正弦曲线y=sin（3+在上各点向右（左）平移

|2|个单位长度，得到函数〉=$抽（5）的图象：然后使曲线的各点的横坐标变为原来的0

co

倍，最终得到函数y=sinx的图象。

1T

【师生活动】学生已经用图形计算器画出y=sin/和y=3sin（2x+1）的图象，然后思

考如何通过三种变换且不限定顺序，使y=3sin（2x+1）的图象得到y=sinx的图象？并

用图形计算器新建一页，观察改变丁=Asin（5+e）中的三个参数变量验证自己的想法，

或者帮助自己思考。然后师生一起分析得出依然一共六种方法。

练1选择题：

1.要得到函数y=J^sinx的图象，只需将函数y=J5cos（2工一?）的图象上所有的

点（）

人横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动J个单位长度