浙教版七年级数学上册期末专题复习 第06讲 实数的运算（4大考点）（原卷版+解析版）

第06讲实数的运算（4大考点）

Q考点考向

一、实数大小的比较

正实数大于0,负实数小于0.

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.

从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.

二、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、

乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立一方运算.在进行

实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

Q考点精讲

题型一：实数的混合混算

一、填空题

1.（2021•浙江•杭州市青春中学七年级期中）计算：

（1）病=一.（2）4+J（T）2=_.（3）病的立方根为—.

（4）如果右的平方根是±3,则=—.

2.（2021•浙江温州•七年级期中）如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面枳是.

3.（2022•浙江宁波七年级期末）计算：|3-引+|4-4卜

4.（2021♦浙江•台州市书生中学七年级期中）若正不与四M互为相反数，则

（1-4严=.

二、解答题

5.（2021•浙江台州•七年级期末）计算：I-V3|-V27+V4.

6.（2021.浙江台州•七年级期末）计算:74+^8-

7.（2022.浙江金华.七年级期末）计算：

⑴际+4+（-2）（2）-l2O22+32x>/i6

8.(2022•浙江台州•七年级期中)计算：

(l)Vi6-V64x^8；(2)|V2-3|+7(-3)2-(-I)20,9.

9.（2022♦浙江台州•七年级期中）计算M+历+卜自

10.（2021•浙江台州•七年级期末）计算：V4+V27H>/3-3|

11.2（021・浙江•七年级期储计算:

(1)-|2-6+(孙囱

12.（2022•浙江台州•七年级期中）计算：

⑴病：（2）26+®2

题型二：程序设计•与实数运算

一、填空题

1.（2021•浙江温州•七年级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x为A，则输出

的结果为.

2.（202（）•浙江温州•七年级期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=-3,则最后

输出的结果是一.

3.（2021•浙江温州•七年级期中）如图，是一个计算程序，若输入〃的值为何，则输出的

结果成为.

输入I---->平方---->|—5|---->x0.5---->输;1:

二、解答题

4.（2022•浙江台州•七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图.

（I）当X为9时，y值为：

（2）如果输入。和1,（填“能”或“不能”）输出），值;

⑶当输出的y值是石时，请写出满足题意的x值：.（写出两个即可）

5.（2020•浙江•七年级期末）有一个数值转换器.原理如图.

（1）当输入的x为81时，输出的），是多少？

（2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出V值？如果存在.请写出所有满足要求的*的

值；如果不存在，请说明理由；

（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行“，请你推算输入的

数据可能是什么情况？

（4）若输出的是石，拭判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个.

题型三：新定义下的实数运算

一、单选题

1.（2022•浙江台州•七年级期中）设（月表示小于4的最大整数,如（引=2,（-1.6]=-2,则

下列结论中正确的是（）

A.（（）]=（）B.工一（后的最小值是0

C.%-（幻的最大值是1D.不存在实数x,使]-*]=0.2

2.（2021•浙江•七年级期末）任何实数〃，可用[可表示不超过。的最大整数，如

[4]=4,[6]=1,现对72进行如下操作，72尔次>[愿]=8#>[伺=2=1,

这样对72只需进行3次操作即可变为I,类似地，对81只需进行（）次操作后即可变为

1.

A.2B.3C.4D.5

3.（2021•浙江台州.七年级阶段练习）定义新运算“你”：a㊉（其中a、b都是有理数）,

ab

例如：2㊉3=；+?=?，那么3㊉（-4）的值是（）

236

A.--B.--C.—D.—

12121212

4.（2022.浙江.宁波市郸州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：

a*b=ab+a—b,其中，〃，b为有理数，则a*叶（A—等于（）

A.a2-bB.b2—bC.b2D.b2—a

5.（2021・浙江•高照实验学校七年级阶段练习）对于任意不相等的两个实数a,b,定义运算:

a^b=a2-b2+\,例如3X2=32-2?+1=6,那么（・5）X4的值为（）

A.-40B.-32C.18D.10

二、填空题

6.（2022•浙江杭州七年级期中）用“0”定义新运算:；对于任意实数小心都有.例

如：7⑤4=4?+1=17,那么2022③5=；当〃z为实数时，.

7.（2021•浙江•七年级期末）用定义新运算：对于任意有理数a,b,都有a△8=a和

a*b=b,例如3Z\2=3,3*2=2.M（2017A2016）A（2015*20l4）=.

8.（2021.浙江•七年级期末）对于两个不相等的实数a、儿定义一种新的运算如下，

=+力>0）,如：3*2=孚最=由,那么6”（4*5）=__________.

a-b3-2

9.（2021•浙江•七年级期末）对实数叫b,定义运算☆如下：0☆b=L；',

例如2^3=2-3=：.计算以☆（-4）1x（（-4）^（-2）］=

O

10.（2022.浙江.七年级专题练习）观察卜.列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）

1!=1,2!=2xl,3!=3x2xl,4!=4x3x2xl,...»

2013!_

那么计算:

2014!—一

11.（2022・浙江绍兴•七年级期末）如加={1,2/},我们叫集合M.其中1,2,x叫做集合

〃的元素，集合中的元素具有确定性（如工必然存在），互异性（如xwl,xw2）,无序性

（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合N={xJ2},我们说M=N.已知集合A={l,0,a},

集合叫，图,若…，则入的值是一

12.（2021•浙江宁波•七年级期中）材料：一般地，"个相同因数〃相乘:.〃记

为，.如2:8,此时3叫做以2为底的8的对数,记为咋28(BPlog28=3).那么

：

1吗9=，(log216)+1log381=.

三、解答题

13.(2021.浙江•杭州市十三中教育集团(总校)七年级期中)定义新运算：对于任意实数m

b,都有々※/2=4+〃，例如7X4=7+4?=23.

(1)求5X4的值.

(2)求7派(1※行)的平方根.

14.(2021•浙江・杭州市弘益中学七年级期中)任何实数小可用同表示不超过a的最大整数,

如［4］=4,［石］=1.现对72进行如下操作：72第一次［岳］=8,第二次［瓜］=2,第三次［&］=1,

这样对72只需进行3次操作变为1.

(1)对10进行1次操作后变为，对200进行3次作后变为：

(2)对实数m恰进行2次操作后变成1,则m最小可以取到：

(3)若正整数〃?进行3次操作后变为I,求机的最大值.

15.(2021•浙江台州•七年级期末)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的

负整数，若两两乘枳的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.

例如：-9,-4,-1这三个数，J(-9)X(T)=6,^(-9)X(-I)=3,J(-4)x(7)=2,其结果

6,3,2都是整数，所以-I,-4,-9这三个数称为“完美组合数”.

(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.

(2)若三个数-3,〃?，-12是，完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12,求〃?的值.

16.（2021.浙江.七年级期中）数学中有很多的可逆的推理.如果1"=〃，那么利用可逆推

理,己知"可求力的运算，记为b=f（〃），如IO?=100，

贝IJ2=八100）;104=10000,4=7（10000）.

①根据定义，填空：/（10）=，/（8）=.

②若有如下运算性质：/（，〃〃）=/（，〃）+/（〃），/（£）=/（〃）-/（〃?）.

根据运算性质填空，填空：若/⑵=0.3010,则/（4）=；/（5）=

③下表中与数x对应的八•。有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正.

X1.5356891227

3a-b+c2a-ba+c\+a-b-c3—3d—3c4a-2h3-b-2c6a-3b

错误的式子是，;分别改为，.

题型四：实数运算的实际应用

一、单选题

1.（2021浙江•高照实验学校七年级阶段练习）有下列说法；①在1和2之间的无理数有且

只有也,6这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数：④1

是分数.其中正确的为（）

A.①②③④B.C.②®D.②

二、填空题

2.（2020•浙江温州•七年级期中）如图，在纸面上有一数轴，点4表示的数为-1,点B表

示的数为3,点C表示的数为百.若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠

纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点。重合的点所表示的数是.

,<C,?,,,.

-2-10~1*2~3~4~5~6~7

3.（2020♦浙江杭州•七年级期中）若3"'+3"'+3"'=，，则〃?=.

4.（2020♦浙江•翠苑中学七年级期中）设x,），是有理数，且x,），满足等式

x+2y—忘），=17+4&,则4+y的平方根是___________.

三、解答题

5.（2021・浙江・宁波市第七中学七年级期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100

千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速

度,所用的经验公式是-=16百，其中口表示车速（单位：千米/时，，/表示刹车后车轮滑

过的距离（单位：米），/表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d=32米，/=2,请你

判断一下，肇事汽车当时是否超速了.

6.（2021.浙江绍兴.七年级期末）已知小正方形的边长为I,在4x4的正方形网中.

（1）求S阴=.

（2）在5x5的正方形网中作一个边长为旧的正方形.

7.（2020♦浙江•七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起

对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一

条数轴进行操作探究：

操作一：

（1）折叠纸面，若使表示的点1与-1表示的点重合，则-2表示的点与表示

的点重合；

操作二：

（2）折叠纸面，若使1表示的点与・3表示的点重合，回答以下问题：

①G表示的点与数表示的点重合；

②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、

B两点表示的数分别是；

操作三：

（3）在数轴上剪下9个单位长度（从・1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然

后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1；I；2,则

折痕处对应的点所表示的数可能是.

折痕.处

题型五：与实数运算相关的规律题

一、单选题

I.（2019•浙江湖州•七年级期中）如图将1、&、6、指按下列方式排列.若规定（犯〃）表

示第机排从左向右第〃个数，则（5,4）与（15,8）表示的两数之积是（）.

I第卅

J2H第2排

RI第洲

J5J6I加排

门RIJiQ鬲佛

A.1B.41C.6D.76

2.（2019•浙江・绍兴市袍江中学七年级期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图

中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）

&45

2J546

J72j23Ji6

•••••••••••

A.2x/10B.而C.50D,而

二、填空题

3.（2020.浙江.七年级单元测试）将实数6按如图所示的方式排列，若用（，〃,〃）表

示第排从左向右数第〃个数，贝IJ（5,4）与（11,7）表示的两数之积是

1（第1排）

近石（第2排）

近1V2（第3排）

场瓜\如（第4排）

石木1夜⑺（第5排）

4.（2020♦浙江宁波•七年级期末）若|a-1|+（ab-2）2=0,则

111

---1-----------++-------------=

ab（«+1）0+1）…（”+10）3+10）-----

5.（2018♦全国•七年级课时练习）借助计算器计算下列各题：

⑴肝=；

（2）#77=；

（3）Vi5+23+33=______:

（4）Vl3+23+33+43=：

⑸根据上面计算的结果，发现打3+23+,+〃3=.（用含n的式子表示）

6.（2017•浙江杭州•七年级期中）计算J1+$+*=»J1+*+"=，再计算

FJW，＞**…猜想卜卜岛•结果为---------------

三、解答题

7.（2018•浙江杭州•七年级开学考试）己知：|-々-1|十（人2）2=0,求

（a-l）（b+l）+（a-2）（b+2）++（«-100）（/?+100）的值，

Q巩固提升

一.选择题（共5小题）

1.2（021秋•勤州区校级期中）化简正・|点-1|的值是（）

A.2V3B.1C.2D.-1

2.（2021秋•江干区校级期中）下列说法正确的个数是（）

①最小的负整数是-1;

②所有无理数都能用数轴上的点表示；

③当（忘0时，同=■。成立；

④两个无理数的和可能为有理数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2020秋•奉化区校级期末）下列运算正确的是（）

A.7（-3）2=±3B.V27=3

C7（V3-2）2=V3-2D.-V9=-3

4.（2021秋•西湖区校级期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（）

/输入々力/与

A.67=0,b=3B.a=\,b=2C.a=4,b=\D.”=9,b=0

5.（2020秋•奉化区校级期末）实数a、b,c在数轴上的位置如图所示，则化简

强+J（a+b）2-|a-b|的结果为（）

-a-----------------~

A.-3bB.-la-bC.a-2bD.-b

二.填空题（共8小题）

6.（2022秋•郸州区校级月考）可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是.

7.（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3〃+38-2什2/〃的值是.

我不小心把老师留的作业题弄丢我告诉你：为与。互为相反数,

了，只记得式子是3o-3A2c+c的倒数为-2,的算术平方根

是3”

8.（2021秋•东阳市期末）若。与〃互为相反数，相与"互为倒数，上的算术平方根为我,

则2022a+2023+〃〃由+P的值为.

9.（2021秋•越城区期末）计算：^27+74=

10.（2020秋•钱塘区期末）怖+牛豆=♦

11.（202（）秋•奉化区校级期末）化简（-&）2川-亚|+¥两的结果为

12.（2020秋•奉化区校级期末）对于任意不相等的两个数①b,定义一种运算*如下：a"

=五豆,如3*2=运逗=逐，那么12*（3*1）=_______.

a-b3-2

13.（2021秋•西湖区校级期中）定义新运算☆6=《r2+b2,则12*（3*4）=.

三.解答题（共7小题）

14.（2022•仙居县校级开学）计算：蒋+（-1）2022招+4福.

15.(2021秋•金华期末)计算:

(1)印27+4+(-2)；(2)-I2,)22+32XV16.

16.（2021秋•西湖区校级期中）定义新运算：对于任意实数小/），都有。※力=〃+序，例如

7^4=7+42=23.

（1）求5X4的值.

（2）求丁※（1※血）的平方根.

17.（2021秋•西湖区校级期中）（I）若。是最大的负整数，。是绝对值最小的数，。是倒数

等于它本身的正数，”是9的负平方根.

则a=；b=：c=；d=.

（2）若〃与6互为相反数，。与1互为倒数，求3Q+h）-（-cd）3-2的值.

18.（2021秋•永嘉县校级月考）计算：7（-3）2+（、回）2

19.（2021秋•温州期中）下列8个实数：・2,0,加,瓜-1,（-2）3,（-3）2,IT.

3

（I）属于无理数的有：；属于负整数的有：.

（2）求题中所列8个实数中的最大数与最小数的乘积.

20.（2021秋•永嘉县校级月考）（1）计算并化简（结果保留根号）

①|1_V2I=②血-V3I=③-.又1=④|V4-V5I=

（2）计算（结果保留根号）：

IV2-V3I+|V3-V4I+IV4-V5|+……+1^017々20181

第06讲实数的运算（4大考点）

u考点考向

一、实数大小的比较

正实数大于0,负实数小于（）.

两个正数，绝对值大为数较大；两个负数，绝对值大的数较小.

从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数人.

二、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、

乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行

实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

U考点精讲

题型一：实数的混合混算

一、填空题

1.（2021•浙江・杭州市青春中学七年级期中）计算：

（1）阚=—.（2）4+J（-4>=—.（3）屈的立方根为一.

（4）如果右的平方根是±3,则W-17=—.

【答案】4834

【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；

（2）根据平方根的定义先化简，然后求解即可；

（3）根据平方根的定义先化简，再求立方根即可；

（4）根据平方根的定义先求出。，然后代入求解即可.

【详解】解：（1）^/64=4；

（2）4+7M）*234=4+716=4+4=8;

（3）V764=8,

:.764的立方根即为8的立方根，8的立方根为3,

J闹的立方根为3：

（4）•・•及的平方根是±3,

4a二（±3）”=9,

<4=92=81,

工M〃-17=洸1-17=病=4；

故答案为：4；8；3；4.

【点睛】本题考查平方根，算术平方根以及立方根的相关计算，理解平方根与立方根的相关

基本概念是解题关犍.

2.（2021.浙江温州•七年级期中）如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是.

2

【分析】由图可知阴影部分的面积等于正方形面积减去圆的面积，由此求解即可.

【详解】解：根据题意可得：

S阴影=2x2一乃x——4-7T.

、2,

故答案为：4-%.

【点睛】此题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟知正方形、圆的面积公式.

3.（2022•浙江宁波•七年级期末）计算：|3—引+|乃—4卜.

【答案】1

【分析】先化简绝对值，再加减运算即可求解.

【详解】解：・・・3V冗V4,

/.3-^|+|^-4|=p-3+4-p=l,

故答案为：1.

【点睛】本题考杳化简绝对值、实数的加减运算，会利用绝对值的性质化简绝对值是解答的

关键.

4.（2021•浙江・台州市书生中学七年级期中）若正石与痴二？互为相反数，则

（1-6产’=.

【答案】-1

【分析】根据题意，可得：VT工+场与=0,所以I-2x=-<3x-5）,据此求出x的值是多

少，再应用代入法，求出（1-4产'的值是多少即可.

【详解】解：•••苏可与瓦。互为相反数，

•'­%-2x+V3x-5=0,

l-2x=-（3x-5）,

解得：x=4,

.•.（1-正严|=（1-"严|=（1-2严|=（-1严|=-1,

故答案为：-1.

【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，相反数的性质，立方根的性质，根据两个数的立

方根互为相反数得到关于/的方程是关键点.

二、解答题

5.(2021•浙江台州•七年级期末)计算：I-⑸-病+".

【答案】V3-1

【分析】先逐项化简，再算加减即可.

【详解】解：原式=6-3+2=百-1,

故答案为：＞/3—1.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解答本题的关

键.

6.(2021•浙江台州•七年级期末)计算：V4+O-(V3j2.

【答案】-3

【分析】先计算算术平方根、立方根、实数的乘方，再计算加减法即可得.

【详解】解：原式=2+(-2)-3

=-3.

【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

7.(2022•浙江金华•七年级期末)计算：

⑴际+4+(-2)

(2)-12O22+32XX/16

【答案】(1)1

⑵35

【分析】(1)原式先化简立方根，再计算除法，最后计算减法即可得到答案；

(2)原式先计算乘方和化简算术平方根，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案.

(1)

历+4+(-2)

=3-2

=1

(2)

-12O22+32XV16

=-1+9x4

=-1+36

二35

【点睛】本题主要考杳了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本撅的关键.

8.（2022•浙江台州•七年级期中）计算：

⑴屈一屈

（2）|&一3|+百于-（-产・

【答案】⑴12

⑵7-拉

【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；

（2）直接利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.

（1）

解:原式=4-4x（-2）=12；

（2）

解：原式=3-0+3+1=7-a-

【点睛】本题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

9.（2022•浙江台州•七年级期中）计算标+后+|1•坦

【答案】&

【分析】直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的

运算法则进行计算即可.

【详解】解：M+炀+|1-日

=4-3+>/3-1

=6.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根以及绝对值的非负性是解本

题的关键.

10.（2021•浙江台州•七年级期末）计算：C+与-必-3|

【答案】2+6

【分析】首先计算开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

【详解】解；V4IV273|

=2+3-（3-x/3）

=2+3-3+^

=2+6

【点睛】此题主要考杳了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有

理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要

先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围

内仍然适用.

11.(2021•浙江•七年级期中)计算:

(1)-12-6+(-2)XQ

【答案】(1)8；(2)-1

【分析】(1)先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减;

(2)先化简各数，再作加减法.

【详解】解：(1)-12-64(-2)X79

=-1+9

+^8+|-i|

(2)

=-1

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解本题的关键.

12.(2022•浙江台州•七年级期中)计算：

⑴血-炳；

⑵2肉牍-2|

【答案】⑴1

⑵2+行

【分析】(1)根据算术平方根和立方根化简后计算即可;

(2)去绝对值后计算即可.

(1)

解：>/16-</27

=4-3

=1；

(2)

2x/3+|V3-2

=2右+2-6

=x/3+2.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解

题关键.

题型二：程序设计与实数运算

一、填空题

1.（2021•浙江温州•七年级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x为后，则输出

的结果为.

【答案】15.

【分析】根据输入的为底，按照运算程序，计算结果即可.

【详解】解：•・・输入的x为岳，是无理数，

，以X为边长的正方形的面积是：x/15?71515,

故答案是：15.

【点睛】本题考查有理数的运算，读懂题目，掌握计算法则是解题的关键.

2.（2020•浙江温州•七年级期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入彳=-3,则最后

输出的结果是—.

【答案】2限.

【分析】读懂计算程序，把x=-3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可.

【详解】当输入-若"（x+4）x（-2）2=2&7的结果是无理数,即为输出的数，

当x=-3时，27x+4=2,不是无理数，

因此，把x=2再输入得，2Jx+4=2限,

故答案为：26.

【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键.

3.（2021•浙江温州七年级期中）如图，是一个计算程序，若输入。的值为加，则输出的

结果应为.

输入——平方|——O——>[^05]——

【答案】|

【分析】根据计算程序列出算式，并根据求解即可.

【详解】解：根据题意，得

（画"卜0.5

=(10-5)x05

5

2

故答案为：|.

【点睛】本题考查实数的混合运算，理解计算程序，正确列出算式并求解是解答的关键.

二、解答题

4.（2022•浙江台州•七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图.

（1）当x为9时，），值为；

（2）如果输入0和1,（填“能”或“不能”）输出j值；

⑶当输出的），值是逐时，请写出满足题意的x值：.（写出两个即可）

【答案】（1）6

Q）不能

（3）5或25（答案不唯一）

【分析】（1）根据运算流程图，即可求解；

（2）根据0的算术平方根是0,I的算术平方根是1,即可判断;

（3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值.

（1）

解：当输入x=9时，9的算术平方根为3,不是无理数，3的算术平方根为G，

即＞=石；

故答案为：6

（2）

解：当输入尸0或1时，因为（）的算术平方根是（），始终是有理数，1的算术平方根是1,

也始终是有理数，

所以不能输出y；

故答案为：不能

（3）

解：当），=逐时，y2=（^）=5,此时x=5；

当），=不时，），2=（6『=5,52=25,此时A25；

故答案为：5或25（答案不唯一）

【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键.

5.（2020•浙江•七年级期末）有一个数值转换器.原理如图.

输入x干＞取算术平方根输出y|

|是有理数

（1）当输入的x为81时，输出的y是多少？

（2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在.请写出所有满足要求的x的

值；如果不存在，请说明理由；

（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行“，请你推算输入的

数据可能是什么情况？

（4）若输出的y是石，武判断输入的X值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个.

【答案】（1）G；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25

【分析】（1）根据运算规则即可求解；

（2）根据。和1的算术平方根即可判断；

（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；

（4）找到使得输出值为舟的两个数即可.

【详解】解：（1）当户81时,

向=9,声=3,6是无理数，

故产6；

（2）当40或1时，始终输不出），值.

因为0,1的算术平方根是0,1,一定是有理数；

（3）•・•负数没有算术平方根，

，输入的数据可能是负数；

（4）25的算术平方根是5,5的算术平方根是石，

故输入的x值不唯一，例如5和25.

【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键.

题型三：新定义下的实数运算

一、单选题

1.（2022•浙江台州•七年级期中）设（用表示小于工的最大整数，如（3］=2,（-1,6］=-2,则

下列结论中正确的是（）

A.（0］=0B.工一（幻的最小值是0C.x-（幻的最大值是1

D.不存在实数x,使1-（.打=。.2

【答案】C

【分析】根据新定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、（01=-1,故本选项错误，不符合题意；

B、因为表示小于”的最大整数，所以x-（划＞0,故本选项错误，不符合题意：

C、因为（X］表示小于工的最大整数，所以。＜x-（幻＜1的最大值是1,故本选项正确，符合

题意；

D、存在实数4,使天一（幻=0.2,如x=0.2,则X一（用=。.2-。=。.2,故本选项错误，不符

合题意：

故选：C.

【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解（只表示小于x的最大整

数是解题的关键.

2.（2021•浙江•七年级期末）任何实数m可用［可表示不超过〃的最大整数，如

［4］=4,［g］=l,现对72进行如下操作，72］次＞［匠］=8第次》［右］=2第次＞［夜］=1,

这样对72只需进行3次操作即可变为1,类似地，对81只需进行（）次操作后即可变为

I.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据新运算依次求出即可.

【详解】解：［廊］=9,卜叼=3,［向=1,共3次操作，

故选B.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能求出每次的值是解此题的关键.

3.（2021•浙江台州•七年级阶段练习）定义新运算“㊉“：a㊉b,+:（其中a、b都是有理数）,

ab

例如：2㊉3=；+?=?，那么3㊉（-4）的值是（）

236

A.--B.--C.—D.—

12121212

【答案】C

【详解】试题解析：3㊉（-4）

=-11-1=1--1=1-

3-43412,

故选C.

4.（2022.浙江.宁波市郸州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：

a*b=alr¥a—b,其中，a,匕为有理数，则外（〃-“）*〃等于（）

A.a2-bB.b2—bC.b2D.b2—a

【答案】B

（详解】a*b+（b-a）*b=ab+a-b+（b-a）b+（＜b-a）-b

=ab+a-b+b2-ab+b-a-b=b~-b

故选：B.

5.（2021・浙江•高照实验学校七年级阶段练习）对于任意不相等的两个实数a,b,定义运算:

a^b=a2-b2+\,例如3X2=32-22+1=6,那么（-5）X4的值为（）

A.-40B.-32C.18D.10

【答案】D

【分析】直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案.

【详解】解：（・5蟀4=（-5）2・42+1=10.

故选：

【点睛】本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解

题关键.

二、填空题

6.（2022•浙江杭州七年级期中）用“软定义新运算：对于任意实数a,b,都有（通4/十］.例

如：7（8）4=42+1=17,那么2022③5=；当，〃为实数时，加齿（m③2）=.

【答案】2626

【分析】首先用5的平方加上1,求出2022®5的值；然后用2的平方加上L求出〃声2的

值，进而求出加⑨（m®2）的值即可.

【详解】解：..•对于任意实数mb,都有°防=y+1,

J202265=52+1=26；

当机为实数时，

m®(w®2)

=m»(22+1)

=〃伊5

=52+1

=25+1

=26.

故答案为：26、26.

【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“铲的运

算方法.

7.(2021•浙江•七年级期末)用“△”〜”定义新运算：对于任意有理数mb,都有=a和

a*b=b,例如3Z\2=3,3*2=2.则(201742016心(201£*2014)=.

【答案】2017

【分析】仿照定义新运算：b=a；/氏。进行计算即可.

【详解】解：(2017A2016)A(2015*2014)

=2017A2014

=2017

故答案为：2017.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，本题是一种新定义的题目：先理解新定义的含义.

然后根据新定义的运算法则进行运算.

8.(2021♦浙江•七年级期末)对于两个不相等的实数。、b,定义一种新的运算如下，

a*b=^1L(a+b>o),如：3*2=氐"后,那么6*(4*5)=___________.

a-b3-2

【答案】史

9

【分析】先根据已知条件求出4*5的值，再求出6*(4*5)的值即可求出结果.

【详解】解：•・•〃》=必亚(。+人>0),

a-b

.•・4*5=3亘=3,

4-5

,6*(4*5)=6*(-3)=2^HZ=立.

6+39

故答案为：B.

9

【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键.

9.(2021•浙江•七年级期末)对实数b,定义运算☆如下：，

例如2+3=2-3=：.计算[2☆(-4)]><l(-4)☆(-2)]=_____

8

【答案】1

【详解】先判断算式a+b中，a与b的大小，转化为对应的暴运算，再进行乘法运算.

[2^(-4)Jx[(-4)☆(-2)J,

=2<x(-4)2=16xJ-=l.故答案为1.

10

10.(2022•浙江•七年级专题练习)观察下列等式(式子中的“！”是一种数学运算符号)

1!=1,2!=2xl,3!=3x2xl,41=4x3x2x1....

2013!_

那么计算:

2014!—一

1

【答案】

2014

【分析】根据“！''的运算方式列式计算即可.

…小行2013!2013x2012x2011x..x2xl1

【详解】解：------=------------------------------=------.

2014!2014x2013x2012x...x2xl2014

【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，理解新定义运算“！”是解题的关键.

11.(2022・浙江绍兴•七年汲期末)如用={1,2,x},我们叫集合M.其中1,2,x叫做集合

M的元素，集合中的元素具有确定性(如工必然存在)，互异性(如工工2),无序性

(即改变元素的顺序，集合不变).若集合N={x,l,2},我们说M=N.已知集合4={1.0间},

集合8=*,同3}‘若则人a的值是.

【答案】-1

【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断.

【详解】•・・A=8,awO,

*0,同工0,

a

/.—=0,即/?=0,

=1»同=々或4=a,|a|=1,

=l或a=-l（舍去），

—a=0—1=-I,

故答案为：-1.

【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出”和〃的

值.

12.(2021•浙江宁波•七年级期中)材料：一般地，〃个相同因数。相乘：aT"，闱”记

〃个

为屋.如23=8,此时3叫做以2为底的8的对数,记为logz8(BRlog28=3).那么

2

1。心9=,(log216)+1log381=.

【答案】3；171.

44

【分析】由3?=9可求出1咤29=3,由2=16,3=81可分别求出log216=4,log381=4,

继而可计算出结果.

【详解】解：(1)由题意可知：3?=9，

piljlog29=3,

(2)由题意可知:

24=16,3,=81,

yiljlog,16=4,iog381=4,

2

A(log216)+llog381=16+^=17p

故答案为：3；17：.

【点睛】本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键.

三、解答题

13.(2021•浙江•杭州市十三中教育集团(总校)七年级期中)定义新运算:对于任意实数a,

b,都有徐。=〃+〃，例如7X4=7+4?=23.

(1)求5X4的值.

(2)求7※(快0)的平方根.

【答案】(1)21；(2)±4

【分析】(1)根据定义新运算即可求5X4的值；

(2)根据定义新运算求核(1※&)的值，再计算平方根即可得出答案.

【详解】(1)由定义新运算得：5X4=5+42=5+16=21；

(2)由定义新运算得：7^(1XV2)=7^(I+2)=7X3=7+9=16,

・•・7X(1XV2)的平方根为土加=±4.

【点睛】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键.

14.（2021•浙江•杭州市弘益中学七年级期中）任何实数。，可用㈤表示不超过a的最大整数,

如［4］=4,［石口.现对72进行如下操作：72第一次［"］=8,第二次［瓜］=2,第三次［&］=1,

这样对72只需进行3次操作变为1.

（1）对10进行1次操作后变为，对200进行3次作后变为：

（2）对实数m恰进行2次操作后变成1,则m最小可以取到：

（3）若正整数切进行3次操作后变为I,求，〃的最大值.

【答案】（1）3;1;（2）4</«<16；（3）加的最大值为255

【详解】解：（1）V32=9<（x/10）2=10<42=16,

，3〈厢v4,

・・・［阿=3,

・••对10进行1次操作后变为3

同理可得14<7^55V15,

.-.［V200］=14,

同理可得3<西<4，

・・・［何=3,

同理可得1<6V2,

，对200进行3次作后变为1,

故答案为：3；1；

（2）设，〃进行第一次操作后的数为x,

VW=l,

1<x<2.

:.1<yfm<4.

I<w<<16.

•・•要经过两次操作.

*,*y［m>2.

24.

/.4<??2<16.

故答案为：4<7?7<16.

（3）设，〃经过第一次操作后的数为〃，经过第二次操作后的数为X,

VW=I,

：.\<x<2,

♦•14\[n<2•

A1</1<4.

IWyfm<16.

ISmv256.

,要经过3次操作，故mN16.

16</n<256.

•・•加是整数.

・•・m的最大值为255.

【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键.

15.(2021•浙江台州•七年级期末)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的

负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.

例如：-9,-4,-I这三个数，J(—9)x(T)=6,J(-9)x-l)=3,J(-4)x(-l)=2,其结果

6,3,2都是整数，所以-1,4-9这三个数称为“完美组合数”.

(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.

(2)若三个数-3,〃?，・12是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为12,求小的值.

【答案】(1)是，理由见解析

(2)m的值为-48或-12

【分析】(1)根据新定义进行计算，即可得到答案；

(2)根据新定义的运算法则进行计算，即可求出答案.

(1)

解：18)x(—8)=12,