新高考版《数学》资料：空间角与距离、空间向量及其应用

8.5空间角与距离、空间向量及其应用

基础篇

考点一用向量法证明空间中的平行和垂直

1.（2021广东佛山月考,2）直线/〃。，且/的方向向量为（2,/〃,1）,平面。的法向量为

则用（）

A.-4B.-6C.-8D.8

答案C

2.（2022福州一中质检,4）以下四组向量在同一平面的是（）

A.(1,1,0).(0,1,1)、(1,0,1)

B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)

C(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)

D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)

答案B

3.

（多选）（2022广东中山一中阶段测试，10）如图，两个正方形械。和力〃£厂所在平面互相

垂直,设M分别是力。和//的中点,那么下列结论正确的是（）

A./"L也VB..W平面CDE

Q.MN//CED.网;四异面

答案ABC

4.（多选）（2021新高考1,12,5分）在正三棱柱力吐力，。中，力/力4=1,点产满足前=

2就十〃西，其中4£[0,1],[0,1],则（）

A.当.1=1时，步的周长为定值

B.当〃=1时,三棱锥的体积为定值

C.当乂=1时，有且仅有一个点只使得4P_L筋

D.当〃目时,有且仅有一个点P,使得4员L平面ABF

答案BD

5.(2023届南京、镇江学情调查，19)如图，在四棱锥S-ABCDT、底面48⑦是直角梯形,

侧棱S!_L底面力比〃/切垂直于/〃和B&夕仁仍dZM,V是棱的的中点.

(1)求证：儿必〃平面以以

(2)求平面S《刀与平面S区所成锐二面角的余弦值.

解析因为斗，底面/比〃仍垂直于AD,所以以点/I为坐标原点，以向量而，荏，国的

方向分别为x

轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则

力(0,0,0),C(2,2,0),P(l;0,0),5(0,0,2),J/(0,1,1),所以宿=(0,1,1),历=(1,0,一

2),而=(-1,-2,0).

(1)证明：设平面sa?的法向量为正(x,y,z),

令2=1,则"2,产T,则/F(2,-1,1).

因此而7・/7=-1+1=0,从而而?_!_〃,又4町平面SCD,所以月初/平面SCD.

(2)易知平面S48的一个法向量为/?,=(1,0,0),

由(1)知平面SC〃的一个法向量为炉(2,-1,1),

则cos",二普=高=£所以平面SW与平面弘8所成锐二面角的余弦值为半.

|川|八|V6X133

6.(2022南京一中期初测试,20)如图，四棱锥餐力以力的底面为正方形,Ei_L底面

ABCD,PA二AB,点/在楂顶上,旦2小做点”是楂夕C二的动点(不含端点).

(1)若尸是棱夕。的中点，求证：夕8〃平面川珏

(2)求PA与平面力所所成角的正弦值的最大值.

p

解析因为四棱锥尸月笛的底面为正方形，*_L底面力〃以

所以/血力〃两两垂直,以A为坐标原点，分别以3瓦而，丽的方向为x轴,y轴，z轴的

正方向，建立空间直角坐标系/kyz,如图所示.

不妨设PA=AB=6,则5(6,0,0),户(0,0,6),不0,2,4),C(6,6,0),不0,6,0).

(1)证明:荏二(0,2,4),因为一是棱%的中点，所以A3,3,3),所以衣;(3,3,3).

设平面板的法向量为炉(％y,z),则由任.竺二°，

得第M*=Q不妨令尸2,则

所以〃尸又丽=(6,0,-6),所以m•而二-6+0+6=0,即m_L而，

又取平面AEF,所以如〃平面AEF.

(2)左二(6,6,-6),设处与平面力疗'所成的角为0,

方=入玩二(6九6九一64)，0＜大＜1,则而=而+而=而+；1定=(6九64，6—6.1),

设平面力仔'的法向量为F(a,b,c),

九.而=0,得(2b+4c=0,

则由

.♦而二0,、(6Aa+6Ab4-(6-6A)c=0,

不妨令房2,则a=^-3,c=~l,所以/T=Q-3,2,-1),又彳?:(0,0,6),

所以sinJ=|cos<Q,〃>|二窝7

所以当J=3,即时，(sin0)即=橐=手，

A3V55

故PA与平面力疗'所成角的正弦值的最大值为

7.(2017天津，17,13分)如图，在三棱锥中，四_L底面ABC,NBAC=90°.点D,£,N

分别为棱川,PC,4C的中点，J/是线段"的中点，PA=AC=4,A片2.

Icos〈而屈＞I=SS=段磊=祭整理得1。人21/升8=0,解得弓或吟

所以线段力〃的长为g或小

考点二空间角和空间距离

考向一空间角问题的求解方法

1.（2022湖南娄底双峰一中摸底,8）如图,在正方体ABCD~ABCD\中/为4〃的中点,

过4G且与切平行的平面交平面GCV于直线1,则直线/与/切所成角的余弦值是

()

A片B片喈

答案D

2.（2022重庆江津质检,E）如图，二面角的棱上有力、3两点，直线力。、协分别在这人

二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知/I比4,小6,除8,CF2m则该二面角的

大小为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案C

3.（多选）（2023届浙江嘉兴基础测试，1嘉如图,在

正四面体力筋中，公尸分别为月肌⑦的中点，则()

A.直线",与/山所成的角为］

B.直线£尸与所成的角为；

4

C.直线跖与平面仇7?所成的角的正弦值为日

D.直线旗与平面力协所成的角的正弦值为当

答案ABC

4.（多选）（2022重庆涪陵高级中学冲刺卷二，12）在四棱锥/，/1ao中，底面ABCD是正方

形，切_L平面力比〃点£是棱/T的中点，氏则（）

A.ACLPB

B.直线力少与平面川人所成角的正弦值是f

6

C.异面直线AD与/%所成的角是；

D.四棱锥任力筋的体积与其外接球的体积的比值是M

9TT

答案ABD

5.（2020天津，17,15分）如图，在三棱柱力於48G中，CGJ_平面ABC,ACL

BC,AC=BC=2yCG=3,点〃，夕分别在棱9和棱CG上，且e2,M为棱4分的中点.

⑴求证：GMLRD;

（2）求二面角比笈尺〃的正弦值；

（3）求直线48与平面如出所成角的正弦值.

解析

以C为原点，分别以冬,而，药的方向为x轴,'轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系

（如图），可得

r(0,0,0),力(2,0,0),8(0：2,0),G(0,0,3),4(2,0,3),5(0,2,3),〃(2,0,1),£(0,0,2),M

1,1,3).

(1)证明：9=(1,1,0)，瓦方=(2,-2,-2),从而领•瓦万=2-2+0=0,所以

(2)依题意知,CA=(2,0,C)是平面，阳£的一个法向量,西=(0,2,1),ED=(2,0,7).设

炉a,y,Z)为平面的上的法向量,则卜.竺=°，即怡y+z=?不妨设产］,可得

{n-ED=0,-z=0.

n=(l,-1,2).因此有cos<G4,〃〉=£：=—,于是sin<G4,/?>=—.

\CA\\n\66

所以二面角於8股〃的正弦值为”.

6

(3)希=(-2,2,0).由(2)知炉(1,-1,2)为平面多后的一个法向量，于是

所以直线月月与平面阳历所成角的正弦值为”.

考向二利用等体积法、向量法求空间距离

1.（2022湖北七校联合体联考,6）在直三棱柱力心力毋G中，底面是等腰直角三角形，/

ACB0O°,侧棱44尸3,D,夕分别是CG与48的中点，点£在平面/如9上的射影是△力必

的重心G则点4到平面力切的距离为

A.V6B.yC.乎D.2V6

答案A

2.（多选）（2023届重庆南开中学月考，11）在棱长为3的正方体ABCD~A\RCD中,

点P在棱比,上运动（不与顶点重合），则点8到平面/电〃的距离可以是

A.V2B.V3D.V5

答案CD

3.（2022湖南株洲质检,1洲正方体力比ZMZG”的棱长为1,3（分别为能,面的中点,

则点尸到平面4〃£的距离为.

答案专

4.（2022新高考I,19,12分）如图，直三棱柱力心力归。的体积为4,比'的面积为

2Vz

⑴求力到平面4%的距离；

⑵设〃为4。的中点,AA^AB,平面48CL平面月即4,求二面角止80C的正弦值.

解析⑴由题意知七梭._丽=/三棱柱ABCT出QT设力到平面力典’的距离为A

则暝棱锥&-ABC=匕棱锥A-&BC=»“遇。♦八=乎九二/解得hZL故A到平面A.BC

的距离为鱼.

⑵连接A&,由直棱柱及力4二48知四边形力物4为正方形,故ABdAiB,4斤企力4,

又平面4比上平面ABAA.,平面ABCO平面ABBIAE&B,ABU平面ABB4,

・・・/8_L平面ABC,乂BCu平面ABC,

易知BCLBR,ABhBBu平面力884,力8A48尸8，・••比•1平面AEB4,

•:A8,A庆平面AB“

：.BCLAB,BCLA^B,

小三棱柱ABC-人际1=1BC・AB•"1=：8C7修=4,ShA1BC=^BC•A1BBC-

AA1=

解得除力4=2.

解法一（几何法）：过月作AEJD于E、连接CE.易得企，・・・4e275.

•・•〃为4c的中点，。为直角三角形，Z4^90::,AD=D8近,又力庐除2,BD=BD,

•••△力/?侬△侬

，CELBD,又AEu平面,4做CEu平面CBD,

・•・/力比为二面角上如「的平面角.

在直角三角形4肥中，有B*A'C=V3,

易得小E心V6.

3

在△力比中，由余弦定理的推论得cos/月的华念出=一；，・・・sinN4*，即二面

2AEEC22

角力-盼。的正弦值为当

解法二（向量法）：以8为坐标原点物,86所在直

线分别为X轴,y轴,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

R

贝IJ4(0,2,0),8(0,0,0),。(2,0,0),1,1)，瓦心(0,2:0),丽=(1,1,1),CD=(-1,1,1),

设平面力劭的法向量为力=(必，y,z),

则怦.%=°，即俨=0,

1前.3=0,卜1+%+的=0，

取小=1,则Zi=-l,故A=(l,0,-1),

设平面QC的法向量为小2=(检为Z2),

"前-n=0,(x+y+z=0,

叫而.敢2=0,叫f2+2y2+2z2=o,

取斤1,则为=T,照=0,故由(0,1,-1),

cos</7i,n>=「=--sin</7i,

V二2Xs/222

・•・二面角止做<的正弦值为今

5.(2022广东茂名检测，18)如图，直三棱柱ABQ&BC的底面是边长为2的正三角

形,£尸分别是比；％的中点.

(1)求证：平面4底L平面A"Z：

(2)若/外压30°,求点C到平面力〃'的距离.

解析⑴证明：在直三棱柱月心4笈。中，微_L平面ABC,又・・3£'u平面ABC,:.AELBB.

为等边三角形,£为式的中点，・・・力瓦1_比；

又•・•mnBOB,BB\,BCu平面B\BCG、

・•"£!平面B\BCG,

•：AEu平面AEF,・•・平面加£L平面B、BCG.

⑵在此△£此中，乙EFG30°,£'俏1,・•・止2,FO底设点C到平面乱尸的距离为《由

(1)知力反L面BMC,

则由匕-*%*•，即；TE4•EC.FC=；.d•然・匹解得垮.

6.(2022江苏涟水-•中测试，⑻如图1,AD,交是等腰梯形CDEF的两条高,力介心”2,

点也是线段混'的中点,将该等腰梯形沿着两条高AD,0折叠成如图2所示的四棱锥片

ABOKE,A'重合，记为点R.

(1)求证：BMVDP-,

(2)求点"到平面BDP的步离h.

解析⑴证明：因为AD1EF,所以ADLAP,ADLAB,又月尸AH户力,仍力比平面力"所

以力。_L平面ABP.因为8仁平面月M所以ADLBM.

由已知得，力比力片4片2,所以△力8n是等边三角形，

又因为点必是力〃的中点:所以BMVAP.

因为ADCA六A"D,AJ七平面ADP,

所以8ML平面ADP.

因为Z?/t平面ADP,所以BMVDP.

⑵取配的中点A；连接例

因为力。J_平面ABP,A^=AP=AD=2,

所以DP=B32g所以DN,BP.

所以在Rt△〃4V中，ZZWDP2-PN2==V7,

I)C

：\1N

P

所以S^^BP-D/V=|X2XV7=V7>

因为ADA.平面ABP,所以%nxr^AD,S^RUP.

因为心丽=%刎,所以［九,S△BDP=1月〃•S^M,

又•Sswff'S△ABP=-x-^-xAB2=x22=

所以月等竺旺=噜=孚,即点也到平面加加的距离为孚

S»BDPV77/

综合篇

考法一求解直线与平面所成角的方法

考向一用几何法求直线与平面所成的角

1.（多选）（2022新高考I,9,5分）已知正方体ABCD~ABC。则（）

A.直线BQ与所成的角为90°

B.直线附与以所成的角为90°

C.直线函与平面协〃〃所成的角为45°

D.直线肉与平面力成以所成的角为45°

答案ABD

2.（2013山东,4,5分）已知三棱柱ABC-A^Q的侧棱与底面垂直,体积为底面是边长为

V5的正三角形.若P为底面力由G的中心，则PA与平面78C所成角的大小为（）

A.—B.-C.-D.-

12346

答案B

3.（2014四川,8,5分）

如图,在正方体ABCD~4BCD中，点。为线段8〃的中点.设点尸在线段CG上,直线华与

平面4切所成的角为则sin。的取值范围是（）

A停1]B.的

C栏期D.降1]

答案B

4.（2022全国甲，理7,文9,5分）在长方体ABCIEBCD、中,已知方〃与平面/I筋和平面

A4//所成的角均为30°,则（）

A.AB=2AD

B.47与平面力84〃所成的角为30°

C.AC=C^

D.台〃与平面方遥GC所成的角为45°

答案D

5.(2022全国甲理，18,12分)在四棱锥人力四中，依1底面ABCD,CD//

AB,AD=DCCB=L力庐2,加丁

(1)证明：BDLPA\

(2)求勿与平面刃月所成的角的正弦值.

解析⑴证明：过〃作加垂足为〃则月吟又仍1,所以勿虚.易知〃心所以

盼国,在△//〃中，//+战二力优所以ADLBD.因为/少.平面ABCD,Bk平面ABCD,所以

PD1BD,又因为//A/18所以劭平面PAD,又/%u平面PAD,所以BDA.PA.

⑵连接加

设点〃到平面处方的距离为h,

由陈见尸七■4BP得△PAB,h=,PD,

«3J

所以展迎迎空.

S^PAB

由⑴易知S工血彳x2x=亨，

由/力_L平面ABCD,A氏1平面ABCD,〃住平面ABCD,得PDA,AB,PDLDH,又AB1.

DH,DHr\PD-D,所以/厉_L平面PDH,所以ABA.PH.

在RtZX&W中，P/*三+3=乎,

-M42

.一1、，c、，任任•/3V15

・・Sc^p.i/r--X2X—^―=—.h=7^=~

设直线外与平面处8所成的角为。，则

.h.\/151-/5

sin0n--=——X-F=—

PD5V35

故直线"与平面四月所成的角的正弦值为

考向二用向量法求直线与平面所成的角

1.（2022浙江慈溪中学开学考，13）已知正四棱柱ABCD-A^Ga中，力4=1,力庐2,则直线

力4与平面笈缈所成角的正弦值为.

答案y

2.（2022天津西青月考，⑶在正方体ABO）~ABC\R中，点产在侧面为笛笈（包括边界）上

运动,满足//_L8〃，记直线与平面所成角为。，则sina的取值范围

是.

答案停考

3.（2020新高考I,20,12分）如图，四棱锥尸,48缪的底面为正方形,勿_1_底面ABCD.设平

面/为〃与平面/沈'的交线为1.

（1）证明：AL平面/力C;

⑵已知外二/1介1,Q为1上的点,求必与平面仇刀所成角的正弦值的最大值.

解析⑴证明：因为/力_1_底面ABCD,所以PDLAD.又底面ABCD为正方形,所以ADA.DC.

因为PDCDOD,所以＜〃_!_平向PDC.因为iAD〃B以小平由\PBC,所以/〃〃平面PBC.日已

知得1//AD.因此，_L平面PDC

（2）以〃为坐标原点,画的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则/?(o,o,o),m1,0),Ml,1,0),Z\0,0,1),则比二(0,1,0),而二(1,

由(1)可设03o,D,则而=(&o,1).

设/尸(乂y,z)是平面05的法向量,则

「•丝=0,即6+z=。,可取所㈠,0,而

[n-DC=0,W-S

所以cos</?,

P5>=|n:||鲁PF|=x:^3一Vl+aa2

设掰与平面仇.〃所成角为〃，则sin嗯义岩=§11+年7•因为

3vi+a23、a2+l

当J1+普若,当且仅当时等号成立，所以勿与平面仇方所成角的正弦值的最

大值为当

4.(2023届湖北摸底联考,20)如图，在直三棱柱ABOABG中，〃'_!_/；/I俏/三2,S=3,点

〃,£'分别在棱14和棱CG上,且AD=1,C夕2.

(1)设厂为aC的中点，求证：4F〃平面即E;

(2)求直线力心与平面〃龙所成角的正弦值.

解析(1)证明：取比,的中点G；连接kG、龙;则凡7〃CG〃4九且/*詈=等=2,

所以尾〃4〃且FG=A、D,所以四边形4a/为平行四边形,所以A\F〃DG.又4尺平面

BDE,Dk平面BDE,所以平面BDE.

(2)因为直三棱柱/陀48G中,力人肉所以。、CB、CG两两垂直.

分别以不、而、皿的方向为彳轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标

系,则”(0,2,0),2;(0,0,2),〃(2,0,1),J(2,0,0),所以诟=(0,2,2),DD=(2,

2,1),匹瓦=而二(-2,2,0),

TI•前=0,

设平面反应的法向量为ZF(X,y,z),则

n-BD=0,

即-n令片1，得到平面做£的一个法向量为小G，14).

444y•/u,\//

设直线4笈与平面及火所成的角为〃,

||x(-2)+ix2+ixo|_72

，MiBl•川

则sin〃二Icos<i41fi1,n)|=-

khBiH川M+1+1XV4+4+0

所以直线力避与平面8座所成角的正弦值为它.

6

考法二求解二面角的方法

考向一用几何法求二面角

1.(2022河北冀州中学月考,4)在长方体AECD-A'E'C'D'中,若AB=AD=2相,3'=注,则二

面角C'-SOC的大小为()

A.30°B.45°C,60°D.90°

答案A

2.(2022福建厦门月考，⑻如图，在四棱锥片/1比〃中，底面口是边长为2的正方形，

侧面砌〃为正三角形,且平面为区L平面ABCD,£〃分别为棱AB,小的中点.

(1)求证：疗〃平面目〃；

(2)求二面角产叱〃的正切值.

解析(1)证明：取/刃的中点G；连接征'、/1G.

由题意知”为△/力。的中位线，

・•・GF//⑺且G*CD,又AE//①且AE=^CD,

「・GF〃AE&GI^AE,：.四边形EFGA是平行四边形，则EF//AG,又质平面PAD"k立面

川〃,••.M7平面PAD.

(2)取力〃的中点0、连接做则POLAD.

•・•平面为。J_平面ABCD,平面四〃n平面ABCD=AD,P3平面PADy

...夕。_1_平面ABCD,连接OB交CE于此连接PM,可证得Rt△版氏.'N」任庐N

AOB,贝IJNJ磔+NJ偌90°,即OMLEC.

又PO1EC,POC。%。，，必1平面POM,则PM1EC,即/局川是二面角任心〃的平面角,

在Rt△四町中，B相学■=竽,则0由OB-B加绊，：・tan/PMO=?=—,即二面角P-EC-

CE550M3

〃的正切值为平.

O

3.（2022河北邯郸检测，19）已知四棱锥任力成力的底面月应力为矩形,力庐2,力分4,川一平

面ABCDyE是9的中点.

⑴证明：理_L平面必E;

（2）若/力与平面/比力所成的角为45°,求二面角力-/少•£的正切值.

解析⑴证明：由条件可得A后D拄2近,又AD=4,所以Ag+能=加,所以AE±DE,又因

为为_L平面ABO）,DEu平面ABCD,所以PA1DE,又为CM后4所以弧1平面PAE.

（2）因为/物是外与平面/山切所成的角，所以/及冰45°,则PA=AD=4f因为用上平面

ABCD,月氏平面ABCD,所以ABLAP,又A31.AD,ADdAP=At所以A8_L平面为〃，取AD的中

点F、作内化PD,垂足为点M,连接烟因为EF//AB,所以跖J_平面PAD,所以EFA.PD,又

MFCE2F,MFyEFu平面NEF,所以如_L平面MEF,因为MEu平面MEF,所以PDLMEy即/

用加是二面角止畛后的平面角，又EgA斤2,晔专FD=&,所以tan/E怔端=

所以二面角力-小/的正切值为企.

考向二用向量法求二面角

1.（多选）（2022广东普宁华侨中学月考,9）三棱锥A-BCD中,平面力仍与平面筋的法向

量分别为〃I、m,若〃尸（1,0,0）,片（-亚0,1）,则二面角/H既。的大小可能为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

答案AD

2.(2022全国乙理，18,12分)如图，四面体ABCD4'ADLCD,AD=CD,E为AC

的中点.

(1)证明：平面比“L平面〃〃

(2)设/1斤陟2,N“庐6C°,点尸在BD上,当的面积最小时，求与平面ABD所

成的角的正弦值.

解析(1)证明：因为力庐傲夕为然的中点，所以座J_/C.因为/力〃庐/

BDC,AD=CDyBD=BD,所以侬△⑦氏所以AB=CB,又F为力。的中点，所以BELAC.又

DE,BEu平面BED,且DECB4E,

所以力UL平面BED,又力比平面力切

所以平面/忆。_1_平面BED.

⑵由题意及⑴知月后除2,又/力。9=60。，所以A(=2,B除氐因为ADA.DC,E为然的中

点,所以妗1.

所以庞+BE=B4,贝I」DELBE.

连接EF,因为nCL平面BED,EFu平面BED,

所以ACLEF,所以五"号47-E2EF.

当EEL8。时,£尸的值最小，即的面积最小，此时E卜当.如图，以后为坐标原

点，耳5,而，前的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系6灯z,则

r(-i,o,O),J(I,O,o),庾o,V3,o),〃(o,o,i),/{o,y,^),

所以彳5=(-1,0,1),瓦5=(0,-75,1),而=

设平面力劭的法向量为F(X,y,z),

则R.n=。,即「二,。，

(BD・n=0,l-V3y+z=0,

令y=l,得/T=(V3,1,V3).

设C厂与平面力8〃所成的角为8,

则sin^=|cos<??,CF>|=

|R||cr|/

所以。尸与平面/I做所成的角的正弦值为竽.

3.（2021全国甲理,19,12分）已知直三棱柱力吐45£中，侧面AAEB为正方

形,月庐给2,E,尸分别为•必和CG的中点，〃为棱4笈上的点,跖J_4尻

(1)证明：BFLDE;

（2）当台〃为何值时;面绻CC与面〃/七所成的二面角的正弦值最小？

解析♦：BELAR,BFCBBB,

."归」平面B\C£B,・・38〃4仇."良1平面BCCB,

又♦：BCu平面BCCB,：.ABLBC.

以Z?为坐标原点，BA,BC,即所在直线分别为彳轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角

坐标系,则M0,0,0)/(0,2,1),夕(1,1,0),・••歌=(0,2J),设片介H0W&W2),则

D(a,0,2),则屁二(l-a,1,-2).

(1)证明：•・•加•屁二(0,2,1)・(1-a,l,-2)=0X(l-<3)+2X1+1X(-2)=0,C.BFLDf:.

(2)前=(T,1,1)，而:(&-2,1),设平面〃叨的法向量为//=(xy,z),

•…%+V+z=。，不妨设一则尸牛左等.”(1,平甘)•

-n=ax-2y+z=0,33v337

易知〃尸（1,0,0）是平面阴CC的一个法向量.

设平面9CC与平面〃成所成的锐二面角的大小为〃，则cos〃=|cos〈R,〃》|*"；=

J2(a；『+红.靠=、(当a=/时取等号)，・・・sin^=Vl-cos20>

/+（喋）”等）2

y,故当W，即时，平面仍£。与平面他所成的二面角的正弦值最小,最小值为

V3

3,

4.(2023届福建漳州质检,18)如图,在四棱锥〃中，四边形力比〃是边长为2的正方

形,APtBP,A片BP,PD=瓜.记平面为A与平面99的交线为1.

(1)证明:

(2)求平面A仍与平面RT所成的角的正弦值.

解析⑴证明：因为AB//CD,CDci平面/(〃/阂平面PCD,所以ABH平面PCD.

乂A医1平面PAB,平面P/1BC平面PCF1,所以AB//1.

⑵因为APLBP,所以P弁+PE=AE=4,

又PA=PB,所以PA=PB-y[2,

又PD=瓜,所以Pq+AgPD,所以ADLPA,

又A吐AB,PACiAB=A,PAc平面PAB,力住平面PAB,所以力〃_L平面PAB.取AB,。9的口点

分别为0,他连接.留0P,则初〃力〃,所以J仅L平面PAB,又0空平面PAB,所以MOL0P.

又因为PA=PB,。为力8的中点,所以OPLAB.

如图，以。为原点，分别以丽，而，丽的方向为x轴,y轴，z轴的正方向，建立空间直角

坐标系，则A1,0,0),C(C,1,2),Z?(0,-l,2),所以无=(-1,1,2),PD=(-1,-1,2).

设B(X,匕Z)是平面心的法向量,则卜.竺二.即［一：+［普jU'取2=1，得

(H-PD=0,(-X-y+ZZ=。，

尸2,尸0,则/7=(2,0,1).

又炉(0,0,1)是平面E步的一个法向量，

所以COS</7,粉一；；：］=橐=£

所以平面砂与平面〃。所成的角的正弦值为J1二(宵=等.

5.(2019课标I理，18,12分)如图，直四棱柱ABCD~ABGD\的底面是菱形,［4=4,A庐2,Z

物少60°,£；出4.分别是BC,B遥,4〃的中点.

(1)证明：物”平面《龙;

(2)求二面角止物的正弦值.

解析⑴证明：连接B£,ME.因为机£分别为做，山的中点,所以ME〃BC且ME=~B.C.

又因为N为4〃的中点,所以A*4ZZ由题设知力归DC,可得RC4〃故MEND,因此

四边形WVZ均为平行四边形，则必〃切.又平面"G,所以劭V〃平面CxDE.

(2)由已知可得〃£1的.以〃为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系D-xyz,

4(2,0,0),4(2,0,4),Ml,V3,2),Ml,0,2),A^A=(0,0,-4),A^M=(-1,V3,-2),A^N=(-

1,0,-2),~MN=(0,-V3,0).

设片(乂y,z)为平面AM的法向量，贝式瓶.丝二°，

1m•ArA=0.

所以［r+何-2z=0,可取归(75,1,0).

设/尸5,q,r)为平面4楸的法向量，则卜,"=

h&N=0.

所以「百q：°,c可取尸以0.-D.

(,-p-2r=0.

工日/mn273V15

于是cos。/，冷不而=^f=—

所以二面角上场「AW勺正弦值为厚.

6.(2017课标II理，19,12分)如图，四棱锥尸■力筋中，测面处〃为等边三角形旦垂直于

底面NBAD=/ABC=90:E是外的中点.

ABCD"B=B£2AD,

(1)证明：直线以〃平面处优

⑵点必在棱PC上,且直线翻与底面力仇力所成角为45°,求二面角加力小〃的余弦值.

P

解析(1)证明：取PA的中点F、连接EF,BF.因为E是心的中点,所以EF//AD,EP^AD.

0

由NBAF/ABeg。得BC//AD,又比甘/”,所以跖BCy所以四边形式绪是平行四边形,

所以CE//BF,又BFu平面PAB,烟平面PAB,故3〃平面PAB.

⑵由已知得BALAD,以.4为坐标原点,通的方向为x轴正方向，I而|为单位长,建立如

图所示的空间直角坐标系A-xyz,则J(0,0,0)^(1,0,0),<7(1,1,0),P(0,1,V3),则

福(1,0,-75),福(1,0,0).

设Mx,y,z)(0<x<l),则丽=(尸1,y,z),丽=(x,尸1,小③.因为笈M与底面ABCD所成

的角为45°,

而/7=(0,0,1)是底面加%Z?的一个法向量,

所以|cos〈丽7,〃>|=sin450,即

V(x-l)2+y2+z2

即(ZM+"=0.

又也在棱/r上,设丽=APC,则

产几，片1,z=V3-V3/I.②

%=1+三|x=l-立

由①,②解得y=l,（舍去），或<y=l,

z=一孚[=当，

所以《1_今1,曰）,从而而=（1_今1,当》

设/户（%o,%,ZD）是平面/区W的法向量，

m-AM=0,n(2-\/2)x+2y+V6z=0,

则——,即Q000

、m•48=0,xQ=0,

所以可取〃尸（0,一遍,2）.

于是COS<Z?A=丹.

易知所求二面角为锐二面角.

因此二面角加月比〃的余弦值为唱.

7.（2023届江苏百校联考第一次考试,20）在四棱锥KABCD中,底面力筋为直角梯形,AD

//BC,/仅L力4侧面为切L底面ABCD,PA=PB=AD=*2,且E,下分别为PC,勿的中点.

（1）证明：无〃平面以优

（2）若直线如与平面四夕所成的角为60°,求平面必8与平面阳9所成锐二面角的余弦

值.

解析,（1）证明：取PB的中点M连接AM,EV、

，：E为比的中点，."跖〃砥

又*：AD〃BC,A吟BC,

:.ME"AD、助舁AD,：.四边形/MEV为平行四边形，

・•・以'〃/1M•・•〃毋平面PA8,43平面/切瓦・•・〃£〃平面PAB.

⑵•・•平面/%从L平面ABCD,平面/%4n平面ABCkAB,旧平面ABCD,ADUB,：・⑪—平

面PAB,取/历的中点G,连接FG,则FG//AD,则&ZL平面PAB,

・•・NGPF为直.线"与平面为4所成的角，即NG/#603,Vtan60°喘,小3,则眸近,

・・・/06庐1,则AB=2.如图,建立空间直角坐标系，则P(0,0,百)，。(1,4,0),〃(-1,2,0),

・••裕(1,4,-V5),CD=(-2,-2,0),

设平面打刀的法向量为〃尸(出匕力，

则ph,PC=0,即(%+4y-V3z=0.

Li♦而=0,、t-2x-2y=0,

令片1,则/7i=(-l,1,V3),

易知平面为8的一个法向量为m=(0,1,0),设平面丛8与平面S所成锐二面角为

Acos但苦胃=橐二£即平面必8与平面田9所成锐二面角的余弦值为咚

IlnJInzllV555

8.(2023届河北邢台名校联盟开学考，19)如图,在四棱锥六ABCD中,底面ABCD为正方形,

侧面砌〃为正三角形，以为阳的中点,A为应、的中点.

(1)求证：物〃平面为4;

⑵当力ML%时,求平面网刀与平面板夹角的余弦值.

解析(1)证明：取力户的中点为上连接£叫外

在△心〃中，为/刃的中点,E为/W的中点,

：.EM//AD.E^AD,

在正方形川阳9中，・・•川为比的中点，ADBC,

：.BN//AD,B^=^AD,

：.BN//ME,BN-ME.二四边形必斯为平行四边形,

：.MN//BEy・.・朗1。平面PAB,BEu平面〃仍,."肺〃平面PAB.

(2)在正三角形为。中，M为/少的中点，."ML/以

乂,?AMX.PC,/rnPg),/<；/3平面PDC,

，/也！平面PDCJ：Ck平面PCD,：.AMYDC.

在正方形ABO)中，AD工DC,又4MA力大力,力也从七平面，囹〃，〃C_L平面PAD,

•:Cg平面ABCD,；,平面47(%LL平面PAD,取月〃的中点0,连接OP,ON,易证OF,ON,。〃两

两垂直.以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

设4t2,则1)(0,1,0),M2,0,0),<7(2,1,0),户(0,0,V3),

则丽二(0,-2冬，丽=(2,7,0),9二(0,-1,V5),DC=(2,0,0),

设平面，邮9的法向量为n=(x,%外,

入吧=-]+要=0,令曰则多,

则N”

n-~DN=2x-y=0,

设平面尸面的法向量为炉(/,y',z'),

则]:笈W—也

4\国

・・・bos〈/〃，〃>H瑞卜，，平面朗仞与平面皈夹角的余弦值为

也呜xRl19

4g

19,

9.(2018课标HI理，19,12分)如图，边长为2的正方形力阳〃所在的平面与半圆弧C力所

在平面垂直，汹是C力上异于C〃的点.

(1)证明：平面4/_L平面用心

⑵当三棱锥MT比体积最大时,求面极4与面J£9所成二面角的正弦值.

1/

3

B

解析⑴证明：由题设知,平面以仅L平面18。交线为CD.因为BCLCD,BCu平面

ABCD,所以比_L平面CMD.,故BCIDM.因为"为C力上异于C,〃的点，旦加为直径,所以

DMLCM.又BCCaf=C,所以〃归_平面BMC.而为匕平面AMD,故平面川仅L平面BMC.

(2)以〃为坐标原点,万5的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

则〃(0,0,0).

当三棱锥加/山C体积最大时，"为C力的中点.由题设得

第2,0,0),8(2,2,0),C(0:2,0),M0,1,1),则宿二(一2J,1),通=(0,2,0),耐二(2,0,0).

+z=

设『(%,7,力是平面极仍的法向量,则卜.丝=°，即uy°,可取

(n-AB=0,(2y=0,

n=(1,0,2).万?是平面MCD的法向量，

因此cos<〃,D/1>=，:黑=—,sin<〃,DA>=竺.

|n||D/i|55

所以面极切与面就力所成二面角的正弦值是鸟.

考法三求解立体几何中的探索性问题

1.(2016北京，17,14分)如图，在四棱锥P力版中，平面用〃1平面ABCD,PAX.

PD,PA二PD,ABLAD,AB=l,AD-2,AC=CF法.

(1)求证:平面48;

(2)求直线如与平面所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M使得8M7平面闺火若存在,求祭的值;若不存在，说明理由.

解析⑴证明：因为平面四反L平面力88/出_1切,平面为〃0平面力比女力〃,所以力员1_

平面PAD,

又PDa平面PAD,所以ABA.PD.

又因为/力_1_/力,/%n/1代4/%,力尼平面PAB,

所以外_L平面为B

⑵取力。的中点0,连接PO,CO.因为PA=PD,所以又因为PK平面PAD,平面PAD

_L平面ABCD,平面为。n平面力以

所以/aL平面ABCD.因为Cg平面ABCD,所以P01CQ.因为AOCD,所以COA.AD.

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得,4（0,1,0）,8（1,1,0）,。（2,0,0）,仅0,-

1,0）,A0,0,1）.

设平面收〃的法向量为产（x,y,z）,

则心.女=0,即广y-z=0,

（n­PC=0,hx-z=0.

令z=2,则A=1,尸-2.所以2）.

又而二（1,1,-1）,所以cos</7,PB>==一日.

所以直线阳与平面所成角的正弦值为

⑶设也是棱为上一点，则存在久e[0,1]使得箱=AAP.因此，机0,1-九4），则

丽:（-1,7,4）.

因为加R平面PCD,

所以用心平面夕。9当且仅当两♦炉0,

即（7,-九人）•（1,一2,2）=0,解得4=1

4

所以在棱刃上存在点〃使得8M〃平面P0

此唠=

2.（2022湖北襄阳四中月考，19）如图，在三棱柱ABC-ABG中，做JL平面ABC,ABA.

BC、AAl=AB=BC=2.

⑴求证：8GJ_平面48C;

⑵点也在线段RC上,且黑=*点N在线段力力上,若栩F〃平面AMCCh求篙的值,

«

解析(1)证明：在三棱柱力吐中，•••做1.平面ABC,BCu平面ABC,二班」式■，同

理，班」4仇

:/1/h二郎二比三2,J四边形8/CG为正方形，故BC&C.，：AB1BC,AB〃AM,BC〃BC,：•

小&上BiG,

•・•郎n笈午仇・"出」平面BCCB,

♦"Gu平面BCCB,

•・•力心nB\俏尻・・・BC\_L平面4力iC.

(2)以方为原点,砥所在直线为x轴,胡所在直线为y轴,9所在直线为z轴,建立空间

直角坐标系，则力(0,2,0),C(2,0,0),G(2,0,2),5(0,0,0),氏(0,0,2),4(0,2,2),则

CA=(-2,2,0),西二(0,0,2),设平面力CG4的法向量为/尸Uy,z),

.h.(n-CA=-2%+2y=,球z,.

则__»/'取产1,得麻(1,1,0),

.n•eg=2z=0,

设M(a,b,0,N(x,y,z),华A,则瓦？=3瓦而，不R=4项,0W4<1,即(2,0,-

AiB

2)=3(a",c-2),U厂2,z-2)=A(0,-2,-2),解得*(0,2-24,2-24),则丽=

(一以2-2痣-2a),

•・"邠〃平面AACG,：.n*~MN=--+2-24=0,

3

解得Xq.：,的值为:.

3A]bM

3.(2022石家庄二中月考，19)如图，在五面体力砥9比中，切_L平面ABCD,//屐/

的氏90°,尸为棱PA的中点，吩给企，小小1,且四边形6W为平行四边形.

(1)判断/C与平面侬'的位置关系，并给予证明;

(2)在线段原上是否存在一点。，使得回与平面哪所成角的正弦值为日?若存在，请求

6

出。夕的长;若不存在,请说明理由.

解析⑴407平面颂证明如下：设PC交座于点N,连接成;因为四边形PDCE为平

行四边形,所以点N为的中点，又点尸为PA的中点，所以FN//AC,因为月仁平面

DEF,平面DEF,所以尼〃平面DEF.

入战(0W/IW1),以〃为坐标原点，分别以DA,DC,〃户所在直线为才轴,y轴,z轴，建立空

间直角坐标系.因为PABC=a"片AA1,所以

C22,尸(0,0,V2),Ml,l,0),61(0,2,0),4(1,0,0),所以丽=(1,1,BC=(-1,1,0).

设平面4%的法向量为炉(x,y,z),

则(m•丽=(x,y,z)-(1,1,-V2)=0,

'(m-SC=(x,y,z)•(-14,0)=0,

即｛：；；；*=°,解得｛；二3％令齐1，得平面/优的一个法向量为〃尸(1，1，6

由哈峙)M0,2,V2),可得而=(心2日).

由的=a朋(OW4W1),整理得《一，2九'2(；+人)则的=(—9,2"1,'2丁)),

因为直线倒与平面/讹'所成'角的正弦值为日，

O

所以IE砂=扁=2近般黑7=日得14人54”又0&g所以

A4故在线段用上存在一点嗜,1,平)，使得回与平面/的所成角的正弦值为今且

22

。口函=j(i-0)+(l-2)2+(^-V2)=手

专题综合检测

一、单项选择题

1.（2022重庆第七次质检,7）若正三棱柱ABC-ABC、既有外接球，又有内切球,记该三棱

柱的外接球和内切球的半径分别为泥、的贝IJ⑶=（）

91n

A.5B.4C.-D.—

23

答案A

2.（2017课标I,6,5分）如图,在下列四个正方体中,4